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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\subsection*{\textcolor{blue}{Correction du \no 83 page 107}}

\begin{enumerate}

\item On a, par exemple, $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}$.

\item On constate que les vecteurs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles).\\
Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont donc \textbf{\textcolor{red}{sécants}}.

\item L'intersection de deux plans sécants est une droite $\Delta$.\\
Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $\Delta$ si, et seulement si, $M$ appartient à chacun des deux plans.\\
Ses coordonnées doivent donc vérifier les deux équations des deux plans, donc être solutions du système \[\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}4x+y-3z+1=0\\	2x-3y+2z+4=0\end{cases}}}\]
Le plus pratique pour déterminer une droite dans l'espace est d'avoir une représentation paramétrique de cette droite.\\
Pour déterminer une telle représentation à partir du système des deux équations, on prend une des inconnues comme paramètre.\\
Ici, nous avons prendre $x$ comme paramètre.
\bigskip

En posant $x=t$ et en utilisant les équations des deux plans on obtient le système :

$\begin{cases}x=t \\y-3z=-4t-1 \\-3y+2z=-2t-4 \end{cases}$, d'où $\begin{cases}x=t \\y-3z=-4t-1 \\-7z=-14t-7 \end{cases}$ et donc $\begin{cases}x=t \\y=2t+2 \\z=2t+1 \end{cases}$.

\item D'après la question précédente, pour tout $t\in\mathbb{R}$, le point $M(t;2t+2;2t+1)$ appartient aux deux plans. Une représentation paramétrique de la droite d'intersection est donc $\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=t \\y=2t+2 \\z=2t+1 \end{cases},t\in\mathbb{R}}}$.

\bigskip

Ce n'était pas demandé, mais on en déduit que $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de cette droite \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item .
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  