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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices de révision (2)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2012}}
\textbf{\textcolor{red}{PARTIE A} :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^x\:\text{d}x = 1$. 
On cherche une primitive $F$ sous la forme $F(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{x}$.

Par définition d'une primitive, on doit avoir $F'=f$ ; or $F'(x)=a\mathrm{e}^{x}+(ax+b)\mathrm{e}^{x}=(ax+a+b)\mathrm{e}^{x}$.\\
Pour tout $x$, on doit donc avoir $ax+a+b=x$, d'où, par identification des coefficients : $\left\{\begin{array}{l}a=1\\a+b=0\end{array}\right.$.

On en déduit $a=1$ et $b=-a=-1$ donc $F(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$.

Alors : $\int_0^1 x\mathrm{e}^{x}\text{ d}x=\int_0^1f(x)\text{ d}x=F(1)-F(0)=\boxed{\textcolor{red}{1}}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'aire du triangle OAA$'$ et montrer que l'aire du trapèze ABB$'$A$'$ est égale à  $\dfrac{1}{2}\left(- a^2 \text{e}^a + a\text{e}^a - a\text{e} + \text{e}\right)$.
		$\mathcal{A}(\text{OAA}') = \dfrac{1}{2} a \times a\text{e}^{a} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2} a^2\text{e}^{a}}}$. (aire d'un triangle)
		
$\mathcal{A}(\text{ABB}'\text{A}') = \dfrac{1}{2} \left(a\text{e}^{a} + \text{e}\right)\times (1 - a) =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}\left(a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a + \text{e} - a\text{e} \right)}}$ (aire d'un trapèze).	 

		\item %En déduire que l' aire de la partie du plan hachurée est égale à  $\dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)$.
Les segments [OA] et [AB] étant au dessus de la courbe $\mathcal{C}$ l'aire de la partie hachurée est égale à  la somme des aires du triangle et du trapèze précédents diminuée de l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$, soit :

$\dfrac{1}{2} a^2\text{e}^{a} + \dfrac{1}{2}\left(a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a + \text{e} - a\text{e} \right) - \displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^x\:\text{d}x = $

$\dfrac{1}{2}\left(a^2\text{e}^{a} + a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a  + \text{e} - a\text{e}\right) - 1 = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)}}$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE B :}}

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
%
%\[g (x) = x\left(\text{e}^x - \text{e}\right) + \text{e} - 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$. 
Toutes les fonctions sont dérivables sur $[0~;~ +\infty[$, donc :

$g^{\prime}(x) = \boxed{\textcolor{red}{\text{e}^x - \text{e} + x\text{e}^x}}$.

%Vérifier que la fonction dérivée seconde $g^{\prime\prime}$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g^{\prime\prime}(x) = (2 + x) \text{e}e^x$.
Puis $g^{\prime\prime}(x) =  \text{e}^x + \text{e}^x + x\text{e}^x  = \boxed{\textcolor{red}{\text{e}^x (2 + x)}}$.
\item %En déduire les variations de la fonction $g^{\prime}$ sur $[0~;~+\infty[$.
On sait que  $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, et sur $[0~;~ +\infty[,\:2 + x \geqslant 2 > 0$ : donc sur $[0~;~ +\infty[, \:g^{\prime\prime}(x) > 0$ : on conclut que la fonction $g^{\prime}$ est \textbf{croissante} (strictement) sur $[0~;~ +\infty[$.
\item %à‰tablir que l'équation $g^{\prime}(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
On a $g^{\prime}(0) = 1 - \text{e} < 0$ et $g^{\prime}(1) = \text{e} > 0$ ou $\lim_{x\rightarrow +\infty}g'(x)=+\infty$.

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\pI\\
\hline
g\prime\prime(x)&&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\mathrm{e}-1<0&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

Donc la fonction $g^{\prime}$, monotone croissante et continue sur [0~;~1] de $g^{\prime}(0) < 0$ à  $g^{\prime}(1)  > 0$, s'annule une seule fois sur cet intervalle d'après le théorème des valeurs intermédiaires.



Il existe donc un réel $\alpha \in[0~;~1]$ tel que $g^{\prime}(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne : $\boxed{\textcolor{red}{0,5 < \alpha < 0,6}}$.
%Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à  $10^{-1}$ près. 
\item %En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
Sur l'intervalle $[0~;~\alpha],\:g^{\prime}(x) < 0$ : la fonction est donc décroissante sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $[\alpha~;~+ \infty],\:g^{\prime}(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur cet intervalle. 
\item %En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de $a$.
D'après tous les résultats précédents, l'aire de la surface hachurée est égale à  :$\dfrac{1}{2}g(a)$.

Or on a vu que la fonction $g$ a sur sur $[0~;~+ \infty[$ et également  sur [0~;~1] un minimum en $\boxed{\textcolor{red}{x = \alpha}}$.

L'aire minimum est donc égale à  :  $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}g(\alpha)}}$

\emph{Non demandé} : cette aire vaut approximativement \numprint{0,0882} unité d'aire.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2012}}
\begin{enumerate}
\item 

%On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
%On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{3mm}
%\begin{itemize}
%\item D : \og{}Le candidat est retenu sur dossier\fg{}, 
%\item E$_{1}$ : \og{}Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien\fg{}, 
%\item E$_{2}$ : \og{}Le candidat est recrut?\fg{}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{0,4}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{0,7}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{0,25}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,75}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{0,3}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6}		 		
}
\end{center}
\medskip
 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
On a $p\left(E_{1}\right) = p\left(D \cap E_{1}\right) = p(D) \times p_{D}\left(E_{1}\right) = 0,4 \times 0,7 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,28}}$. 
		\item %On note $F$ l'évènement \og{}Le candidat n'est pas recruté\fg{}.
		 
%Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit :

$p(F) = p\left(\overline{D}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{1}}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{2}}\right) = 0,6 + 0,4 \times 0,3 + 0,4 \times 0,7 \times 0,75 = 0,6 + 0,12 + 0,21 = 0,93$. D'o\`u $p\left(\overline{F}\right) = 1 - p(F) = 1 - 0,93 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,07}}$.

On peut  aussi calculer directement la probabilité d'être recruté, soit :

$p\left(\overline{F}\right) = p\left(D \cap E_{1}\cap E_{2}\right) = 0,4 \times 0,7 \times 0,25 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,07}}$.

D'o\`u $p(F) = 1 - p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,07 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,93}}$.
	\end{enumerate} 
\item %Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
%On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.  On a répétition d'pruves identiques. La variable $X$ suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}(n=5,\:p=0,07)$. 
		\item %Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
		On a $p(X = 2) = \binom{5}{2}\times 0,07^2 \times 0,93^3  = 10 \times 0,07^2 \times 0,93^3 \approx \numprint{0,0394} \approx \boxed{\textcolor{red}{0,039}}$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 		 
\item %Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
On reprend ici la loi binomiale mais avec $n$ candidats chacun ayant une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.

La probabilité qu'aucun ne soit retenu est égale à : $\binom{n}{0}\times 0,07^0 \times 0,93^n = 0,93^n$.

La probabilité qu'un au moins des $n$ candidats soit recruté est donc égale à $1 - 0,93^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - 0,93^n > 0,999 \iff 0,001 > 0,93^n \iff \ln 0,001 > n \ln 0,93$ \:(par croissance de la fonction ln) $\iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93}$ car $\ln 0,93 < 0$.

Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93} \approx \boxed{\textcolor{red}{95,1}}$.

Il faut donc traiter \textbf{au moins 96 dossiers} pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un candidat.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2012}}
%\medskip
%
%On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 
%
%\[I_{n} = \int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad  J_{n} = 	\int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] 
% 
\begin{enumerate}
\item %Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par 
%
%\[f_{n}(x) =  \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\]
%
%pour différentes valeurs de $n$ : 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=9cm,comma=true}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.,-0.0)(1.1,1.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2)
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 x add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div}
%\uput[u](0.9,0.53){$f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){$f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){$f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){$f_{3}$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche.
Les fonctions représentées sont positives ; $I_{n}$ représente donc l'aire limité par le représentation de $f_{n}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. Le dessin suggère que la suite $\left(I_{n}\right)$  est décroissante. 
		\item  %Démontrer cette conjecture.
		Pour tout $n$, on a $f_{n+1}(x) - f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{- (n+1)x}}{1 + x} - \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} = \dfrac{\text{e}^{- nx}\times \text{e}^{- x}}{1 + x} - \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\left(\text{e}^{- x} - 1 \right)}}$.
		
Or $0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 1 \leqslant 1 + x \leqslant 2$ : donc $1 + x > 0$ ;

D'autre part on sait que $\text{e}^{- x} > 0$.
Enfin $0\leqslant x \leqslant 1 \iff - 1\leqslant  - x \leqslant  0 \Rightarrow$ (par croissance de la fonction exponentielle) $\text{e}^{- 1} \leqslant \text{e}^{- x} \leqslant \text{e}^0$.

Donc $\text{e}^{- x} \leqslant 1 \iff \text{e}^{- x} - 1 \leqslant 0$ et finalement par produit 

$f_{n+1}(x) - f_{n}(x) \leqslant 0 \iff f_{n+1}(x) \leqslant f_{n}(x)$ : la suite $\left(f_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.
Par intégration sur l'intervalle [0~;~1] des fonctions positives $f_{n+1}$ et $ f_{n}$ (conservation de l'ordre):

$f_{n+1}(x) \leqslant f_{n}(x) \Rightarrow I_{n1} \leqslant I_{n}$ : la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
		%Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : 

%\[0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} \leqslant \text{e}^{- nx}.\]
$0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 1 \leqslant 1 + x \leqslant 2 \iff \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{1 + x} \leqslant \dfrac{1}{1}$ et par produit par le nombre positif $\text{e}^{- nx}$, on obtient :

$\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} \leqslant \text{e}^{- nx}$.

D'autre part on sait que pour $1 + x \geqslant 1$, on a $(1 + x)^2 \geqslant 1 + x \iff$

$ \dfrac{1}{(1 + x)^2} \leqslant \dfrac{1}{1 + x}$ et par produit par le nombre positif $\text{e}^{- nx}$, on obtient :


$\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}$.

Enfin il est évident que $\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} > 0$, donc finalement :

\[\boxed{\textcolor{red}{0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} \leqslant \text{e}^{- nx}.}}\] 
		\item %Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite.
		Par intégration sur l'intervalle [0~;~1] des inégalités précédentes on obtient (conservation de l'ordre):
		
$\displaystyle\int_{0}^1 0\:\text{d}x \displaystyle\int_{0}^1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^1	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x 	\leqslant \displaystyle\int_{0}^1\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^1\text{e}^{- nx}\:\text{d}x$ soit encore 

$0 \leqslant J_{n} \leqslant I_{n} \leqslant \left[- \dfrac{1}{n}\text{e}^{- nx}  \right]_{0}^1$ c'est à dire :

$\boxed{\textcolor{red}{0 \leqslant J_{n} \leqslant I_{n} \leqslant - \dfrac{1}{n}\left(\text{e}^{- nx} - 1 \right)}}$.

Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{- nx} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}- \dfrac{1}{n}\left(\text{e}^{- nx} - 1 \right) = 0$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : d'après le \textbf{\textcolor{blue}{théorème des \og gendarmes \fg{}}}, les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ convergent vers $0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On a $(uv)'=u'v+uv'$ donc $uv'=(uv)'-u'v$.
		
		\item On pose : $u(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-nx}$ d'où $u'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$ et $v(x)=-\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}$.
		
		On en déduit : $I_n=\int_0^1\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}=\int_0^1u(x)v'(x)\text{ d}x=\int_0^1(uv)'(x)-(u'v)(x)\text{ d}x$\\
		
		$=\left[(uv)(x)\right]_0^1-\dfrac{1}{n}\int_0^1\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{(1+x)^2}\text{ d}x=\left[-\dfrac{1}{n}\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+x}\right]_0^1-\dfrac{1}{n}\int_0^1\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{(1+x)^2}\text{ d}x=-\dfrac{1}{n}\left[\dfrac{\mathrm{e}^{-n}}{2}-1\right]-\dfrac{1}{n}\int_0^1\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{(1+x)^2}\text{ d}x$.
		
		
Le résultat précédent peut s'écrire en multipliant par $n \neq 0$ :

$\boxed{\textcolor{red}{nI_{n} = 1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n}}}$.

Comme  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{- n}  = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_{n} = 0$, on a donc :

\[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} nI_{n} = 1}}\]

\emph{\textcolor{blue}{Remarque}} : on a donc pour $n$ assez grand  $I_{n} \approx \dfrac{1}{n}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : pour $n = 10$, la calculatrice donne $I_{10} \approx 0,091 \approx \dfrac{1}{10}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2012}}
\subsection*{\textcolor{red}{Partie A}}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
g(x)=2x^3-1+2\ln x
\]
\begin{enumerate}
\item Variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$:
\[
g'(x)=6x^2+\frac{2}{x}>0,\ \text{car somme de nombres positifs sur}\ ]0\,;\,+\infty[
\]
La fonction $g$ est donc \textbf{croissante} sur $]0\,;\,+\infty[$.

$\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$.


\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variations :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\pI\\
\hline
\m{g(x)}&\bb&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item La fonction $g$ est continue (comme somme de fonctions continues)sur $]0\,;\,+\infty[$.
De plus, $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une solution.

Comme $g$ est strictement croisante, cette solution est unique ; on la note $\alpha$.


De plus,
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
g(0,86)\simeq -0,0295<0\\
g(0,87)\simeq +0,0385>0
\end{array}\right.\Longrightarrow g(0,86)<g(\alpha)=0<g(0,87)\Longleftrightarrow \boxed{0,86<\alpha<0,87}
\]

\item Signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$:
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
0<x<\alpha \Longrightarrow g(x)<g(\alpha)=0\\
x>\alpha \Longrightarrow g(x)>g(\alpha)=0
\end{array}\right.
\]
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{red}{Partie B}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
f(x)=2x-\frac{\ln x}{x^2}
\]
On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal $(O\,;\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,)$.
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item Limite de la fonction $f$ en $0$:
\[
\lim_{x\to 0^+}f(x)=\boxed{\textcolor{red}{+\infty}}, \text{car}\ \lim_{x\to 0^+}2x=0\ \text{et}\ \lim_{x\to 0^+}-\ln x=+\infty\ \text{et}\ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty
\]
\item  Limite de la fonction $f$ en $+\infty$
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\boxed{\textcolor{red}{+\infty}}\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}2x=+\infty\ \text{et}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}=0\ \text{(\textit{croissances comparées})}
\]
\end{itemize}
\item La courbe $\mathcal C$ admet pour \textbf{\textcolor{blue}{asymptote oblique}} la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$.

En effet:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-2x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}=0
\]
(croissances comparées)


\begin{itemize}
\item Le signe de $f(x)-2x=-\dfrac{\ln x}{x^2}$ est celui de $-\ln x$, car $x^2>0$:
\item Position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta$:
\begin{itemize}
\item Sur $]0\,;\,1[$, $-\ln x>0$, $\mathcal C$ est au dessus de $\Delta$,
\item sur $]1\,;\,+\infty[$, $-\ln x<0$, $\mathcal C$ est en dessous de $\Delta$,
\item $\mathcal C$ et $\Delta$ ont un point commun $A(1,2)$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\item Dérivée $f'(x)$ de $f$:
\[
f'(x)=2-\cfrac{\cfrac{1}{x}x^2-2x\ln x}{x^4}=\frac{2x^4-x+2x\ln x}{x^4}=\frac{2x^3-1+2\ln x}{x^3}=\boxed{\textcolor{red}{\frac{g(x)}{x^3}
}}\]
$f'(x)$ a même signe que $g(x)$ car $x^3$ est strictement positif sur $]0\,;\,+\infty[$.
\item Tableau de variations de la fonction $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\alpha&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\d&f(\alpha)&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item Figure :
\begin{center}
\newrgbcolor{ffwwqq}{1 0.4 0}
\newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-0.5)(7,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(7,10)
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=ffwwqq,plotpoints=200]{7.999999999824576E-6}{7.0}{2*x-ln(x)/x^2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ttttff,plotpoints=200]{-1.0}{7.0}{2*x}
\uput[ul](0.86,0){$\alpha$}
\psdots(0.86,1.92)
\psline[linestyle=dashed](0.86,1.92)(0.86,0)
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{red}{Partie C}}
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$.
\begin{enumerate}
\item Cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par (u.a; (unité d'aire)=2cm$^2$):
\[
I_n=2\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x.
\]
car l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$ est:
\[
\int_1^n\left(2x-\left(2x-\frac{\ln x}{x^2}\right)\right)\,\text{d}x\times \text{u.a.}=\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x\times \text{u.a.}=2\times \int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x=I_n
\]
\item \begin{enumerate}
\item Calcul de l'intégrale $\displaystyle\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ à  l'aide d'une intégration par parties (avec la formule $uv'=(uv)'-u'v$):

On pose: \[
\begin{array}{lcl}
u(x)=\ln x & ; & u'(x)=\dfrac{1}{x}\\
v'(x)=\dfrac{1}{x^2} & ; &  v(x)=-\dfrac{1}{x}
\end{array}
\]

Ainsi:
\[
\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x=\left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^n-\int_1^n-\frac{1}{x^2}\,\text{d}x=\left[-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}\right]_1^n=\frac{n-1-\ln n}{n}
\]
\item Ainsi:
\[
I_n=2\frac{n-1-\ln n}{n}=\boxed{\textcolor{red}{2-\frac{2}{n}-\frac{2\ln n}{n}
}}\]
\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=2,\ \text{car}\ \lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2\ln n}{n}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013}}
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. \\


		\item  $z_{M}=2\times\left(\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}}$.
		\item  $z_{M'} = -\mathrm{i} z_M=-\mathrm{i}(1-\mathrm{i} \sqrt{3})=-\mathrm{i}+\mathrm{i}^2\sqrt{3}=\boxed{\textcolor{red}{-\sqrt{3} - \text{i}}}$.
	
\medskip
\textbf{\textcolor{blue}{Module et argument méthode algébrique :}}

	%%%% correction : ajout de modulo 2pi

$|z_{M'}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ et si l'on nomme $\theta$ un argument de $z_{M'}$ alors, par propriété, \[\left\{ \begin{array}{rcl}
 \cos \theta& =   & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}   \\
 \rule{0pt}{20pt}  \sin \theta & =& -\dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\]
On reconnaît $\theta = -\dfrac{5\pi}{6}$  (modulo $2\pi$).\\
\medskip

\textbf{\textcolor{blue}{Module et argument par la forme exponentielle :}}

%%%% correction : ajout de parenthèses

$|z_{M'}|=|-\mathrm{i}|\times|z_M|= 1\times  |2\text{e}^{-
\text{i}\frac{\pi}{3}}|=2$\\
$\arg(z_{M'})=\arg{(-\mathrm{i})}+\arg{(z_M)}=-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{5\pi}{6}$
(module $2\pi$).\\

		\item

\begin{minipage}{8cm}La figure n'est pas à l'échelle. \par

Graphiquement on vérifie les propriétés 1 et 2.
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
%\begin{pdfdisplay}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.7 0.3 0.7}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=1.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt
0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.32,-2.09)(3.2,1.28)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt
0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.32,-2.09)(3.2,1.28)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(1,0)(1,-1.73)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(0,1)(-1.73,-1)
\psline(1,0)(1,-1.73)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(1,-1.73)
\psline[linecolor=zzttqq](1,-1.73)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(-1.73,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.73,-1)(0,0)
\psplot{-2.32}{3.2}{(-0--0.87*x)/-1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](1.02,0.1){$A$}
\psdots[dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.1,1.03){$B$}
\psdots[dotstyle=*](1,-1.73)
\rput[bl](1.1,-1.7){$M$}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.05,0.05){$O$}
\psdots[dotstyle=*](-1.73,-1)
\rput[bl](-2.1,-0.97){$M'$}
\psdots[dotstyle=*](1,-0.87)
\rput[bl](1.02,-0.84){$I$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
%\end{pdfdisplay}
\end{minipage}
\medskip

	
\item Cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$.
	\begin{enumerate}
		\item $z_I=\dfrac{z_A+z_M}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x+1}{2} + \text{i}\;
\dfrac{y}{2}}}$.
		\item $z_{M'}=-\mathrm{i} ( x+ \mathrm{i} y)=\boxed{\textcolor{red}{y - \mathrm{i} \; x}}$.
		\item $\boxed{\textcolor{red}{I\left(\dfrac{x+1}{2}; \dfrac{y}{2}\right)}}$, $\boxed{\textcolor{red}{B(0,1)}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{M'(y ; -x)}}$.
		\item $\overrightarrow{OI}\cdot
\overrightarrow{BM'}=\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\times
y+\left(\dfrac{y}{2}\right)\times(-x-1)=\dfrac{xy}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{xy}{2}-\dfrac{1}{2}=0$
donc les droites (O$I$) et  (B$M'$) sont \textbf{\textcolor{red}{perpendiculaires}}.
		
		\item  B$M' = \sqrt{y^2+(-x-1)^2}=\sqrt{(x+1)^2+y^2}$ et  d'autre part
,
		2$
\text{O}I=2\sqrt{\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2}=\dfrac{2}{2}\sqrt{(x+1)^2+y^2}$
donc \[\boxed{\textcolor{red}{2\text{O}I=\text{B}M'}}\]

Autre méthode : On pose $Z=\dfrac{z_{\overrightarrow{BM'}}}{z_{\overrightarrow{OI}}}=\dfrac{y-(x+1)\mathrm{i}}{\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{y}{2}\mathrm{i}}$.

On a $Z=2\times \dfrac{y-(x+1)\mathrm{i}}{x+1+y\mathrm{i}}=-2\mathrm{i}\times \dfrac{x+1+y\mathrm{i}}{x+1+y\mathrm{i}}=-2\mathrm{i}$.

On en déduit  : $\arg(Z)=\arg(-2\mathrm{i})=-\dfrac{\pi}{2}$, or, $\arg(Z)=\left(\overrightarrow{OI}~;~\overrightarrow{BM'}\right)$ donc les droites (OI) et $(BM')$ sont perpendiculaires.

$|Z|=2$ ; or, $|Z|=\dfrac{BM'}{OI}$ donc  $BM'=2OI$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  