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\begin{document}
	
	\title{}
	\date{}       
	\maketitle
	
\hfill\\[-4cm]

	$$\fbox{\Large{\text{Devoir commun n°2 - TS - 4 heures - 19/01/2019}}}$$

\hfill\\

\noindent\underline{\textbf{Exercice 1 :}} % Jean-Paul / suites jumelles

\medskip

\noindent On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :
$$\begin{cases}
u_0=0 \\
u_{n+1} = \di\frac{3u_n+1}{4}
\end{cases} \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ 
\begin{cases}
v_0=2 \\
v_{n+1} = \di\frac{3v_n+1}{4}
\end{cases}$$

\bigskip

\begin{enumerate}
	\item Dans le repère orthonormé $(O ; \V{i} ; \V{j} )$ donné ci-dessous, on a tracé les droites $d$ et $\Delta$ d'équations respectives :
	$$d : y = \di\frac{3}{4}x + \di\frac{1}{4} \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ \Delta : y = x$$
	En utilisant $d$ et $\Delta$, construire sur l'axe des abscisses les points $A_1$, $A_2$, $A_3$ d'abscisses respectives $v_1$, $v_2$, $v_3$.
	$$\begin{tikzpicture}[scale=2]
	\draw[thin, style=gray!60,xstep=0.25,ystep=0.25] (-1,-1)grid(2.5,2.5);
	\draw[line width=1.5pt,->] (-1,0)--(2.5,0);
	\draw[line width=1.5pt,->] (0,-1)--(0,2.5);
	\foreach \x in {-1,0,1,2}
	{
		\draw [line width=1pt](\x,-0.05)--(\x,0.05);
		\draw (\x,0) node[below left] {$\x$};	
	}
	
	\foreach \y in {1,2}
	{
		\draw [line width=1pt](-0.05,\y)--(0.05,\y);
		\draw (0,\y) node[left]{$\y$};
	}
	\draw[line width=1pt, blue] plot[samples=200,domain=-1:2.5] (\x,{(3*(\x)+1)/4});
	\draw (2.25,1.75) node[blue]{$d$};
	\draw[line width=1pt, red] plot[samples=200,domain=-1:2.5] (\x,\x);
	\draw (2,2.25) node[red]{$\Delta$};
	\end{tikzpicture}$$
	
	\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ d'une part et $v_1$, $v_2$, $v_3$ d'autre part.
	
	\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule les $100$ premiers termes de la suite $u_n$ :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} 
				\hline
				%\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\[-0.4cm]
				\textbf{Initialisation :}& \\
				& $u \leftarrow \ldots \ldots $\\
				& $n \leftarrow \ldots \ldots $\\[0.2cm]
				\textbf{Traitement :}& \\
				& Tant que \ldots \ldots \\  
				&\hspace{0,5cm} $n \leftarrow \ldots $ \\ 
				&\hspace{0,5cm} $u \leftarrow \ldots$ \ldots\\[0.2cm]
				&Fin Tant que\\[0.2cm]
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item Comment faudrait-il le modifier pour qu'il affiche chacun des termes calculés ? 
		\item Comment faudrait-il le modifier pour qu'il affiche seulement le dernier terme calculé ?
	\end{enumerate}
	
	\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item On considère la suite $(s_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n = u_n + v_n$.
		\item Calculer $s_0$, $s_1$, $s_2$, $s_3$. À partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite $(s_n)$ ?
		\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite $(s_n)$ est une suite constante.
	\end{enumerate}
	\item On considère la suite $(d_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n = v_n - u_n$.
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Montrer que la suite $(d_n)$ est une suite géométrique.
		\item Exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
		\item En utilisant les résultats des questions 4.c) et 5.b), exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent. On précisera leurs limites.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage

\noindent\underline{\textbf{Exercice 2 :}} % Bordas 2008 exo 52 + modifs Pierre (partie C ajoutée)
\medskip

\noindent\textit{La partie C peut être traitée indépendamment des parties $A$ et $B$.}\\

\noindent On équipe un four d'un système de sécurité qui se déclenche quand la température dépasse $500°$ C.\\
On veut étudier la fiabilité du système.\\
Une étude a montré qu'en moyenne, sur une journée, on obtenait les résultats suivants :
\begin{enumerate}[$\diamond$]
\item résultat $1$ : la probabilité que la température dépasse $500°$ C est égale à $\di\frac{1}{50}$ ;
\item résultat $2$ : la probabilité que le système se déclenche par erreur est égale à $\di\frac{1}{100}$ ;
\item résultat $3$ :la probabilité que le système se déclenche quand la température dépasse $500°$ C est égale à $\di\frac{9}{10}$.
\end{enumerate}
On note $S$ l'évènement : \og le système de sécurité se déclenche \fg et $T$ l'évènement \og La température dépasse $500°$ C \fg.

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie A :}}

\medskip

\noindent Dans toute cette partie, les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.\\

\begin{enumerate}
	\item Ecrire chacun des trois résultats en utilisant les évènements $T$ et $S$.
	\item 
		\begin{enumerate}[$a.$]
			%\item Déterminer $p(\overline{T})$.
			%\item Calculer $p_{T}(\overline{S})$.
			\item Calculer $p_{\overline{T}}(S)$.
			\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
			%\item Montrer que $p(T\cap S)=\di\frac{9}{500}$ et que $p(T\cap \overline{S})=\di\frac{1}{500}$.
			\item Calculer la probabilité que le système ne se déclenche pas mais que la température dépasse pourtant $500°$ C.
			\item Quelle est la probabilité que le système de sécurité se déclenche ?
		\end{enumerate}
	\item Le système de sécurité vient de se déclencher. Quelle est la probabilité que la température ait réellement dépassé $500°$C ?
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie B :}}

\medskip

\noindent Le coût des anomalies est le suivant :
\begin{enumerate}[$\diamond$]
	\item $500$ euros quand la température dépasse $500°$ C et que la sécurité se déclenche.
	\item $1500$ euros quand la température dépasse $500°$ C et que la sécurité ne se déclenche pas.
	\item $100$ euros lorsque la sécurité se déclenche par erreur.
\end{enumerate}
On considère qu'il ne se produit pas plus d'une anomalie par jour. \\
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le coût journalier des anomalies.
\begin{enumerate}
	\item Donner la loi de probabilité de $X$.
	\item Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie C :}}

\medskip

\noindent Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies à $10^{-3}$ près.\\

\noindent Une étude a montré qu'un four d'une certaine marque, pris au hasard, présentait un problème
technique dans $7$ \% des cas.\\
\\
Une étude est réalisée auprès d'une usine fabriquant ces fours.\\
On prélève $200$ fours et on note $X$ la variable aléatoire qui compte
le nombre de fours présentant un problème technique.\\
Le nombre total de fours produits est supposé suffisamment grand pour pouvoir considérer l'étude des fours comme un
tirage indépendant avec remise.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
	\item Calculer la probabilité que $10$ fours présentent un problème technique.
	\item Calculer la probabilité qu'au moins $15$ fours présentent un problème technique.
	\item La réparation d'un four présentant ce problème technique coûte $90$ euros. Quel montant l'entreprise doit-elle s'attendre à dépenser en moyenne pour la réparation de ses fours ?
\end{enumerate}
	
\newpage

\noindent\underline{\textbf{Exercice 3 :}} % Nouvelle Calédonie novembre 2018

\medskip

\noindent Soit $ABCDEFGH$ le cube représenté ci-dessous.

\noindent On considère :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AD]$ et $[BC]$;
	\item $P$ le centre de la face $ABFE$, c'est-à-dire l'intersection des diagonales $(AF)$ et $(BE)$;
	\item $Q$ le milieu du segment $[FG]$.
\end{enumerate}


\begin{center}
	\psset{unit=0.8cm,radius=2pt}
	\def\xmin {-3}   \def\xmax {11}
	\def\ymin {-3}   \def\ymax {10}
	\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	%\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
	\Cnode*(0,0){A} \Cnode*(5,-1){B} \Cnode*(4,2){D} \Cnode*(9,1){C}
	\Cnode*(0,6){E} \Cnode*(5,5){F} \Cnode*(4,8){H} \Cnode*(9,7){G}
	\psline(E)(A)(B)(F)(E)(H)(G)(F)
	\psline(B)(C)(G)
	\psline[linestyle=dashed](A)(D)(H) \psline[linestyle=dashed](D)(C)
	\uput[dl](A){A} \uput[d](B){B} \uput[dr](C){C} \uput[ur](D){D}
	\uput[ul](E){E} \uput[u](F){F} \uput[10](G){G} \uput[u](H){H}
	\Cnode*(2,1){I} \Cnode*(7,0){J} \Cnode*(2.5,2.5){P} \Cnode*(7,6){Q}
	\uput[d](I){I} \uput[d](J){J} \uput[u](P){P} \uput[ul](Q){Q}
	\psline[linestyle=dashed](P)(Q) \psline(P)(-2,-1) \psline(Q)(11.5,9.5)
	\psline[linestyle=dashed](J)(0,1.4) \psline(J)(12,-1) \psline(0,1.4)(-3,2)
	\psset{linewidth=2pt}
	\psline[linestyle=dashed]{->}(A)(I) \psline{->}(A)(0,3) \psline{->}(A)(2.5,-0.5)
	\end{pspicture*}
\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $\left ( A~;~\frac{1}{2}\V{AB}\;,\;\frac{1}{2}\V{AD}\;,\;\frac{1}{2}\V{AE}\right )$.

Dans tout l'exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.

\smallskip

On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est

\[\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x& r\\
y & 1\\
z & 0\\
\end{array}
\right . , \quad r\in\mathbb{R}\]

\begin{enumerate}
	\item Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est
	
	\[\left \lbrace
	\begin{array}{l !{=} r}
	x& 1+t\\
	y & t \\
	z & 1+t\\
	\end{array}
	\right . ,\quad t\in\mathbb{R}\]
	
\end{enumerate}

Soient $t$ un nombre réel et $M(1+t~;~t~;~1+t)$ le point de la droite $(PQ)$ de paramètre $t$.

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item On admet qu'il existe un unique point $K$ appartenant à la droite $(IJ)$ tel que $(MK)$ soit orthogonale à $(IJ)$.
		Démontrer que les coordonnées de ce point $K$ sont $(1+t~;~1~;~0)$.
		\item En déduire que $MK = \di\sqrt{2+2t^2}$.
	\end{enumerate}
	
	\item
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Vérifier que $y-z=0$ est une équation cartésienne du plan $(HGB)$.
		\item On admet qu'il existe un unique point $L$ appartenant au plan $(HGB)$ tel que $(ML)$ soit orthogonale à $(HGB)$.
		Vérifier que les coordonnées de ce  point $L$ sont $\left (1+t~;~\dfrac{1}{2}+t~;~\dfrac{1}{2}+t\right )$.
		\item En déduire que la distance $ML$ est indépendante de $t$.
	\end{enumerate}
	\item Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle la distance $MK$ est égale à la distance $ML$ ?
\end{enumerate}


\newpage

\noindent\underline{\textbf{Exercice 4 :}} % Nathalie
\medskip

\noindent L'objectif de cet exercice est l'étude de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{1\}$ par :
$$f(x)=\di\frac{2x+1}{x^3-1}$$
Soit $(O;\V{i},\V{j})$ un repère orthogonal du plan. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.\\

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}}

\medskip
\noindent On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$g(x)=-4x^3-3x^2-2$$
\begin{enumerate}
	\item Etudier les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
	\item Etudier les variations de $g$ puis dresser son tableau de variations complet.
	\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
	\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
	\item En déduire le signe de la fonction $g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie B : étude de la fonction $f$}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Justifier le domaine de définition de $f$.
	\item Etudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
	\item En déduire les équations des asymptotes éventuelles (horizontales ou verticales) à la courbe $\mathcal{C}$.
	\item Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}\backslash\{1\}$,
	$$f'(x)=\di\frac{g(x)}{(x^3-1)^2}$$ 
	\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
	\item Etudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $T$.
\end{enumerate}




	
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\end{document}


