% Modele de doc LaTeX pour bac blanc  avec page de garde style bac et préambule de l'APMEP adapté pour Overleaf et mise en page A4.
%http://www.apmep.fr/-Annales-Bac-Brevet-BTS-
%http://www.apmep.fr/-Terminale-S-240-sujets-depuis-1999-
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% Author: Vincent Pantaloni (Lycée Jean Zay, Orleans)
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%% Ajouts pour page de garde style BAC
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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet} %pour éviter les tirets dans les "itemize" qui apportent confusion avec le signe moins.
%% Début page de garde style BAC
\SetWatermarkText{{\bf S P E C I A L I T É}}
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\lhead{{\sl Lycée Maurice Genevoix}}%\textbf{Nom:}}
\chead{}%\textbf{Contr\^ole commun \no 3}}
\rhead{\textbf{Devoir Commun}$\ $ page \thepage / 3 }
\lfoot{} \cfoot{}\rfoot{}
\rule{0pt}{1.5cm}
\begin{center}
\fbox{{\Huge Devoir Commun Mathématiques}}\\
\vspace{3cm}
Mercredi 14 mai 2025\\
\vspace{2cm}

{\LARGE {\bf MATH\'EMATIQUES}}\\
\rule{7cm}{1pt}\\
\vspace{1.5cm}
{\Large {Première}}\\
\vspace{1.5cm}
DUR\'EE DE L'\'EPREUVE: {\bf 2 heures}\\
\vspace{2cm}
{\bf {\it Ce sujet comporte trois pages numérotées de 1/3 à 3/3}}\\
%{\bf {\it La dernière page comporte une annexe à remettre complétée de
%    votre nom et classe.}}\\
\vspace{2cm}
{\it L'utilisation d'une calculatrice possédant un mode examen est autorisée.}\\
\vspace{1.5cm}
\framebox[1.1\width]{
\parbox{0.78\textwidth}{La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements  entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}}
\end{center}
\vfill
%\vspace{3cm}
\hfill {\bf Tournez la page S.V.P.}
%% FIN page de garde style BAC
\newpage
%
%
%

%
%%###########################################
%%  DEBUT --- COLLAGE ICI DES EXOS APMEP
%%###########################################
%
%%%%%%%%%%%%%%%%  EXO 1
%Métropole -- La Réunion 20 juin 2016


\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}\\

Cet exercice est un QCM (\textbf{Q}uestionnaire à \textbf{C}hoix \textbf{M}ultiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)= \displaystyle{\frac{x+1}{e^{x}}}$.

La fonction dérivée $f'$ de $f$ est donnée sur $\mathbb{R}$ par:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
\textbf{a.}\quad $f'(x)= \displaystyle{\frac{-x}{e^{x^2}}}$ & \textbf{b.}\quad $f'(x)=- \displaystyle{\frac{1}{(e^{x})^2}}$ 
& \textbf{c.}\quad $f'(x)= \displaystyle{\frac{1}{e^{x}}}$   & \textbf{d.}\quad $f'(x)=- \displaystyle{\frac{x}{e^{x}}}$\\
\hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Pour tous réels $a$ et $b$, le nombre $\dfrac{e^{a}}{e^{-b}}$ est égal à:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
\textbf{a.}\quad $e^{a-b}$ & \textbf{b.}\quad $e^{\frac{a}{-b}}$ 
& \textbf{c.}\quad $\dfrac{e^{b}}{e^{-a}}$  \rule[-10pt]{0pt}{27pt} & \textbf{d.}\quad $e^{a}-e^{-b}$\\
\hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$  une suite arithmétique telle que $u_3= \dfrac{9}{2}$ et $u_6=3$.

Alors le premier terme $u_0$ et la raison $r$ de la suite sont :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{a.}\quad $u_0=6$ et $r=-\dfrac{1}{2}$ \rule[-10pt]{0pt}{27pt}& \textbf{b.}\quad $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $r=6$ \\
\hline
\textbf{c.}\quad $u_0=6$ et $r=\dfrac{1}{2}$  \rule[-10pt]{0pt}{27pt} & \textbf{d.}\quad $u_0=\dfrac{3}{2}$ et $r=\dfrac{1}{2}$\\
\hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On tire deux boules successivement sans remise dans une boule contenant trois boules rouges et cinq boules jaunes.\\
Cette expérience est décrite par l’arbre ci-dessous.\\

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=7mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R$}\taput{$3\slash 8$}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{2\slash 7}
		  \TR{$J$}\tbput{5\slash 7}	   
	  }
	\pstree{\TR{$J$}\tbput{5\slash 8}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{3\slash 7}
		  \TR{$J$}\tbput{4\slash 7}		  
	  }
}
\end{center}

La probabilité de tirer une boule jaune au deuxième tirage est : \\

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
\textbf{a.}\quad $\displaystyle{\frac{3}{8} \times \frac{5}{7} + \frac{5}{8}}$ & \textbf{b.}\quad $\displaystyle{\frac{20}{32}}$ 
& \textbf{c.}\quad $\displaystyle{\frac{5}{8}}$   & \textbf{d.}\quad $\displaystyle{\frac{40}{56}}$\\
\hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

La valeur \textbf{exacte} de la somme  $S= 1+ \dfrac{1}{2} + \left (\dfrac{1}{2}\right )^2 + \cdots + \left ( \dfrac{1}{2}\right )^{15}$ est:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
\textbf{a.}\quad $\np{1,750030518}$ & \textbf{b.}\quad $2 - \left ( \frac{1}{2}\right )^{15}$ 
& \textbf{c.}\quad $2 - \left ( \frac{1}{2}\right )^{14}$   & \textbf{d.}\quad $\np{1,999969482}$\\
\hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 8 points}}\\

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.\\

On considère : \\

\begin{enumerate} 
\item[$\bullet$] un salarié malade est toujours absent.
\item[$\bullet$] la première semaine de travail, le salarié n'est pas absent.
\item[$\bullet$] si la semaine $n$, le salarié n'est pas malade, alors la probabilité qu'il soit malade la semaine $n+1$ est $0,25$.
\item[$\bullet$] si la semaine $n$, le salarié est malade, alors la probabilité qu'il soit malade la semaine $n+1$ est $0,3$.
\end{enumerate}

On choisit au hasard un salarié dans l'entreprise. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note l’événement $R_n$ : «le salarié est malade à la $n$-ième semaine ».\\

\begin{enumerate}
	\item Expliquer pourquoi $r_1=0$ et donner la valeur de $r_2$.
	\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le salarié soit malade à la $n$-ième semaine. On a alors $r_n = P(R_n)$. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous. (Aucune justification n'est attendue).
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R_{n}$}\taput{$r_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{R_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}}}

\end{center}
	\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $r_{n+1} = 0,05r_n+0,25$
	\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = r_n - \displaystyle{\frac{5}{19}}$.\\
		Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Précisez sa raison et son premier terme.
	\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression de $r_n$ en fonction de $n$.
	\item À l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite $(r_n)$ lorsque $n \to +\infty$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%  EXO 2
%Métropole -- La Réunion 20 juin 2016
\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 7 points}}\\

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2-3x +1)e^x$.\\

On note $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$.\\

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $x=0$.
	\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$.
	\item En déduire le tableau de signe de $f'(x)$ ainsi que les variations de la fonction $f$.
	\item On admet que $f$ est positive sur l'intervalle $\displaystyle{\mathopen{]}-\infty\,;-1\mathopen{]}}$. Expliquer pourquoi, pour tout réel $x$, $f(x) \ge -e^2 $.
	
\end{enumerate}

\end{document}