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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Bernard Froget
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
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% 5 fixe la hauteur de l'entéte
% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte
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%%%%   Commandes perso FH
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres  Étrangers}}
\rfoot{\small{8 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty}

%\section*{\centering\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry~\decofourright \\ 22 avril 2016 -- {\red Corrigé}}
%
%\vspace{0,25cm}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Centres Étrangers 8 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Exercice 1 \hfill Commun  à tous\slash toutes les candidats\slash e\slash s \hfill 4 points}

{\bf Affirmation 1}

Soit $M$ la variable aléatoire égale à la masse d'une baguette. Par hypothèse, $M$ suit la loi normale de moyenne 200 et d'écart-type 10.
 
Il s'agit de vérifier si P$(M> 187) > 0,9$. La calculette donne
\[P(X\leqslant 187)\simeq 0,0968\]
On en déduit :
\[P(X> 187)=1-P(X\leqslant 187)\simeq 0,903\]
\[\red \text{L'affirmation 1 est vraie}.\]
\par\medskip
{\bf Affirmation 2}
\par\medskip
\parbox{12cm}{La fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0,\frac\pi2]$. On en déduit que la fonction $x\mapsto -\cos x$ est strictement croissante sur $[0,\frac\pi2]$.

La fonction $f$ est alors strictement croissante sur $[0,\frac\pi2]$ comme somme des fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto -\cos x$, strictement croissantes sur $[0,\frac\pi2]$. Elle est également continue sur $[0,\frac\pi2]$.    

On a par ailleurs $\syst{l}{f(0)=-1\\ \text{et}\\ f(\frac\pi2)=\frac{\pi}{2}}$.

Puisque $0\in[-1,\frac\pi2]$, on en déduit, d'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[0,\frac\pi2]$. 
\[\red \text{L'affirmation 2 est vraie}.\]
}
\hspace{1cm}\parbox{8cm}{\newrgbcolor{ffxfqq}{1. 0.4980392156862745 0.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5722158563161374,-1.5187213673821824)(1.9075300367328087,1.7519778213001318)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=y,Dx=1.5708,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5722158563161374,-1.5187213673821824)(1.9075300367328087,1.7519778213001318)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ffxfqq,plotpoints=200]{-0.5722158563161374}{1.9075300367328087}{x-COS(x)}
\begin{Large}
\rput[bl](-2.8809447912237767,-1.9676408638679903){\ffxfqq{$f$}}
\rput[bl](1.5708,-0.7){$\frac\pi 2$}
\psdots[dotsize=6pt 0,dotstyle=*,linecolor=ffxfqq](1.5707963267948966,1.5707963267948966)
\psdots[dotsize=6pt 0,dotstyle=*,linecolor=ffxfqq](0.,-1.)
\end{Large}
\end{pspicture*}
} 
\par\medskip
{\bf Affirmation 3}
\par\medskip
Déterminons l'intersection de $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ en résolvant le système $\syst{lcl}{1+2t&=&-5t'+3\\2-3t&=&2t'\\4t&=&t'+4}\quad (S)$

$(S)\iff \syst{lcl}{2t+5t'&=&2\\3t+2t'&=&2\\4t-t'&=&4}\iff\syst{lcl}{t'=4t-4\\2t+5(4t-4)&=&2\\3t+2(4t-4)&=&2}\iff \syst{lcl}{t'=4t-4\\22t&=&22\\11t&=&10}\iff\syst{lcl}{t'&=&4t-4\\t&=&1\\t&=&\frac{10}{11}}$
Puisque le système n'a pas de solution, alors les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ne sont pas sécantes :
\[\red \text{L'affirmation 3 est fausse}.\]
\par\medskip
{\bf Affirmation 4}
\par\medskip
La droite $\mathcal{D}_1$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si un vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$ est orthogonal à un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

$\mathcal{D}_1$ est dirigée par $\vect{v}\mat{2\\-3\\4}$ et un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est $\vect{n}\mat{1\\2\\1}$

$\vect{v}.\vect{n}=2\times 1+(-3)\times 2+4\times 1=0$. Puisque $\vect{v}.\vect{n}=0$, alors $\mathcal{D}_1$ est parallèle à $\mathcal{P}$ :
\[\red \text{L'affirmation 4 est vraie}.\]
\vspace{0,5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Exercice 2 \hfill Commun  à tous\slash toutes les candidat\slash e\slash s \hfill  6 points}

{\bf Partie A }
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
~\par
\parbox{11cm}{Dans la cas où $f$ est une fonction strictement positive, on a  :

\[A_1=a\times f(0)\quad\text{u.a\quad et }A_2=(1-a)\times f(0)\quad\text{u.a}\] 

Par suite :

\[A_1=A_2\iff a\times f(0)=(1-a)\times f(0)\overset{\red f(0)\ne 0}{\iff}1-a=a\iff a=\frac12\]
\[\red\text{La condition (E) est remplie pour un unique réel.}\]
}
\parbox{8cm}{\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.11627370844109493,-0.2014508336344327)(1.1391442801914977,0.954418592022886)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.11627370844109493,-0.2014508336344327)(1.1391442801914977,0.954418592022886)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0.4,0.85)(0.4,0.)
\psline(1.,0.85)(1.,0.)
\psline(1.,0.85)(0.,0.85)
\psline(0.4,0.85)(0.4,0.)
\begin{large}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.4,0.)
\rput[bl](0.3538167278310213,-0.17932893075103903){$a$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.4,0.85)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,0.85)
\end{large}
\end{pspicture*}
}
\item
~\par
\parbox{11cm}{
$A_1$ est l'aire d'un triangle rectangle, $A_2$ celle d'un trapèze :

\[A_1=\dfrac{a^2}{2}\quad\text{u.a\quad et \;}A_2=\dfrac12-\dfrac{a^2}{2}\quad\text{u.a}\] 

Par suite :

\[A_1=A_2\iff \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{a^2}{2}\iff a^2=\dfrac{1}{2}\overset{\red a>0}{\iff}a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\]
\[\red\text{La condition (E) est remplie pour un unique réel.}\]
}
\parbox{8cm}{\newrgbcolor{ffxfqq}{1. 0.4980392156862745 0.}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.20476131997466973,-0.22357273651782636)(1.2110404645625272,1.153515717973429)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.20476131997466973,-0.22357273651782636)(1.2110404645625272,1.153515717973429)
\pscustom[linecolor=blue,hatchcolor=blue,fillstyle=dots*,hatchangle=45.0,hatchsep=0.2]{\psplot{0.}{0.4}{x}\lineto(0.4,0)\lineto(0.,0)\closepath}
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\psplot[plotpoints=200]{0}{1}{x}
%\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 1pt](0.4,0.4)(0.4,0.)
\psline(1.,1.)(1.,0.)
\psline(0.4,0.4)(0.4,0.)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0.,0.4)(0.4,0.4)
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\begin{large}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.4,0.)
\rput[bl](0.3538167278310213,-0.17932893075103903){$a$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.4,0.4)
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\rput[bl](-0.0886213298368528,0.3847795927754993){$a$}
\end{large}
\end{pspicture*}

}

\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\[\red A_1=\int\limits_{0}^{a}f(x)\;dx\qquad A_2=\int\limits_{a}^{1}f(x)\;dx\]
\item
Soit $a\in\;]0,1[$:

$\begin{array}[t]{lcl}
A_1=A_2&\iff&\int\limits_{0}^{a}f(x)\;dx=\int\limits_{a}^{1}f(x)\;dx\\
&&\\
&\iff& F(a)-F(0)=F(1)-F(a)\\
&&\\
&\iff& F(a)=\dfrac{F(0)+F(1)}{2}
\end{array}$

Puisqu'on a raisonné par équivalence, on a montré que
\[\red\text{Le nombre réel a vérifie la condition (E) si et seulement si }F(a)=\frac{F(0)+F(1)}{2}\]\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
D'après ce qui précède, les valeurs de a pour lesquelles la condition (E) est vérifiée sont les solutions de l'équation 
\[F(x)=\dfrac{F(0)+F(1)}{2}\text{ où F est une primitive sur }\R\text{ de la fonction exponentielle.}\]  

Puisqu'une primitive de la fonction exponentielle est elle-même, alors l'égalité ci-dessus s'écrit :
\[\text{e}^x=\dfrac{\text{e}^0+\text{e}^1}{2}\]
soit :
\[\text{e}^x=\dfrac{1+\text{e}}{2}\]
ou encore :
\[x=\ln\dfrac{1+\text{e}}{2}\]
\[\red\text{La condition (E) est vérifiée pour l'unique nombre réel }\ln \left(\dfrac{1+\text{e}}{2}\right)\]
\item
Il suffit de prouver :  
\[F\left(\frac43\right)=\dfrac{F(0)+F(1)}{2}\]
\hfill où $F$ est une primitive sur [0,1] de la fonction $f : x\mapsto \dfrac{1}{(x+2)^2}$\hfill\hfill\hfill

Une primitive de $f$ est $F$, définie sur [0,1] par $F(x)=-\dfrac{1}{x+2}$. 

Calculons chacun des deux nombres $\dfrac{F(0)+F(1)}{2}$ et $F\left(\frac25\right)$ :
\par\medskip
$\dfrac{F(0)+F(1)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{5}{12}\qquad \text{et} \qquad F\left(\dfrac25\right)=-\dfrac{1}{\dfrac25+2}=-\dfrac{1}{\dfrac{12}{5}}=-\dfrac{5}{12}$

Par conséquent :
\[\red\text{La valeur }a=\frac25\text{ convient}\]
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\par\medskip
{\bf Partie B }
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
Puisqu'une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur [0,1] par $F(x)=4x-x^3$, on déduit de  A.2.a que la condition (E) est vérifiée si et seulement si
\[4a-a^3=\dfrac{4-1}{2}\] 
soit :
\[\red a=\dfrac{a^3}{4}+\dfrac{3}{8}\]
\item
\begin{enumerate}
\item
\[\red u_1=g(0)=\dfrac38\]
\item
La fonction $g$, en tant que fonction polynôme, est dérivable sur $[0,1]$ et on a, pour tout nombre réel $x$ de $[0,1]$ :
\[g'(x)=\dfrac{3}{4}x^2\]
Puisque $g'\geqslant 0$ sur [0,1], {\red la fonction g est croissante sur [0,1]}. 
\item
Pour tout entier naturel $n$, notons $\mathcal{P}_n$ la propriété
\[0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1\]
$\bullet\;\mathcal{P}_0$ s'écrit :
\[0\leqslant u_0\leqslant u_{1}\leqslant 1\]

Puisque $\syst{l}{u_0=0\\ \text{et}\\u_1=\dfrac38}$, on a 
$0\leqslant 0\leqslant \dfrac38\leqslant 1$ :
\[\blue \mathcal{P}_0\text{ est vraie}\]
\par\medskip
$\bullet\;$Supposons la propriété $\mathcal{P}_p$ vraie pour un entier naturel $p$. On a donc :
\[0\leqslant u_p\leqslant u_{p+1}\leqslant 1\].

Montrons alors que $\mathcal{P}_{p+1}$ est vraie, i.e :
\[0\leqslant u_{p+1}\leqslant u_{p+2}\leqslant 1\].

On a, par hypothèse :
\[0\leqslant u_p\leqslant u_{p+1}\leqslant 1\] 
La fonction $g$ étant croissante sur [0,1], on en déduit :
\[g(0)\leqslant g(u_p)\leqslant g(u_{p+1})\leqslant g(1)\]
soit : 
\[\dfrac38\leqslant u_{p+1}\leqslant u_{p+2}\leqslant \dfrac58\]
On en déduit bien sûr :
\[0\leqslant u_{p+1}\leqslant u_{p+2}\leqslant 1\].
On a prouvé :
\[\blue \forall p\in\N\quad \mathcal{P}_p \text{ est vraie}\;\Longrightarrow\; \mathcal{P}_{p+1} \text{ est vraie}\] 
\par\medskip 
$\bullet\;$On a prouvé : 
\[\forall n\in\N\qquad 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1\]
\item
La suite $u$ est croissante et majorée par $1$ : elle converge donc,  en vertu du théorème de la limite monotone, vers une limite $\ell$ comprise entre $0$ et $1$.
\par\medskip
Puisque la fonction $g$ est continue sur [0,1], alors 
\[\lim\limits_{n\to +\infty}g(u_n)=g(\ell)\]
On a par ailleurs :
\[\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n+1}=\ell\]
Puisque $u_{n+1}=g(u_n)$, on en déduit :
\[\ell=g(\ell)\]
soit 
\[\ell=a\]
\hfill puisque l'équation $g(x)=x$ admet une unique solution d'après la question 1.\hfill\hfill\hfill
\item
Une valeur approchée de $u_{10}$ à $10^{-8}$ prés est {\red $\np{0.38980784}$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Exercice 3 \hfill Commun  à tous\slash toutes les candidat\slash e\slash s \hfill  5 points}
 
 {\bf Partie A}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
L'expérience consistant à interroger une personne est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0,6$ en convenant d'appeler succès le fait que la personne accepte de répondre à la question.  On est alors en présence d'une succession de 700 épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes (puisque la probabilité qu'une personne accepte de répondre reste constante). {\red La variable aléatoire X dénombrant les personnes ayant accepté de répondre suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 700$ et $p= 0,6$}.
    
\item
D'après la calculette : P$(X\leqslant 399)\simeq \np{0,0573}$.

Par suite :
\[\text{P}(X\geqslant 400)=\text{P}(X>399)=1-\text{P}(X\leqslant 399)\simeq \np{0,9427}\]
\[\red \text{La meilleure valeur approchée est }0,94\]
\end{enumerate}
\item
Lorsque $n$ personnes sont interrogées, notons $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes acceptant de répondre . $X_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0.6$. 

On cherche le plus petit entier n tel que P$(X_n\geqslant 400)>0.9$.

Puisque 
\[\text{P}(X_n\geqslant 400)>0.9\iff1-\text{P}(X_n\leqslant 399)>0.9\iff\text{P}(X_n\leqslant 399)<0.1\]
la question est de déterminer, parmi les entiers n vérifiant P$(X_n\leqslant 399)<0.1$, le plus petit.

La calculette donne $\syst{l}{\text{P}(X_{693}\leqslant 399)\simeq \np{0.1034}\\ \text{et}\\\text{P}(X_{694}\leqslant 399)\simeq \np{0.0955}}$

Puisque la suite $\left(\text{P}(X_n\leqslant 399)\right)$ est décroissante, alors 
\[\red 694 \text{ est le plus petit entier n convenant}\]
\end{enumerate}
\par\medskip
{\bf Partie B}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
Puisque $n\geqslant 50$, alors $n\times f= 0,29\times n\geqslant 0,29\times 50$, soit $n\times f\geqslant 14,5$

De manière analogue, $n\times (1-f)= 0,71\times n\geqslant 0,71\times 50$, soit $n\times (1-f)\geqslant 35,5$

Puisque $\syst{l}{n\geqslant 30\\ n\times f\geqslant 5\\ n(1-f)\geqslant 5}$, les conditions d'application d'un intervalle de confiance sont vérifiées. 

Un intervalle de confiance, au niveau de confiance $95\,\%$, de la proportion de personnes favorables au projet est \[\red \left[0,29-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~0,29+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\]
%L'intervalle de confiance précédent est 
%\[\red\]
\item 
L'amplitude de l'intervalle précédent est inférieure ou égale à $0,04$ si et seulement si  \[\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,04\]
Puisque \[\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,04\iff \dfrac{2}{0,04}\leqslant \sqrt{n}\overset{n>0}{\iff} n\geqslant\left(\dfrac{2}{0,04}\right)^2\iff n\geqslant \np{2500}\], alors
\[\red\text{Le nombre minimum de personnes à interroger est }\np{2500}\]
\end{enumerate}

\par\medskip
{\bf Partie C}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
\[\red \text{P}_{F}(A)=0,85\qquad\qquad\text{P}_{\overline{F}}(A)=0,15\]
\item
\begin{enumerate}
\item
$\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=9pt]{\Tdot}
{%
	\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=50pt]{\TR{F}^{x}}
		{\TR{A}~{\;:\;F\cap A}^{0,85}\TR{\overline{A}}~{\;:\;F\cap \overline{A}}_{0,15}}
	\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=50pt]{\TR{\overline{F}}_{1-x}}
		{\TR{A}~{\;:\;\overline{F}\cap A}^{0,15}\TR{\overline{A}}~{\;:\;\overline{F}\cap \overline{A}}_{0,85}}
}$

\medskip

\item
D'après l'arbre :
\[\text{P}(A)=\text{P}(F\cap A)+\text{P}(\overline{F}\cap A)= 0,85x+0,15(1-x)=0,7x+0,15\]
Par suite :
\[\red 0,7x+0,15=0,29\]
\end{enumerate}
\item
La résolution de l'équation ci-dessus conduit à $x=0,2$
\[\red \text{Parmi les personnes ayant répondu }20\,\%\text{ sont réellement favorables au projet}\]
\end{enumerate}

\par\medskip

\vspace{0,5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Exercice 4 \hfill Candidat\slash e\slash s n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill  5 points}
 
{\bf Partie A}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
$z_1= \left(1+\dfrac16\right)\text{e}^{\text{i}\dfrac{2\pi}{6}}=\dfrac76\times \text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac76\times\left(\dfrac12+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{7}{12}+\text{i}\dfrac{7\sqrt{3}}{12}$ :
\[\red z_1=\dfrac{7}{12}+\text{i}\dfrac{7\sqrt{3}}{12}\]
\item
$z_0=\left(1+\dfrac06\right)\text{e}^{\text{i}\dfrac{2\times 0\times \pi}{6}}=\text{e}^{\text{i}\times 0}=\cos 0+\text{i}\sin 0=1$ : {\;\red $z_1 = 1$}

$z_6 = \left(1+\dfrac66\right)\text{e}^{\text{i}\dfrac{2\times 6\times \pi}{6}}=2\text{e}^{\text{i}\times 2\pi}=2(\cos 2\pi+\text{i}\sin 2\pi)=2$ :{\;\red $z_6 =2$}
\item
~\par
\parbox{12cm}{Soit $H_1$ le pied de la hauteur du triangle $OM_0M_1$ issue de $M_1$. 

Dans le triangle rectangle $OM_1H_1$, on a $\sin\widehat{M_0OM_1}=\dfrac{H_1M_1}{OM_1}$, soit 
\[\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{H_1M_1}{\dfrac76}\]
On en déduit :
\[\red H_1M_1=\dfrac76\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{7\sqrt{3}}{12}\]
L'aire du triangle $OM_0M_1$ est alors égale, en u.a, à 
\[\red \dfrac{OM_0\times H_1M_1}{2}=\dfrac{7\sqrt{3}}{24}\]}
\parbox{9cm}{
\newrgbcolor{ffxfqq}{1. 0.4980392156862745 0.}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.24195914262856152,-0.36348329006413593)(1.3560533316124534,1.2673089272382358)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.24195914262856152,-0.36348329006413593)(1.3560533316124534,1.2673089272382358)
\psline[linecolor=darkgray](0.,0.)(0.5833333333333334,1.0103629710818451)
\psline(1.,0.)(0.58,1.0103)
\pscustom[linecolor=ffxfqq,fillcolor=ffxfqq,fillstyle=none,opacity=0.1]{
\parametricplot{0.0}{1.0471975511965976}{0.2868227517868488*cos(t)+0.|0.2868227517868488*sin(t)+0.}
\lineto(0.,0.)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=ffxfqq]{->}(0.,0.)(0.2868227517868488,0.2868227517868488){0.}{56.04}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0.5833333333333334,1.0103629710818451)(0.5833333333333334,0.)
\begin{large}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,0.)
\rput[bl](-0.16820472074051468,-0.15041496016533362){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.,0.)
\rput[bl](0.9872812221722191,-0.19222002439999507){$M_0$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.5833333333333334,1.0103629710818451)
\rput[bl](0.5611445623746152,1.0034102119314648){$M_1$}
\rput[bl](0.3071015536491205,0.1527976631521928){\ffxfqq{$\frac{\pi}{3}$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5833333333333334,0.)
\rput[bl](0.618509112731985,-0.16763521710397941){\darkgray{$H_1$}}
\end{large}
\end{pspicture*}
}
\end{enumerate}
\par\medskip
{\bf Partie B}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
\[{\red OM_k\;}=|z_{M_k}|=|z_k|=\left|\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\text{e}^{\text{i}\dfrac{2k\pi}{n}}\right|=\left|1+\dfrac{k}{n}\right|\times\left|\text{e}^{\text{i}\dfrac{2k\pi}{n}}\right|={\red\;1+\dfrac{k}{n}}\]
\item
Par hypothèse, on a : $z_k=\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\text{e}^{\text{i}\dfrac{2k\pi}{n}}$. Puisque $1+\dfrac{k}{n}>0$, alors $\text{arg}\,(z_k)=\dfrac{2k\pi}{n}\;[2\pi]$. 

Par suite :
\[\red (\vect{u},\vect{OM_k})=Arg\,(z_k)=\dfrac{2k\pi}{n}\;[2\pi]\qquad\qquad (\vect{u},\vect{OM_{k+1}})=Arg\,(z_{k+1})=\dfrac{2(k+1)\pi}{n}\;[2\pi]\]
\item
\[{\red (\vect{OM_{k}},\vect{OM_{k+1}})=}(\vect{OM_{k}},\vect{u})+(\vect{u},\vect{OM_{k+1}})=-(\vect{u},\vect{OM_k})+(\vect{u}
,\vect{OM_{k+1}})=-\dfrac{2k\pi}{n}+\dfrac{2(k+1)\pi}{n}={\red\;\dfrac{2\pi}{n}\;[2\pi]}\]
\par\medskip
~\par
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 et pour tout entier $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n-1$, notons $H_{k+1}$ le pied de la hauteur issue du point $M_{k+1}$ dans le triangle $OM_kM_{k+1}$.
\par\medskip
$\bullet\;$ Si $n=2$, le triangle $OM_0M_1$ est plat : on  a alors $M_1H_1=0$ 
\par\medskip
$\bullet\;$ Si $n=3$, 

\par\medskip
\parbox{11cm}{ 
$\bullet\;$Supposons $n\geqslant3$ :

Le point $H_k$ appartient alors au segment $[OM_k]$ \emph{sauf si $n=3$}. Dans les deux cas, on a  
\[\left|\sin(\vect{OH_{k+1}},\vect{OM_{k+1}})\right|=\left|\sin(\vect{OM_{k}},\vect{OM_{k+1}})=\dfrac{2\pi}{n}\right|=\sin\dfrac{2\pi}{n}\]
Par suite : 
%Le triangle $OH_{k+1}M_{k+1}$ étant rectangle en $H_k$, on a
\[\sin\widehat{H_{k+1}OM_{k+1}}=\dfrac{M_{k+1}H_{k+1}}{OM_{k+1}}=\dfrac{M_{k+1}H_{k+1}}{1+\dfrac{k+1}{n}}\]
Puis :
\[M_{k+1}H_{k+1}=\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)\times\sin\dfrac{2\pi}{n}\;[2\pi]\]
}
\parbox{9cm}{%
\newrgbcolor{ffxfqq}{1. 0.4980392156862745 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.214039125416403,-0.3919565266115846)(4.154773506348693,5.401726169537804)
\pspolygon[linecolor=ffxfqq,fillcolor=ffxfqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.0980208542314607,1.3634259389963939)(1.7225949152350668,1.199446793227854)(1.8865740610036068,0.8240208542314604)(2.262,0.988)
\psline(0.,0.)(0.55073380212195,4.905898926720801)
\psline(0.,0.)(3.48,1.52)
\psline(0.55073380212195,4.905898926720801)(3.48,1.52)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=ffxfqq](2.262,0.988)(0.55073380212195,4.905898926720801)
\pscustom[linecolor=ffxfqq,fillcolor=ffxfqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{
\parametricplot{0.4118073053617165}{1.4590048565583142}{0.965613782691564*cos(t)+0.|0.965613782691564*sin(t)+0.}
\lineto(0.,0.)\closepath}
\begin{large}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](0.,0.)
\rput[bl](-0.2870498940325013,-0.2567705970347655){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3.48,1.52)
\rput[bl](3.5560929610799237,1.5972078657330389){$M_k$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.55073380212195,4.905898926720801)
\rput[bl](0.6206270616975689,4.976856105153516){$M_{k+1}$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.262,0.988)
\rput[bl](2.493917800119203,0.631594083041474){\darkgray{$H_{k+1}$}}
\rput[bl](0.562690234736075,1.0178395961181){\ffxfqq{$\dfrac{2\pi}{n}$}}
\end{large}
\end{pspicture*}
}
\item
~\par
\begin{center}
\begin{tabular}{*{11}{|c}|}
\hline
k&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
A&0,323&0,711&1,170&1,705&2,322&3,027&3,826&4,726&{\red 5,731}&{\red 6,848}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item
Les deux lignes à compléter sont 
\[\text{L6 : Tant que {\red \;A < 7,2}}\]
et 
\[\text{L13 : Afficher{\red \;n}}\]
\emph{Remarque : } on obtient n = 20.
\end{enumerate}
\par\vspace{0,5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Exercice 4 \hfill Candidat\slash e\slash s ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill  5 points}
 
{\bf Partie A}
\par\medskip
D'une part :
\[\text{HI}\longrightarrow\mat{H\\I}\longrightarrow\mat{x_1\\x_2}=\mat{7\\8}%
\longrightarrow\mat{y_1\\y_2}=\mat{5&2\\7&7}\mat{7\\8}=\mat{51\\105}\longrightarrow\mat{r_1\\r_2}=\mat{25\\1}\longrightarrow\mat{Z\\B}\]
D'autre part :
\[\text{LL}\longrightarrow\mat{H\\I}\longrightarrow\mat{x_1\\x_2}=\mat{11\\11}%
\longrightarrow\mat{y_1\\y_2}=\mat{5&2\\7&7}\mat{11\\11}=\mat{77\\154}\longrightarrow\mat{r_1\\r_2}=\mat{25\\24}\longrightarrow\mat{Z\\Y}\]
\[\red\text{Le mot HILL est chiffré par le mot ZBZY}\]
\par\medskip
{\bf Partie B}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
Puisque $a$ et $26$ sont premiers entre eux, alors, d'après le théorème de Bèzout, il existe deux entiers u et v tels que 
\[au+26v=1\]
Puisque $26\equiv 0\mod 26$, alors $26v\equiv 26\times 0\mod 26$, soit $26v\equiv 0\mod 26$.

En ajoutant au à chacun des deux membres de la congruence précédente, on obtient : 
\[au+26v\equiv au\mod 26\]
soit \[au\equiv 1\mod 26\]
\[\red\text{P.G.C.D\;(a,26)=1}\;\Longrightarrow\;\exists u\in\Z\quad a\times u\equiv 1\mod 26 \]
\item
\begin{enumerate}
\item
~\par
\begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|c}|}
\hline
u&0&1&2&3&4&5\\
\hline
r&0&21&16&11&6&1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item
L'algorithme affiche 5, qui est donc le plus petit entier u tel que $a\times u\equiv 1\mod 26$.
Par suite :
\[\red 5\times 21\equiv 1\mod 26\]

\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
$\begin{array}[t]{lcl}
12A-A^2&=&12\mat{5&2\\7&7}-\mat{5&2\\7&7}\mat{5&2\\7&7}\\
&&\\
&=&12\mat{5&2\\7&7}-\mat{5\times 5+2\times 7& 5\times 2+2\times 7\\7\times5+7\times 7&7\times2+7\times7}\\
&&\\
&=&\mat{60&24\\84&84}-\mat{39&24\\84&63}\\
&&\\
&=&\mat{21&0\\0&21}\\
&&\\
&=&21\times I\\
\end{array}$
\item
L'égalité $12A-A^2=21I$ s'écrit $(12I-A)\times A=21I$. Par suite : 
\[\red B=12I-A\]
\item
Supposons :
\[A\times X=Y\]
Multiplions chacun des deux membres de l'égalité (à gauche) par B :
\[B\times A\times X=B\times Y\]
Puisque $BA=21I$, l'égalité ci-dessus s'écrit :
\[21X=BY\]
On a prouvé :
\[\red AX=Y\Longrightarrow 21X=BY\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\par\medskip
{\bf Partie C}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
Puisque, par hypothèse, Y=AX, on en déduit, d'après la partie précédente :
\[21X=BY\]
où B est la matrice $12I-A=\mat{12&0\\0&12}-\mat{5&2\\7&7}=\mat{7&-2\\-7&5}$
\par\medskip
$\bullet\;$On a d'une part $21X=\mat{21x_1\\21x_2}$

$\bullet\;$D'autre part :

$%\begin{array}[t]{lcl}
BY=\mat{7&-2\\-7&5}\mat{y_1\\y_2}=\mat{7y_1-2y_2\\-7y_1+5y_2}$ 
On en déduit :
\[\red\syst{l}{21x_1=7y_1-2y_2\\ 21x_2=-7y_1+5y_2}\]
\item
Multiplions chacune des deux égalités ci-dessus par 5 :
\[\syst{l}{105x_1=35y_1-10y_2\\ 105x_2=-35y_1+25y_2}\]

$\bullet\;$Prouvons : $x_1\equiv 9r_1+16r_2\mod 26$ :

Puisque $105\equiv 1\mod 26$, alors \[\blue 105x_1\equiv x_1\mod 26\;(a)\]

De $\syst{l}{35\equiv 9\mod 26\\ \text{et}\\ y_1\equiv r_1\mod 26}$, on déduit, par somme : $35y_1\equiv 9r_1\mod 26\;(1)$.

De $\syst{l}{-10\equiv 16\mod 26\\ \text{et}\\ y_2\equiv r_2\mod 26}$, on déduit, par somme : $-10y_2\equiv 16r_2\mod 26\;(2)$.

En ajoutant membre à membre les congruences (1) et (2), on obtient \[\blue 35y_1-10y_2\equiv 9r_1+16r_2\mod 26\;(b)\]

De (a) et (b) on déduit :
\[\red x_1\equiv 9r_1+16r_2\mod 26\]
$\bullet\;$Un raisonnement analogue montre que
\[\red x_2\equiv 17r_1+25r_2\mod 26\]
\item
\[VL\rightarrow\mat{r_1\\r_2}=\mat{21\\11}\rightarrow\mat{9r_1+16r_2\\17r_1+25r_2}=\mat{365\\632}\rightarrow\mat{1\\8}\rightarrow BI\]
\[UP\rightarrow\mat{r_1\\r_2}=\mat{20\\15}\rightarrow\mat{9r_1+16r_2\\17r_1+25r_2}=\mat{420\\715}\rightarrow\mat{4\\13}\rightarrow EN\]
\[\red\text{VLUP code le mot BIEN}\]
\end{enumerate}
\end{document}