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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Enseignement scientifique : contrôle TC (groupe 1) \\
(intervalles de confiance, méthode CMR)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Metropole ES dévoilé juin 2014
Dans une ville de \np{23000} habitants, la municipalité souhaite connaître l'opinion de ses concitoyens sur la construction d'un nouveau complexe sportif.\\
Afin de l'aider dans sa décision, la municipalité souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes favorables à la construction de ce complexe sportif.

\begin{enumerate}
\item  Elle fait réaliser un sondage auprès de \numprint{1100} personnes.\\
700 sont favorables à cette construction.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la proportion $p$ de personnes favorables à cette construction parmi les personnes interrogées.
La proportion $p$ de personnes favorables à cette construction parmi les personnes interrogées est $p=\dfrac{700}{\numprint{1100}}\approx 0,6364$

\item %Déterminer, au niveau de confiance de 95\,\%  un intervalle de confiance de la proportion de personnes favorables à cette construction.
$n\geqslant 30$, $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$.\\
On peut déterminer un intervalle de confiance au seuil 95\:\%.\\
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\approx [0,60~;~0,67]$

\item %La municipalité trouve que la marge d'erreur (amplitude) de cet intervalle est trop grande.\\
%Il souhaiterait que cette marge soit inférieure ou égale à 0.04.\\
%Combien de personnes faut-il interroger ?
La marge d'erreur est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\
On cherche $n$ tel que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,04$. On en déduit $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant 0,02$ d'où $\sqrt{n}\geqslant \dfrac{1}{0,02}$ puis $n\geqslant \left(\dfrac{1}{0,02}\right)^2=50^{2}=\numprint{2500}$.\\
Il faut interroger au moins \numprint{2500} personnes.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\subsection{}
On désire évaluer l’abondance d’une espèce animale vivant sur une île.\\
Pour cela, on capture \numprint{1200} individus, on les marque puis on les relâche.\\
On recapture ultérieurement \numprint{1500} animaux parmi lesquels on dénombre 375 animaux marqués.
\begin{enumerate}
\item %Calculer la proportion d’animaux marqués lors de la recapture.
La proportion d’animaux marqués lors de la recapture est $p=\dfrac{375}{1500}=0,25$.

\item %Estimer l’abondance de l’espèce étudiée.
Pour estimer l’abondance de l’espèce étudiée, on utilise la méthode CMR.\\
En notant $N$ l'effectif cherché, $M=1200$, $n=1500$, $m=375$, on a : \\
$N=M\times \dfrac{n}{m}=1200\times \dfrac{1500}{375}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4800}}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer un intervalle de confiance au seuil de confiance 95\:\% de la proportiond’animaux marqués.\\
Les conditions sont réunies pour utiliser un intervalle de confiance au seuil de confiance 95\:\%.\\
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]:\left[0,25-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1500}}}~;~0,25+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1500}}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,224~;~0,276]}}$.

\item %En déduire un encadrement de l’abondance de l’espèce étudiée.
$0,224\leqslant p\leqslant 0,276\Rightarrow \dfrac{1}{0,276}\leqslant \dfrac{1}{p}\leqslant \dfrac{1}{0,224}\Rightarrow \dfrac{1200}{0,276}\leqslant N\leqslant \dfrac{1200}{0,224}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4347}\leqslant N\leqslant \numprint{5358}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{}
La cistude d’Europe (Emys orbicularis) est une espèce de tortue vivant notamment dans le sud de la France.\\
Le marais de l’étang de l’Or est l'un des marais qui abritent la plus grande population de cistudes d’Europe dans le département de l’Héraut.\\
Un suivi des effectifs de la population a été réalisé par la mise en oeuvre, sur la période 2014-2018, d’une campagne de CMR.\\
Voici les résultats du marais du Grès St Nazaire où $M$ signifie \og{}nombre d’animaux capturés et marqués\fg{}, $C$ signifie \og{}nombres d’animaux capturés lors de la recapture\fg{}, $R$ signifie \og{}nombre d’animaux marqués capturés lors de la recapture\fg{}.

\begin{enumerate}
\item %Estimer, pour chaque année , le nombre total de cistude d’Europe.
On note $N$ le nombre total de Cistudes.\\
D'après la méthode $CMR$, on a : $\dfrac{N}{M}=\dfrac{C}{R}$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{N=M\times \dfrac{C}{R}}}$\\
On obtient :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\multicolumn{6}{|c|}{Marais du Grès St Nazaire}\\
\hline
Année&2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\
\hline
M&84 &66 &64 &48 &62\\
\hline
C&27 &19 &23 &15 &21\\
\hline
R&23 &13 &10 &6 &12\\
\hline
\rowcolor{yellow!50} N&99&96&147&120&109\\
\hline
\end{tabularx}

\item %Calculer l’abondance moyenne à partir des quatre résultats de la question 1.
L’abondance moyenne à partir des quatre résultats de la question 1 est :\\
$\overline{N}=\dfrac{99+96+147+120+109}{5}=\dfrac{571}{5}\approx \boxed{\textcolor{red}{114}}$.

\item %Quel est l’intérêt de réaliser plusieurs recaptures ?
L'intérêt de réaliser plusieurs recaptures est d'obtenir un résultat plus fiable ; les individus sont davantage mélangés, les recaptures sont faites à des moments différents.
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  