\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,colortbl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Enseignement scientifique : correction du contrôle TD (groupe 1)\\
(intervalles de confiance, méthode CMR)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Bac ES Métropole 2016
Le directeur d'une chaîne de restaurant souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants. 

Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés.

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item %Calculer la proportion de clients satisfaits.
La proportion de clients satisfaits est :\\
$f=\dfrac{204}{300}=\dfrac{68}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,68}}$.

\item %Donner un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% de la proportion de clients satisfaits.
$n=300\geqslant 30$ ; $nf\geqslant 5$ et $n(1-f)\geqslant 5$.\\
Un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% est :\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\\
=\left[0,68-\dfrac{1}{\sqrt{300}}~;~0,68+\dfrac{1}{\sqrt{300}}\right]\approx\boxed{\textcolor{red}{ \left[0,62~;~0,74\right]}}$.

\item Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% d'amplitude 0,06. 

%Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle.\\
L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ si $n$ est la taille de l'échantillon.\\
On doit avoir : $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,06$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,03$ d'où $\dfrac{1}{n}=0,03^2$ qui donne $n=\dfrac{1}{0,03^2}\approx \numprint{1111}$.\\
Il faut interroger environ \textcolor{red}{\textbf{\numprint{1111}}} personnes pour a voir un intervalle de confiance d'amplitude 0,06.
 \end{enumerate}




\subsection{}
On désire évaluer l’abondance d’une espèce animale vivant sur une île.\\
Pour cela, on capture \numprint{1200} individus, on les marque puis on les relâche.\\
On recapture ultérieurement \numprint{1500} animaux parmi lesquels on dénombre 375 animaux marqués.\\`
On note $N$ le nombre d'individus de cette espèce animale, $M$ le nombre d'individus capturés et marqués, $n$ le nombre d'individus recapturés et $m$ le nombre d'individus marqués parmi ceux-ci.\\
D'après l'énoncé, on a $M=\numprint{1200}$, $n=\numprint{1500}$ et $m=375$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer la proportion d’animaux marqués lors de la recapture.
La proportion d’animaux marqués lors de la recapture est $p=\dfrac{375}{1500}=\boxed{\textcolor{red}{0,25}}$.

\item %Estimer l’abondance de l’espèce étudiée.\\
Pour estimer l’abondance de l’espèce étudiée, on va utiliser la méthode CMR.
D'après cette méthode, on a : \\
$N=M\times \dfrac{n}{m}=\numprint{1200}\times 4=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4800}}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer un intervalle de confiance au seuil de confiance 95\:\% de la proportion d’animaux marqués.
Les conditions $N\geqslant 30$, $Nf\geqslant 5$ et $N(1-f)\geqslant 5$ sont vérifiées.\\
Un intervalle de confiance au seuil de confiance 95\:\% de la proportion d’animaux marqués.\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\\
=\left[0,25-\dfrac{1}{\sqrt{1500}}~;~0,25+\dfrac{1}{\sqrt{1500}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{\left[0,224~;~0,276\right]}}$.

\item %En déduire un encadrement de l’abondance de l’espèce étudiée.
La proportion d’animaux marqués est comprise, avec un niveau de confiance 95\:\%, entre 0,224 et 0,276 donc l’abondance est comprise (avec le même niveau de confiance),
entre $\dfrac{\numprint{1200}}{0,224}\approx \numprint{5358}$ et $\dfrac{\numprint{1200}}{0,279}\approx 4301$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4301}\leqslant N\leqslant \numprint{5358}}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}


La cistude d’Europe (Emys orbicularis) est une espèce de tortue vivant notamment dans le sud de la France.\\
Les marais du Grès St Nazaire abritent la plus grande population de cistudes d’Europe dans le département de l’Héraut.\\
Un suivi des effectifs de la population a été réalisé par la mise en oeuvre sur 4 ans (2015-2018) d’une campagne de CMR.\\
Voici les résultats du marais du Grès St Nazaire où $M$ signifie \og{}nombre d’animaux capturés et marqués\fg{}, $C$ signifie \og{}nombres d’animaux capturés lors de la recapture\fg{}, $R$ signifie \og{}nombre d’animaux marqués capturés lors de la recapture\fg{}.



\begin{enumerate}
\item %Estimer, pour chaque année , le nombre total de cistude d’Europe.
On note $N$ le nombre total de Cistudes.\\
D'après la méthode $CMR$, on a : $\dfrac{N}{M}=\dfrac{C}{R}$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{N=M\times \dfrac{C}{R}}}$\\
On obtient :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\multicolumn{6}{|c|}{Marais du Grès St Nazaire}\\
\hline
Année&2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\
\hline
M&84 &66 &64 &48 &62\\
\hline
C&27 &19 &23 &15 &21\\
\hline
R&23 &13 &10 &6 &12\\
\hline
\rowcolor{yellow!50} N&99&96&147&120&109\\
\hline
\end{tabularx}

\item %Calculer l’abondance moyenne à partir des quatre résultats de la question 1.
L’abondance moyenne à partir des quatre résultats de la question 1 est :\\
$\overline{N}=\dfrac{99+96+147+120+109}{5}=\dfrac{571}{5}\approx \boxed{\textcolor{red}{114}}$.

\item %Quel est l’intérêt de réaliser plusieurs recaptures ?
L'intérêt de réaliser plusieurs recaptures est d'obtenir un résultat plus fiable ; les individus sont davantage mélangés, les recaptures sont faites à des moments différents.
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  