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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille de révisions du 
10 juin 2014}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\subsubsection*{Partie A}

%\medskip
 
%Une société s'est intéressée à la probabilité qu'un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l'hiver 2014. 
%
%On a évalué à $0,07$ la probabilité qu'un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.
% 
%Si le salarié n'est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu'il soit absent est estimée à $0,04$.
% 
%On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les évènements suivants :
%
%\begin{itemize}
%\item $G$ : le salarié a la grippe une semaine donnée ; 
%\item $A$ : le salarié est absent une semaine donnée.
%\end{itemize}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre en tenant compte des données fournis dans le texte:

\bigskip

\begin{center}
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$G$}\taput{0,07}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{1}
	  }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{G}$}\tbput{$1-0,07=0,93$}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{0,04}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{$1-0,04=0,96$}	  
	  }
}
\end{center}
 
\bigskip 
 
\item% Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ est égale à \numprint{0,1072}. 
D'après la formule des probabilités totales: $p(A)=p(G \cap A) + p(\overline G \cap A)$.

$p(G \cap A) = p(G) \times p_G(A)=0,07 \times 1 = 0,07$

$p(\overline G \cap A) = p(\overline G) \times p_{\overline G}(A)=0,93 \times 0,04 = \numprint{0,0372}$

$p(A)= 0,07 + \numprint{0,0372} = \numprint{0,1072}$

\item La probabilité qu'un salarié ait la grippe sachant qu'il  est absent est:

$p_A(G) = \dfrac{p(G \cap A)}{p(A)} = \dfrac{0,07}{\numprint{0,1072}} \approx 0,653$.

\end{enumerate}

%\bigskip
 
%\textbf{Partie B}
\subsubsection*{Partie B}
%\medskip
 
On admet que le nombre de journées d'absence annuel d'un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 14$ et d'écart type $\sigma = 3,5$.

%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Justifier, en utilisant un résultat du cours, que $p(7 \leqslant X \leqslant 21) \approx 0,95$. 
$\mu-2\sigma = 14-2\times 3,5 = 7$ et $\mu+2\sigma = 14+2\times 3,5 = 21$

On sait que si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$ que: $p(\mu - 2\sigma \leqslant  X \leqslant  \mu+2\sigma) \approx 0,95$; comme la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=14$ et $\sigma=3,5$, on peut dire que $p(7 \leqslant  X\leqslant  21) \approx 0,95$.


\item La probabilité qu'un salarié comptabilise au moins $10$ journées d'absence dans l'année est $p(X \geqslant  10)$.
\`A la calculatrice, on trouve $p(X \geqslant  10) \approx 0,873$.

\end{enumerate} 

%\bigskip
 
%\textbf{Partie C}
\subsubsection*{Partie C}
%\medskip

%Une mutuelle déclare que 22\,\% de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013.
% 
%Afin d'observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle. 
%
%Parmi celles-ci, $28$ ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence en 2013. 
%
%Le résultat de l'enquête remet-il en question l'affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation. 
%

Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est:

\hfill $\left[ p- 1,96 \dfrac{ \sqrt{p\left(1-p\right)}}{ \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{ \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right]$\hfill\, 

\medskip

L'échantillon de l'enquête est de taille $n=200$ et la mutuelle déclare que 22\,\% de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail donc $p=0,22$.

\medskip

L'intervalle est alors:\\
$I = \left[ 0,22 - 1,96 \dfrac{ \sqrt{0,22\left(1-0,22\right)}}{ \sqrt{200}}\:; 0,22 + 1,96\dfrac{\sqrt{0,22\left(1-0,22\right)}}{\sqrt{200}} \right] \\
\approx [ 0,16\:; 0,28]$.

\medskip

L'enquête a montré que 28 personnes ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence, ce qui fait une proportion de $\dfrac{28}{200\rule[-5pt]{0pt}{12pt}}=0,14$; 
or $0,14 \not\in I$ donc on peut penser que le résultat de l'enquête remet en question l'affirmation de la mutuelle. 

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item En utilisant calculatrices ou logiciels, on trouve : $P ( X \leqslant \numprint{5800} )\approx 0,3085$ . 

\item $P ( \numprint{5900} \leqslant X \leqslant \numprint{6100} )\approx \numprint{0,1974}$ .

\item $P ( X \geqslant  \numprint{6250} )\approx \numprint{0,2660}$ . 
\end{enumerate}

\item On utilise la fonction \og{}inverse » de la calculatrice qui donne $x$ quand on entre $P ( X \leqslant x )$
\begin{enumerate}
\item  Il s’agit de déterminer la valeur $x$ de $X$ telle que $P ( X \leqslant x )= 0,30$ . $x \approx \numprint{5790}$ litres de lait par an.

\item  Il s’agit de déterminer la valeur $x$ de $X$ telle que $P ( X \geqslant  x )= 0,20$ soit $P ( X \leqslant x )= 0,8$ . $x \approx 6336$ litres de lait par an. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item  On note $X$ la variable \og{}durée de vie ». 

Les spécifications se traduisent par : $P ( 120 \leqslant X \leqslant 200 )= 0,8$ et $P ( X \leqslant 120 )= 0,05$ d'où $P ( X \leqslant 200 )= 0,85$.

 En posant $Z = \dfrac{X – \mu}{\sigma}$, $Z$ suit $\mathscr{N} (0~;~1)$ , on obtient donc: $P \left( \dfrac{120 – \mu}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \dfrac{200 – \mu}{\sigma} \right) = 0,8$ et $P \left( Z \leqslant \dfrac{120 – \mu}{\sigma} \right) = 0,05$.
 
 Avec la calculatrice, $P \left( Z \leqslant \dfrac{120 – \mu}{\sigma }\right) = 0,05$ donne $\dfrac{120 – \mu}{\sigma} = – 1,65$ et $P ( Z \leqslant \dfrac{200 – \mu}{\sigma} ) = 0,85$ donne $\dfrac{200 – \mu}{\sigma} = 1,04$.\\
  Ce qui donne le système suivant : $\left\{\begin{array}{l} \mu = 120 + 1,65\sigma \\ \mu = 200 – 1,04\sigma \end{array}\right.$.\\
  La résolution du système donne : $\mu \approx 169$ et $\sigma^2\approx 884$.

\item $P(200\leqslant X\leqslant 230)=p(X\leqslant 230)-P(X\leqslant 200)\approx 0,13$
 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}
Soit $P_N$ la proposition \og{}$\sum_{i=1}^ni^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$, pour tout $n\geqslant 1$.

Effectuons une démonstration par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Innitialisation} Pour $n=1$, $\sum_{i=1}^1i^3=1^3=1$ et $\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2=\left[\dfrac{1\times 2}{2}\right]^2=1^2=1$.

\item \textbf{Hérédité} : on suppose la propriété vraie au rang $n$.\\
Au rang $n=1$ : $\sum_{i=1}^n{i+1}^3=\sum_{i=1}^ni^3+(n+1)^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2+(n+1)^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=(n+1)^2\left[\dfrac{n^2}{4}+(n+1)\right]=(n+1)^2\left[\dfrac{n^2+4n+4}{4}\right]=(n+1)^2\times \dfrac{(n+2)^2}{2^2}=\boxed{\textcolor{red}{\left[\dfrac{(n+1)n+2}{2}\right]^2}}$.\\
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.\\
ON a montré l'hérédité, c'est-à-dire $p_n$ vraie $\Rightarrow$ $P_n$ vraie.
\end{enumerate}
La propriété est donc vraie pour tout $n\geqslant 1$.

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2013}}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : VRAIE%les points A, B et C sont alignés.\\
On a $\overrightarrow{\text{AB}}\left(- \sqrt{3} - 2~;~- 1\right)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}\left(- 1~;~\sqrt{3} - 2\right)$.

D'o\`u $\overrightarrow{\text{AC}} = \left(2 - \sqrt{3}\right)\overrightarrow{\text{AB}}$.

Les vecteurs sont colinéaires donc les points A, B et C sont alignés.
\item \textbf{Affirmation 2} : FAUSSE % les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
On calcule successivement :

EB$^2  = 8 ~; ~ \text{EC}^2 = 8$ et ED$^2
 = \dfrac{19}{4} + 2\sqrt{3} \neq 8$.
 
 Les points B, C et D ne sont pas équidistants de E.
\item %Dans cette question, l'espace est muni d'un repère \Oijk.
 
%On considère les points I(1~;~0~;~0), J(0~;~1~;~0) et K(0~;~0~;~1).  

\textbf{Affirmation 3} : VRAIE %la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
%x &=& 2 - t \\
%y &=& 6 - 2 t\\
%z &=&- 2 + t
%\end{array}\right.$  où $t \in \R$, coupe le plan  (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2}~;~1~;~\dfrac{1}{2} \right)$.
Une équation du plan (IJK) est $x + y + z = 1$. Un  point commun à ce plan et à la droite $\mathcal{D}$ a ses coordonnées telles que :

$2 - t + 6 - 2t - 2 + t = 1 \iff 5 = 2t \iff t = \dfrac{5}{2}.$

Ce point commun existe donc et a pour coordonnées $\left(- \dfrac{1}{2}~;~1~;~\dfrac{1}{2} \right)$.
\item %Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].

%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,7.4)
%\psline(2.1,1)(6.2,1)(5.6,5)(1.5,5)(2.6,6.9)(6.8,6.9)(5.6,5)%ABFEHGF
%\psline(6.2,1)(7.4,3)(6.8,6.9)%BCG
%\psline(0,5.42)(1.5,5)
%\psline(7.4,3)(8.6,2.7)
%\psline(2.1,1)(1.5,5)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.5,5)(7.4,3)%EC
%\psline(4.8,7.6)(4.1,6)
%\psline(2.1,1)(1.8,0.4)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](4.1,6)(2.1,1)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2.1,1)(3.3,3)(7.4,3)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](3.3,3)(2.6,6.9)
%\uput[l](2.1,1){A} \uput[dr](6.2,1){B} \uput[ur](7.4,3){C} 
%\uput[ur](3.3,3){D} \uput[ul](1.5,5){E} \uput[ul](5.6,5){F} 
%\uput[ur](6.8,6.9){G} \uput[ul](2.6,6.9){H} \uput[ul](4.1,6){T} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 


\textbf{Affirmation 4} : VRAIE %les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.
(EFGH) est un carré donc le milieu T de [HF] est le milieu de [EG].

On a donc $\overrightarrow{\text{ET}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{EG}}$.

En prenant par exemple le repère $\left(\text{A},~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}~;~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$ calculons le produit scalaire :

$\overrightarrow{\text{AT}} \cdot \overrightarrow{\text{EC}} = \left(\overrightarrow{\text{AE}} + \overrightarrow{\text{ET}} \right) \cdot \left(\overrightarrow{\text{EG}} + \overrightarrow{\text{GC}} \right) = 
\left(\overrightarrow{\text{AE}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{EG}} \right) \cdot \left(\overrightarrow{\text{EG}} + \overrightarrow{\text{GC}} \right) =$
 
$\overrightarrow{\text{AE}}\cdot \overrightarrow{\text{EG}} + \overrightarrow{\text{AE}} \cdot \overrightarrow{\text{GC}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{EG}} \cdot \overrightarrow{\text{EG}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{EG}}\cdot\overrightarrow{\text{GC}}$.

Or ABCDEFGH est un cube, donc $\overrightarrow{\text{AE}} \cdot \overrightarrow{\text{EG}} = 0$ et $\overrightarrow{\text{EG}} \cdot \overrightarrow{\text{GC}} = 0$.

De plus $\overrightarrow{\text{AE}} = - \overrightarrow{\text{GC}}$ et EG $ = c\sqrt{2}$, $c$ étant la mesure du côté du cube.

Finalement : $\overrightarrow{\text{AT}} \cdot \overrightarrow{\text{EC}} = - c^2  + \dfrac{1}{2}\left(c \sqrt{2} \right)^2 = - c^2 + c^2 = 0$.

Les vecteurs sont orthogonaux donc les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  