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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Enseignement scientifique : correction du contrôle TE \\
(intervalles de confiance, méthode CMR)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%https://www.maths-cours.fr/exercices/sondage-intervalle-de-confiance/

\begin{enumerate}
\item 192 habitants sur 300 sont favorables au projet.\\
Cela correspond à une proportion : \\
$f=\dfrac{192}{300}=\boxed{\textcolor{red}{0,64}}$.

\item Les conditions $n\geqslant 30$, $nf\geqslant 5$ et $n(1-f)\geqslant 5$ étant vérifiées, l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\:\% est donné par : \\
$I=\left[f-\dfrac1{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac1{\sqrt{n}}\right]]$. \\
Donc :  $I=\left[0,64-\dfrac1{\sqrt{300}}~;~0,64+\dfrac1{\sqrt{300}}\right]\\
\boxed{\textcolor{red}{\approx[0,582~;~0,698]}}$  à $10^{-3}$près.

\item   L'amplitude de l'intervalle de confiance est : \\
$A=\left(f+\dfrac1{\sqrt{n}}\right)-\left(f-\dfrac1{\sqrt{n}}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac2{\sqrt{n}}}}$.\\
Cette amplitude est inférieure ou égale à 0,1 lorsque : $\dfrac2{\sqrt{n}} \leqslant  0,1$\\
donc  $2\leqslant 0,1{\sqrt{n}}$  c'est-à-dire : $\dfrac{2}{0,1}\leqslant 0,1$ donc  $20\leqslant n$ d'où $n\geqslant 400$.\\
 Il faut donc interroger \textbf{\textcolor{red}{au minimum 400}} personnes pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 0,1.

\end{enumerate}

%\subsection{}%Bac ES  Nouvelle-Calédonie novembre 2013
%
%\begin{enumerate}
%
%		\item 
%On a observé que $78$~copies ont obtenu une note supérieure ou égale à 10, donc la proportion de copies de l'échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10 est:
%$f=\dfrac{78}{160}=\np{0,4875}$.
%
%		\item Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies est donné par $I_n=\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt n}\:;\: f+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$ où $n$ est la taille de l'échantillon et $f$ la fréquence observée dans cet échantillon.
%		
%$I_n=\left[ \np{0,4875} - \dfrac{1}{\sqrt{160}}\:;\: \np{0,4875} + \dfrac{1}{\sqrt{160}} \right] \approx \left[ \np{0,4084} \:;\: \np{0,5666} \rule{0pt}{11pt} \right]$ 
%		
%		
%		\item 	
%L'amplitude de l'intervalle $I_n$ est $f+\dfrac{1}{\sqrt n} - \left(f-\dfrac{1}{\sqrt n}\right) = \dfrac{2}{\sqrt n}$. 
%
%Pour que cette amplitude soit inférieure à 0,04 il faut déterminer $n$ tel que $\dfrac{2 \rule{0pt}{10pt}}{\sqrt n} < 0,04$. 
%
%On résout cette inéquation:
%
%$\dfrac{2}{\sqrt n} < 0,04 \iff 2 < 0,04 \times \sqrt n \iff \dfrac{2}{0,04} < \sqrt n \iff 50 < \sqrt n \iff \np{2500} < n$
%
%\smallskip
%
%Il faut donc que l'échantillon ait une taille supérieure à \np{2500} pour que l'intervalle de confiance au seuil 95\,\% ait une amplitude inférieure à 0,04. 
%		
%	\end{enumerate} 

\subsection{}%Lionel-Ponton
On désire évaluer l’abondance d’une espèce animale vivant sur une île.\\
Pour cela, on capture 800 individus, on les marque puis on les relâche.\\
On recapture ultérieurement \numprint{1000} animaux parmi lesquels on dénombre 250 animaux marqués.
On note $N$ le nombre d'individus de cette espèce animale, $M$ le nombre d'individus capturés et marqués, $n$ le nombre d'individus recapturés et $m$ le nombre d'individus marqués parmi ceux-ci.\\
D'après l'énoncé, on a $M=800$, $n=\numprint{1000}$ et $m=250$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer la proportion d’animaux marqués lors de la recapture.
La proportion d'animaux marqués lors de la recapture est $f=\dfrac{m}{n}=\dfrac{250}{\numprint{1000}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}=0,25}}$.


\item %Estimer l’abondance de l’espèce étudiée.
D'après la méthode CMR, on a : \\
$N=M\times \dfrac{n}{m}=800\times 4=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3200}}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer un intervalle de confiance au seuil de confiance 95\:\% de la proportion d'animaux marqués.
Les conditions $N\geqslant 30$, $Nf\geqslant 5$ et \\
$N(1-f)\geqslant 5$ sont vérifiées ; un intervalle de confiance au seuil de confiance 95\:\% d'animaux marqués est :\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\\
=\left[0,25-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}~;~0,25-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\right]\\
\boxed{\textcolor{red}{\approx \left[0,218~;~0,282\right]}}$.

\item %En déduire un encadrement de l’abondance de l’espèce étudiée.
La proportion d’animaux marqués est comprise, avec un niveau de confiance 95\:\%, entre 0,218 et 0,282 donc l’abondance est comprise (avec le même niveau de confiance),
entre $\dfrac{800}{0,218}\approx 3670$ et $\dfrac{800}{0,282}\approx 2836$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{2836\leqslant N\leqslant 3670}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
La cistude d’Europe (Emys orbicularis) est une espèce de tortue vivant notamment dans le sud de la France.\\
Les marais du Grès St Nazaire abritent la plus grande population de cistudes d’Europe dans le département de l’Héraut.\\
Un suivi des effectifs de la population a été réalisé par la mise en oeuvre sur 4 ans (2015-2018) d’une campagne de CMR.\\
Voici les résultats du marais du Grès St Nazaire où $M$ signifie \og{}nombre d’animaux capturés et marqués\fg{}, $C$ signifie \og{}nombres d’animaux capturés lors de la recapture\fg{}, $R$ signifie \og{}nombre d’animaux marqués capturés lors de la recapture\fg{}.



\begin{enumerate}
\item %Estimer, pour chaque année , le nombre total de cistude d’Europe.
On note $N$ le nombre total de Cistudes.\\
D'après la méthode $CMR$, on a : $\dfrac{N}{M}=\dfrac{C}{R}$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{N=M\times \dfrac{C}{R}}}$\\
On obtient :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\multicolumn{6}{|c|}{Marais du Grès St Nazaire}\\
\hline
Année&2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\
\hline
M&84 &66 &64 &48 &62\\
\hline
C&27 &19 &23 &15 &21\\
\hline
R&23 &13 &10 &6 &12\\
\hline
\rowcolor{yellow!50} N&99&96&147&120&109\\
\hline
\end{tabularx}

\item %Calculer l’abondance moyenne à partir des quatre résultats de la question 1.
L’abondance moyenne à partir des quatre résultats de la question 1 est :\\
$\overline{N}=\dfrac{99+96+147+120+109}{5}=\dfrac{571}{5}\approx \boxed{\textcolor{red}{114}}$.

\item %Quel est l’intérêt de réaliser plusieurs recaptures ?
L'intérêt de réaliser plusieurs recaptures est d'obtenir un résultat plus fiable ; les individus sont davantage mélangés, les recaptures sont faites à des moments différents.
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  