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  \title{Correction du \no 44 page 345}
  \author{}
  \date{}

  \begin{document}

  \begin{frame}
  \titlepage
  \end{frame}


%Commencer par lire et étudier dans votre livre les \og{}savoir faire\fg{} \no 6 à \no 10 page 336

\begin{frame}
\begin{block}{Vecteur directeur de $d$}
La droite $d$ a pour représentation paramétrique :
\[d : \begin{cases}x=1+t\\y=3-2t\\z=-2+t\end{cases}\]

  \end{block}


\pause

\begin{block}{Vecteur directeur de $d$}
Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
  \end{block} 
  \end{frame}


  \begin{frame}
\begin{block}{Vecteur directeur de $d'$}
\[d' : \begin{cases}x=2+2t'\\y=-4+t'\\z=2-t'\end{cases}\]
  \end{block}
  
  \pause
  
\begin{block}{}
Un vecteur directeur de cette droite est $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

  \end{block}

Je choisis volontairement de nommer différemment les deux paramètres pour la suite.

   \end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Parallélisme éventuel}
On a :
\[\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\text{ et }\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\]

  \end{block}
\begin{block}{}
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc $d$ et $d'$ ne sont pas parallèles
  \end{block}  
  
  \begin{block}{}
  Ces deux droites sont donc sécantes ou non coplanaires
  \end{block}
    \end{frame}


\begin{frame}
\begin{block}{Intersection éventuelle}
Si ces deux droites sont sécantes, il existe un point de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ appartenant aux deux droites.\\
Il existe alors deux valeurs de $t$ et de $t'$ pour lesquelles les deux représentations donnent les mêmes valeurs pour $x$, $y$ et $z$.
  \end{block}
  
  \pause
  
  \begin{block}{Résolution du système}
  On résout alors le système $\begin{cases}1+t=2+2t'\\3-2t=-4+t'\\-2+t=2-t'\end{cases}$
  \end{block}
  \end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{}
On résout le système formé par les deux premières équations :\\
$\begin{cases}1+t=2+2t'\\3-2t=-4+t'\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t-2t'=1\\2t-t'=-7\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t-2t'=1\\-4t-2t'=-14\end{cases}$.
  \end{block}
  
  \pause

  \begin{block}{}
  Par soustraction, on trouve : $5t=15$ d'où $t=3$.\\
  On en déduit $t'=-2t+2=1$
  \end{block}
  
  On trouve donc $t=3$ et $t'=1$
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{}
On vérifie alors que ces deux valeurs vérifient la troisième équation du système de trois équations.
 \end{block}

 \pause
\begin{block}{}
Les deux droites sont donc sécantes en un point $A$ ; pour trouver les coordonnées du points d'intersection, on remplace par exemple $t$ par 3 dans la représentation paramétrique de $d$.\\
Le point d'intersection $A$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{A(4~;~-3~;~1)}}$
  \end{block}
  \end{frame}
\label{fin}
\end{document}  