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	{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
	{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
	{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
	{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\[\fbox{\text{\Large{Devoir surveillé commun \no $4$ - TS - $14/04/18$ - durée : 4 heures}}}\]

\hfill\\
\\

\noindent\underline{\textbf{Exercice 1 : sur 5 points. Commun à tous les élèves }}\\ % Nouvelle-Calédonie novembre 2017


\noindent On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\big(\ln x\big)^2}x.$ \\

\noindent On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ et interpréter graphiquement le résultat.
	\item \begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, 
		
		\[f(x)=4\left(\dfrac{\ln\big(\sqrt x\big)}{\sqrt x}\right)^2.\]
		
		\item En déduire que l'axe des abscisses est une asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+ \infty$.
	\end{enumerate}
	\item On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, 
		
		\[f'(x)=\dfrac{\ln(x)\big(2-\ln(x)\big)}{x^2}.\]
		
		\item Etudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du nombre réel $x$ strictement positif.
		\item Calculer $f(1)$ et $f\big(\e^2\big)$.
	\end{enumerate}
	
	On obtient alors le tableau de variations ci-dessous.
	
	%\begin{center}
	%\scalebox{.8}{\begin{tikzpicture}
	%\tkzTabInit[espcl=3]{$x$ /1,  $f$ /2}%
	%{$0$ ,$1$ , $\e^2$, $+\infty$}%
	%\tkzTabVar{D+/$+\infty$, -/ $0$, +/$\dfrac4{\e^2}$, -/$0$}
	%\end{tikzpicture}}
	%\end{center}
	
	\begin{center}
		{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
			\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramÃ¨tres
			\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
			$\begin{array}{|c| l*5{c} c|}
			\hline
			x & 0 & \hspace*{1.5cm} & 1 & \hspace*{1.5cm} & \e^{2} & \hspace*{1.5cm} & +\infty \\
			\hline
			& \vline\:\vline~\Rnode{max1}{+\infty} & &  & & \Rnode{max2}{\dfrac{4\rule{0pt}{10pt}}{\e^{2}}} & & \\
			f (x) &\vline\:\vline &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
			&\vline\:\vline & & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0}  \rule{0pt}{\hauteur}
			\ncline{->}{max1}{min1} 
			\ncline{->}{min1}{max2}
			\ncline{->}{max2}{min2}
			%\rput*(-7,0.95){\Rnode{zero}{\red 1}}
			%\rput(-7,2.65){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
			%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
			\\
			\hline
			\end{array}$
		}
	\end{center}
	
	\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0~;~+\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\hfill\\





\noindent\underline{\textbf{Exercice 2 : sur 5 points. Commun à tous les élèves.}} \\ % Nouvelle-Calédonie février 2018

\noindent Soient les deux nombres complexes $z_1 = 1 - \text{i}$ et $z_2 = -8 - 8 \sqrt{3}\text{i}$. On pose $Z = \dfrac{z_1}{z_2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Donner la forme algébrique de $Z$.
	\item Ecrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
	\item Ecrire $Z$ sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.
	\item En déduire que $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
	\item On admet que :
	
	\setlength\parindent{12mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$\sin \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
		\item[$\bullet~~$]pour tous réels $a$ et $b$,\: $\cos a \cos b - \sin a \sin b = \cos(a + b)$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	Résoudre l'équation suivante dans l'ensemble des réels $\R$ :
	
	\[\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right) \cos x - \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right) \sin x = -2\sqrt{3}.\]
\end{enumerate}
\hfill\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 3 : sur 5 points. Commun à tous les élèves.}} % Métropole juin 2017

\bigskip

\noindent On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est \og{}de type S\fg{} ;
	\item soit malade (atteint par le virus) ; 
	\item soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus). 
\end{enumerate}

\medskip

\noindent Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus. 

\bigskip

\noindent Pour tout entier naturel $n$, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Parmi les individus de type S en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 85\:\% restent de type S, 5\:\% deviennent malades et 10\:\% deviennent immunisés ;
	
	\item Parmi les individus malades en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 65\:\% restent malades, et 35\:\% sont guéris et deviennent immunisés.
	
	\item Tout individu immunisé en semaine $n$ reste immunisé en semaine $n + 1$. 
	
\end{enumerate}

\medskip

\noindent On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]

	\item $S_n$ : \og{}l'individu est de type S en semaine $n$\fg{} ;

	\item $M_n$ : \og{} l'individu est malade en semaine $n$\fg{} ;

	\item $I_n$ : \og{}l'individu est immunisé en semaine $n$\fg.
	
\end{enumerate}

\medskip

\noindent En semaine 0, tous les individus sont considérés \og de type S\fg, on a donc les probabilités suivantes :

\[P\left(S_0\right) = 1~;~P\left(M_0\right) = 0\text{ et } P\left(I_0\right) = 0.\]

\begin{center}
	\textbf{PARTIE A }
\end{center}

\noindent On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semaines 1 et 2. 

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous :
	
	%\begin{center}
	%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
	%\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
	%\pstree[treemode=R]{\Tdot~[tnpos=a]{$S_0$}}
	%{
	%\pstree
	%{\Tdot~[tnpos=a]{$S_1$}\taput{ $\cdots$}}
	%{
	%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$}
	%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$}
	%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\tbput{ $\cdots$}
	%}
	%\pstree
	%{\Tdot~[tnpos=a]{$M_1$}\taput{ $\cdots$}}
	%{
	%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$}
	%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$}
	%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\tbput{ $\cdots$}
	%}
	%\pstree
	%{\Tdot~[tnpos=a]{$I_1$}\tbput{ $\cdots$}}
	%{
	%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $1$}
	%}
	%}
	%\end{center}
	
	\begin{center}
		\bigskip
		{%\small
			\psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,nodesepB=2.5pt, treesep=10mm}
			$S_0$~\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
			{\TR{}}
			{
				\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S_1$}\naput{\ldots}}
				{
					\TR{\ldots}\naput{\ldots}
					\TR{\ldots}\naput{\ldots}
					\TR{\ldots}\nbput{\ldots}
				}
				\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M_1$}\naput{\ldots}}
				{
					\TR{\ldots}\naput{\ldots}
					\TR{\ldots}\nbput{\ldots}
				}
				\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$I_1$}\nbput{\ldots}}
				{%
					\TR{\ldots}\naput{1}
				}	                        
			}
		}% fin du \small
		\bigskip
	\end{center}
	
	\item Montrer que $P\left(I_2\right)= 0,2025$.
	\item Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage

\hfill\\

\begin{center}
	\textbf{PARTIE B}
\end{center}

\medskip

\noindent On étudie à long terme l'évolution de la maladie.

\noindent Pour tout entier naturel $n$, on  : $u_n = P\left(S_n\right)$, $v_n=p\left(M_n\right)$ et $w_n=P\left(I_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $S_n$, $M_n$ et $I_n$.
\begin{enumerate}
	\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n + v_n + w_n=1$.
	
	On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie par $v_{n+1} = 0,65v_n + 0,05u_n$.
	\item A l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.
	
\begin{center}
	\begin{tabular}{|>{\cellcolor{lightgray}}r|*{4}{r|}}\hline
		\hspace*{0.8cm} & \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} A& \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} B& \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} C&\cellcolor{lightgray}\hspace*{0.8cm} D\\\hline
		1		&$n$	&$u_n$			&$v_n$			&$w_n$\\\hline
		2		&0		&1				&0				&0\\\hline
		3		&1		& \np{0,8500} 	& \np{0,0500} 	& \np{0,1000} \\\hline
		4		&2		& \np{0,7225} 	& \np{0,0750} 	& \np{0,2025} \\\hline
		5		&3		& \np{0,6141} 	& \np{0,0849} 	& \np{0,3010}\\\hline
		6		&4		& \np{0,5220} 	& \np{0,0859} 	& \np{0,3921} \\\hline
		7		&5		& \np{0,4437} 	& \np{0,0819} 	& \np{0,4744}\\\hline
		8		&6		& \np{0,3771} 	& \np{0,0754} 	& \np{0,5474} \\\hline
		\dots	&\dots	&\dots			&\dots			&\dots\\\hline
		20		&18		&\np{0,0536} 	& \np{0,0133} 	& \np{0,9330}\\\hline
		21		&19		&\np{0,0456} 	&\np{0,0113} 	&\np{0,9431}\\\hline
		22		&20		&\np{0,0388} 	&\np{0,0096} 	&\np{0,9516} \\\hline
	\end{tabular}
\end{center}
	
	\bigskip
	
	\emph{Pour répondre aux questions \textbf{a.} et \textbf{b.} suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite $\left(v_n \right)$ ?
		\item On admet que les termes de $\left(v_n\right)$ augmentent, puis diminuent à  partir d'une certain rang $N$, appelé le \og{}pic épidémique\fg{} : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.
		
		Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle.
	\end{enumerate}
	
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,85u_n$.
		
		En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, 
		
		\[v_n = \dfrac{1}{4}\left(0,85^n - 0,65^n\right).\]
	\end{enumerate}
	\item Calculer les limites de chacune des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.
	
	Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ?
\end{enumerate}
\hfill\\

\newpage

\hfill\\

\noindent\underline{\textbf{Exercice 4 : sur 5 points. Pour les élèves ne suivant pas la spécialité mathématique. }} \\ % Nouvelle-Calédonie novembre 2015

\medskip

\noindent Soient $x,\:y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et 
$\left(P_2\right)$ suivantes :

\[\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)\]

\[\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)\]

\noindent \textbf{Partie A}

\medskip

\noindent L'implication $\left(P_2\right)$ est-elle vraie ? \\



\noindent \textbf{Partie B}

\medskip

\noindent Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le repère orthonormé $\left(A~;~ \V{AB},~ \V{AD},~ \V{AE}\right)$.
\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(5.5,5.5)
	\psframe(2,0.5)(5.3,3.8)%BCGF
	\psline(5.3,3.8)(4,4.8)(0.7,4.8)(2,3.8)%GHEF
	\psline(0.7,4.8)(0.7,1.5)(2,0.5)%EAB
	\psline[linestyle=dashed](0.7,1.5)(4,1.5)(5.3,0.5)%ADC
	\psline[linestyle=dashed](4,1.5)(4,4.8)%DH
	\uput[l](0.7,1.5){$A$} \uput[d](2,0.5){$B$} \uput[d](5.3,0.5){$C$} \uput[ur](4,1.5){$D$} 
	\uput[u](0.7,4.8){$E$} \uput[u](2,3.8){$F$} \uput[ur](5.3,3.8){$G$} \uput[ur](4,4.8){$H$} 
	\end{pspicture}
\end{center}\index{géométrie dans l'espace}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le plan d'équation $x + y + z = 1$ est le plan ($BDE$).\index{équation de plan}
		\item Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan ($BDE$).
		\item Montrer que l'intersection de la droite ($AG$) avec le plan ($BDE$) est le point
		$K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
	\item Le triangle $BDE$ est-il équilatéral ?
	\item Soit $M$ un point de l'espace.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
		\item En déduire que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 \geqslant  AK^2$.
		\item Soient $x,\:y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, montrer que l'implication $\left(P_1\right)$ est vraie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hfill\\


\newpage

\hfill\\

\noindent\underline{\textbf{Exercice 4 : sur 5 points. Pour les élèves suivant la spécialité mathématiques }}\\

\medskip 

On dit qu'un entier naturel non nul $N$ est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel $n$ tel que : $N = 1 + 2 + \ldots + n$.

%Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car $10 = 1 + 2 + 3 + 4$.
%
%Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier.
%
%\medskip
%
%On rappelle que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a :
%
%\[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\]

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers}}

\begin{enumerate}

\item% Montrer que $36$ est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier.
$36 = \dfrac{72}{2} = \dfrac{8\times 9}{2}= 1+2+3+4+5+6+7+8$ donc $36$ est un \textbf{\boxed{\textcolor{red}{nombre triangulaire}}}.

De plus, $\boxed{\textcolor{red}{36=6^2}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$.
$1 + 2 + \ldots + n = p^2 \iff \dfrac{n(n+1)}{2}=p^2 \iff n(n+1)=2p^2 \iff n^2+n-2p^2=0$.

Donc le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $\boxed{\textcolor{red}{n^2 + n - 2 p^2 = 0}}$.
		
		\item%  En déduire que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$.
$n^2 + n - 2 p^2 = 0 \iff 4n^2 + 4n - 8 p^2 = 0 \iff  4n^2 + 4n +1 - 8 p^2 = 1 \iff (2n+1)^2 - 8p^2=1$

Donc le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $\boxed{\textcolor{red}{(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Partie B : étude de l'équation diophantienne associée}}

On considère (E) l'équation diophantienne 
$x^2 - 8 y^2 = 1$,
où $x\in \N$ et $y\in \N$.

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
Deux couples solution sont, par exemple, $\boxed{\textcolor{red}{(3\,;\,1)}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{(1\,;\,0)}}$.

\item% Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ est solution de (E), alors les entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux.

Soit  $(x~;~y)$ un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ solution de (E).

Soit $d$ un diviseur commun à $x$ et $y$. 

Alors $d$ divise $x^2$, $y^2$, $8y^2$ et donc $d$ divise $x^2-8y^2$ donc $d$ divise 1.

On en déduit que $d=1$ ou $d=-1$ ce qui veut dire que $x$ et $y$ sont \textbf{\textcolor{red}{premiers entre eux}}.
\end{enumerate}

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Partie C : lien avec le calcul matriciel}}

Soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$.

On définit les entiers relatifs $x'$ et $y'$ par l'égalité : $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$.
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff 
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix}3x+8y\\x+3y\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x' & 3x+8y\\
y' & x+3y
\end{array}
\right. 
$

\item% Déterminer la matrice $A^{-1}$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
La matrice $A$ a un déterminant égal à 1, donc non nul, donc elle admet une matrice inverse $A^{-1}$.

Pour déterminer $A^{-1}$ on peut chercher la matrice carrée
$A'=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
et résoudre le système de 4 équations à 4 inconnues 
$A\times A'=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$;
enfin il faut vérifier que $A'\times A = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

On peut également déterminer $A^{-1}$ à la calculatrice et on trouve:
$\boxed{\textcolor{red}{A^{-1} =
\begin{pmatrix}3&-8\\-1&3\end{pmatrix}}}$.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff
A^{-1}\times\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}3&-8\\-1&3\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff 
\begin{pmatrix}3x'-8y'\\-x'+3y'\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\
\phantom{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 3x'-8y'\\
y & -x'+3y'
\end{array}
\right. 
$
\item% Démontrer que $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si $(x'~;~y')$ est solution de (E).

$\begin{array}[t]{@{} l !{\Longleftrightarrow} l}
(x~;~y) \text{ est solution de (E)} & x^2-8y^2=1\\
 & \left(3x'-8y'\right)^2 - 8\left(-x'+3y'\right)^2=1\\
 & 9x'^2 - 48 x'y' + 64y'^2 -8\left(x'^2-6x'y'+9y'^2\right)=1\\
 & 9x'^2 - 48 x'y' + 64y'^2 -8x'^2 +48x'y' - 72y'^2 =1\\
 & x'^2-8y'^2 = 1\\
 & (x'~;~y') \text{ est solution de (E)}
\end{array}$
\item On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 3$,\: $y_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. 
%On admet que, ainsi définis, les nombres $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier $n$.

%Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de (E).

Soit $\mathcal P_n$ la propriété: $(x_n\,;\,y_n)$ est solution de (E).

On effectue une \textbf{\textcolor{blue}{démonstration par récurrence}}.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \emph{\textcolor{blue}{Initialisation}} Pour $n=0$: $x_0=3$ et $y_0=1$ donc $x_0^2-8y_0^2=9-8=1$ donc $(x_0\,;\,y_0)$ est solution de (E).

La propriété est vraie au rang 0.

\item \emph{\textcolor{blue}{Hérédité}} On suppose que la propriété est vraie à un rang $p$ quelconque  ($p\geqslant 0$) c'est-à-dire que $(x_p\,;\,y_p)$ est solution de (E) ; c'est l'hypothèse de récurrence.

On veut démontrer que $(x_{p+1}\,;\,y_{p+1})$ est solution de (E).

On a vu dans la question précédente que si $(x\,;\, y)$ était solution de (E), alors $(x'\,;\, y')$ défini par $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
est aussi solution de (E).

Comme $(x_{n}\,;\,y_{n})$ est solution de (E), on peut dire que $(x_{n+1}\,;\,y_{n+1})$ est solution de (E) puisque $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$.
Donc la propriété est vraie au rang $p + 1$.

\item La propriété est vraie au rang 0; elle est \textcolor{blue}{héréditaire}. 

\bigskip

D'après le principe de récurrence,  elle est vraie pour tout $n \in \N$.

\end{list}

Pour tout entier naturel $n$, le couple $(x_n\,;\,y_n)$ est solution de (E).
\end{enumerate}

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Partie D : retour au problème initial}}

%À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} qui est le carré d'un entier.

On cherche un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} qui est le carré d'un entier.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item On cherche $n$ entier naturel tel que: $1+2+3+ \ldots +n \geqslant \np{2015}$.\\
Ce qui équivaut à $\dfrac{n(n+1)}{2}\geqslant \np{2015} \iff n^2+n-\np{4030}\geqslant 0$.

L'équation $x^2+x-\np{4030}=0$ a pour solutions $\dfrac{-1-2\sqrt{329}}{2}\approx -63,98$ et $\dfrac{-1+2\sqrt{329}}{2}\approx 62,98$.\\[5pt]
Pour que le nombre triangulaire soit supérieur à \np{2015}, il faut que $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 63}}$.

\item Dans la partie \textbf{A} on a vu qu'un nombre triangulaire $1+2+\ldots +n$ était un carré si et seulement s'il existait un entier $p$ tel que $(2n+1)^2-8p^2=1$.

\item Dans la partie \textbf{C} on a déterminé une suite de couples $(x_n\,;\,y_n)$ qui étaient tous solutions de l'équation $x^2 - 8y^2 = 1$.

\item On va donc chercher $n\geqslant 63$ tel que $(2n + 1)^2 - 8p^2=1$; si $n\geqslant 63$, alors $2n+1\geqslant 127$. 

Ce qui revient à chercher les couples $(x_n\,;\,y_n)$ solutions de (E) avec $x_n\geqslant 127$.

\item En partant de 
$\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}$ 
et en multipliant successivement par la matrice $A$, on trouve comme solutions
$\begin{pmatrix} 17\\6 \end{pmatrix}$, 
$\begin{pmatrix} 99\\35 \end{pmatrix}$, 
$\begin{pmatrix} 577\\204 \end{pmatrix}$ \ldots 

\item $577 = 2\times 288 +1$ donc un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} est $1+2+3+ \ldots + 288 = \dfrac{288\times 289}{2} = \boxed{\textcolor{red}{\np{41616}}}$.

\item On peut vérifier que $\np{41616} = 204^2$ (résultat en conformité avec la question \textbf{A. 2. a.}).
\end{list}

\label{fin}
\end{document}
