\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du bac blanc T STG février 2013} }\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A }}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Sachant que la production a augmenté de 1,4\,\% entre 1999 et 2000, déterminer la production mondiale de charbon en 1999. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$~près.
Soit $x$ la production en 1999. On a 

$x \times \left(1 + \dfrac{1,4}{100}\right) =  x \times 1,014 = \numprint{4606,4}$ donc $x = \dfrac{\numprint{4606,4}}{1,014}\\
\approx \numprint{4542,80007} \approx \fbox{\textcolor{red}{\numprint{4542,8}}}$.
\item %Déterminer le taux d'évolution global de la production mondiale entre les années 2000 et 2007. \emph{Le résultat sera arrondi à $0,1$\,\% près.}
Le taux d'évolution global de la production mondiale entre les années 2000 et 2007 est égal à :

$\dfrac{\numprint{6395,6} - \numprint{4606,4}}{\numprint{4606,4}} \approx \numprint{0,3884}$ soit environ \fbox{\textcolor{red}{38,8\:\%}}. 
\item %Calculer le taux d'évolution annuel m38,8\,\%oyen de la production mondiale entre 2000 et 2007.
Si $t$ est le taux d'évolution annuel moyen de la production mondiale entre 2000 et 2007 alors :

$(1 + t)^7 = 1 + 0,3884$ ou $1 + t = 1,3884^{1/7}$ et $t = 1,3884^{1/7} - 1 \\
\approx 4,799\,\%$ soit environ $\boxed{\textcolor{red}{4,8\,\%}}$ au dixième près.
%\emph{Le résultat sera arrondi à $0,1$\,\% près.} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}

\medskip
 
%QCM 
%
%\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.\\ 
%Indiquez sur votre copie les réponses par le numéro de la question et la lettre correspondante.\\ Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
% 
%NOTATION
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$~] Une réponse exacte rapporte 1 point, 
%\item[$\bullet$~] une réponse fausse enlève 0,5 point, 
%\item[$\bullet$~] l'absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève de point. 
%\item[$\bullet$~] Si le total est négatif, la note globale attribuée à la partie B est 0.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On désigne par $u_{n}$ la production mondiale de charbon en $1999 + n$. On décide de simuler la production de charbon par une suite géométrique de raison $1,048$ et de premier terme $u_{1} = \numprint{4606,4}$.
 
\begin{enumerate}
\item  %Le terme général de la suite $\left(u_{n}\right)$ en fonction de $n$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.}~ $\numprint{4606,4} \times  1,048^{n - 1}$ 
%&\textbf{b.}~ $\numprint{4606,4} \times 1,048^n$ 
%&\textbf{c.}~ $\numprint{4606,4} + 1,048n$\\
%\end{tabularx}
Le terme général de la suite géométrique s'écrit \\
$u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ soit $\boxed{\textcolor{red}{u_{n} = \numprint{4606,4} \times 1,048^{n-1}}}$.
\medskip
 
%\item  On veut présenter l'ensemble des résultats à l'aide d'un tableur.
%
%\medskip
%
%\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{|c|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{0.4cm}|>{\centering \arraybackslash}X|p{0.4cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 
% &A		&B		&C	&D	&E	&F	&G	&H  \\ \hline
%1&Année &Rang	& Production réelle& Production simulée&&Raison de la suite&	&Production simulée cumulée \\ \hline
%2&2000 	&1 	&\numprint{4606,4} &\numprint{4606,4} &	&1,048 &&\numprint{4606,4} \\ \hline
%3&2001 	&2 	&\numprint{4819,2} &\numprint{4827,5} &	&	&	&\numprint{9433,9} \\ \hline
%4&2002 	&3 	&\numprint{4852,4} &\numprint{5059,2} &	&	&	&\numprint{14493,1} \\ \hline
%5&2003 	&4 	&\numprint{5186,6} &\numprint{5302,1} &	&	&	&\numprint{19795,2} \\ \hline
%6&2004 	&5 	&\numprint{5582,8} &\numprint{5556,6} &	&	&	&\numprint{25351,8} \\ \hline
%7&2005 	&6 	&\numprint{5895,6} &\numprint{5823,3} &	&	&	&\numprint{31175,1}\\ \hline 
%8&2006 	&7 	&\numprint{6187,2} &\numprint{6102,8} &	&	&	&\numprint{37277,9} \\ \hline
%9&2007 	&8 	&\numprint{6395,6} &\numprint{6395,7} &	&	&	&\numprint{43673,6} \\ \hline
%10&2008	& 9 &		&		&	&	&	&\\ \hline
%11&2009 &10 &		&		&	&	&	&\\ \hline
%12&2010 &11 &		&		&	&	&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

%Quelle formule, à recopier sur la plage D4\negthinspace:D12, peut-on entrer dans la cellule D3 ? 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.}~ = D2 * \$F\$2& \textbf{b.}~ = D2 * F2&\textbf{c.}~ = C2 *\$F\$2\\
%\end{tabularx}
Formule : \fbox{~\textcolor{red}{=D2 * \$F\$2}~}.
\medskip
\item %Quelle formule, à recopier sur la plage H4 : H12, peut-on entrer dans la cellule H3 ? 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.}~ = D2 + D3
%&\textbf{b.}~ = H2 + D3
%&\textbf{c.}~ = SOMME(D2 : D3)\\
%\end{tabularx}
Formule : \fbox{~\textcolor{red}{=H2 + D3~}}.
\medskip 
\item %Si la production mondiale suit la simulation, quelle prévision, exprimée en millions de tonnes, peut-on faire pour l'année 2010 ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
%\textbf{a.}~ \numprint{6712,9} 
%\textbf{b.}~ \numprint{7024,5} 
%\textbf{a.}~ \numprint{7361,6}\\
%\end{tabularx}
2010 correspond à $n = 11$, d'où $u_{11} = \numprint{4606,4} \times 1,048^{11- 1}\\
 \approx \numprint{7361,638}$ soit au dixième près $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{7361,6}}}$.
\medskip 
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item  Le point moyen est le point qui a pour coordonnées $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.\\
Ici, nous avons $\boxed{\textcolor{red}{\text{G}(4,5~;~141,8)}}$.

\item À l'aide de la méthode des moindres carrés, on trouve que la droite d'ajustement a pour équation
\[\boxed{\textcolor{red}{y = 6,3x +113,4}}.\]

\item Pour tracer la droite, on calcule les cordonnées de deux points que l'on place puis on trace la droite passant par ces deux points.\\
Par exemple : 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}
\hline
x&2&12\\
\hline
y&126&189\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Comme 2000 correspond au rang 5, 2010 correspond au rang $x = 15$.\\
Or, pour $x = 15$, $y = 6,3\times 15 +113,4 = 207,9$ soit une consommation d'environ \fbox{\textcolor{red}{208 litres}}.

\item  Voir le graphique (à la fin).
\ref{Annexe1}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\

\noindent On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par : 
\[f(x) = - 0,4x^{2} + 4x - 8.\]


\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
On a $f'(x)=-0,4\times 2x+4=\boxed{\textcolor{red}{-0,8x+4}}$

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10]. 
$f'(x)=0$ pour $-0,8x+4=0$ donc $-0,8x=-4$ d'où $x=\dfrac{-4}{-0,8}=\dfrac{40}{8}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$.\\
$f'$ est une fonction affine décroissante (coefficient directeur négatif), donc $f'(x)\geqslant 0$ pour $x\in[0~;~5]$ et $f'(x)\leqslant 0$ pour $x\in[~;~10]$.

\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
On en déduit que $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur [0~;~5] et \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur [5~;~10].\\
$f(5)=2$.\\
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&5&&10\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&-8&\c&\h{2}&\d&-8\\
\end{variations}
\end{center}

\item %Quel est le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10] '? 
Le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10] est donc \fbox{\textcolor{red}{2}}. 
\end{enumerate}


%\item La feuille de calcul ci-dessous, extraite d'un tableur, donne les images par la fonction $f$ de quelques valeurs de l'intervalle [0~;~10]. 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%&A&B\\
%\hline
%1&x&f(x)\\
%\hline
%2&0&-8.0\\
%\hline
%3&1&-4,4\\
%\hline
%4&2&-1,6\\
%\hline
%5&3&0,4\\
%\hline
%6&4&1,6\\
%\hline
%7&5&2.0\\
%\hline
%8&6&1,6\\
%\hline
%9&7&0,4\\
%\hline
%10&8&-1,6\\
%\hline
%11&9&-4,4\\
%\hline
%12&10&-8.0\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, faut-il écrire en B2 pour compléter la colonne B? 
La formule, destinée à être recopiée vers le bas, qu'il faut écrire en B2 pour compléter la colonne B est \begin{verbatim}=-0.4*A2^2+4*A2-8\end{verbatim}
\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\

%\noindent Une petite entreprise fabrique des chaudières à bois pour les petits immeubles. Pour des raisons de stockage, la production mensuelle $q$ est comprise entre 0 et 10 unités. Le coût total de fabrication mensuel, exprimé en milliers d'euros, est donné par la fonction $C$, définie sur [0~;~10] par : 
%\[C(q) = 0,4q^{2} + 1,5q + 8.\]
%Chaque chaudière est vendue 5,5 milliers d'euros. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer la recette puis le bénéfice correspondant à 3 chaudières. 
Pour trois chaudières vendues, la recette est \\
$R(3)=5,5\times 3=16,5$ soit 16,5 milliers d'euros.\\
Le bénéfice est $16,5-C(3)=16,5-16,1=0,4$.\\
Pour trois chaudières vendues, la recette est de 0,4 milliers d'euros, donc \fbox{\textcolor{red}{400 euros}}.

\item %Montrer que le bénéfice mensuel $B(q)$, exprimé en milliers d'euros, est défini sur [0~;~10] par $B(q) = -0,4q^{2} + 4q - 8.$.
Le bénéfice mensuel est $B(q)=5,5q-C(q)\\
=5,5q-\left(0,4q^{2} + 1,5q + 8\right)=5,5q-0,4q^{2}-4q+8\\
=\boxed{\textcolor{red}{-0,4q^{2}+4q-8}}$.

\item %En utilisant la partie A : 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer pour quelles productions le bénéfice est positif. 
On remarque que la fonction $C$ est la même que la fonction $f$ étudiée dans la partie A.\\
En utilisant le tableau de valeurs fourni, on voit que le bénéfice est positif pour une vente de 3, 4, 5, 6 ou 7 chaudières.

\item %Déterminer le nombre de chaudières à fabriquer et à vendre mensuellement. pour que le bénéfice soit maximal. 
Pour que le bénéfice soit maximal, il faut vendre mensuellement \textbf{\textcolor{red}{5}} chaudières.

\item %Quel est alors ce bénéfice maximal ? 
Le bénéfice maximal  est alors 2 milliers d'euros, donc \numprint{2000} euros.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
%Pour fleurir un parc, un jardinier a besoin d'au moins :\numprint{1200} jacinthes, \numprint{3200} tulipes et \numprint{3000} narcisses.\\
%Deux pépiniéristes proposent :
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item l'un, le lot A : 30 jacinthes, 40 tulipes et 30 narcisses pour 15 euros ;
%
%\item l'autre, le lot B : 10 jacinthes, 40 tulipes et 50 narcisses pour 12 euros.
%\end{enumerate}
%Le but de l'exercice est de déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B que doit acheter ce jardinier pour que la dépense soit minimale.
\begin{enumerate}
\item %On note $x$ le nombre de lots A achetés et $y$ le nombre de lots B achetés.\\
%Montrer que les contraintes peuvent se traduire par le système suivant ($x$ et $y$ désignant des entiers)
On note $x$ le nombre de lots A achetés et $y$ le nombre de lots B achetés.\\
$x$ et $y$ sont des entiers.\\
On doit avir, en comptant le nombre de jacinthes, de tulipes et de narcisses :
\[\left\{\begin{array}{l}x\geqslant 0\\y\geqslant 0\\30x+10y\geqslant \numprint{1200}\\40x+40y\geqslant \numprint{1200}\\30x+50y\geqslant \numprint{3000} \end{array}\right.\]
En simplifiant, on trouve
\[\left\{\begin{array}{l}x\geqslant 0\\
y\geqslant 0\\
3x + y\geqslant 120\\
x + y \geqslant  80\\
3x +5y\geqslant 300
\end{array}\right.\]

\item %Représenter graphiquement le domaine solution de ce système en hachurant la partie du plan qui n'est pas solution.\\
%On prendra un repère orthonormé d'unité 1 cm pour 10 en abscisses et en ordonnées.
\textbf{\textcolor{red}{Représentation graphique}} :\\
Chaque inéquation a pour solutions graphiques un demi-plan.\\
On note $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$, $d_{4}$ et $d_{5}$ les droites frontières de ces demi-plans : leurs équations sont obtenues en rempla\c cant les symboles d'inégaités par des symboles = dans les inéquations du système.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_{1}$ a pour équation $x=0$ : c'est l'axe des ordonnées.

\item $d_{2}$ a pour équation $y=0$ : c'est l'axe des abscisses.

\item $d_{3}$ a pour équation $3x+y=120$, qui s'écrit $y=120-3x$. Cette droite passe par les points de coordonnées (0~;~120) et (40~;~0).

\item $d_{4}$ a pour équation $x+y=80$ d'où $y=80-x$. Cette droite passe par les points de coordonnées (0~;~80) et (80~;~0).

\item $d_{5}$ a pour équation $3x+5y=300$ d'où $y=\dfrac{300-3x}{5}$ donc $y=60-\dfrac{3}{5}x$. Cette droite passe par les points de coordonnées (0~;~60) et (100~;~0).\\
La troisième inéquation se transforme en $y\geqslant 120-3x$ donc le demi-plan solution est situé au-dessus de $d_{1}$.\\
La quatrième inéquation se transforme en $y\geqslant 80-x$ donc le demi-plan  solution est situé au-dessus de $d_{4}$.\\
La cinquième inéquation se transforme en \\
$y\geqslant 60-\dfrac{3}{5}x$ donc le demi-plan  solution est situé au-dessus de $d_{1}$.\\
On hachure les parties non-solutions, situées en dessous des trois droites $d_{3}$, $d_{4}$ et $d_{5}$.
\end{enumerate}

\item %Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense $d$ occasionnée par l'achat de $x$ lots A et de $y$ lots B.
La dépense $d$ occasionnée par l'achat de $x$ lots A et de $y$ lots B est $d=15x+12y$.
\item 
\begin{enumerate}
\item  %Tracer la droite $\Delta_{\numprint{1200}}$ correspondant à une dépense de \numprint{1200} euros.
La droite $\Delta_{\numprint{1200}}$ correspondant à une dépense de \numprint{1200} euros a pour équation $15x+12y=\numprint{1200}$ d'où $y=\dfrac{\numprint{1200}-15x}{12}=100-\dfrac{5}{4}x$.\\
Cette droite passe par les points de coordonnées (0~;~100) et (20~;~75).
\item %Ce jardinier peut-il satisfaire aux contraintes en dépensant \numprint{1200} euros ? si oui, donner un exemple du nombre de lots A et du nombre de lots B entraînant une telle dépense.
Ce jardinier peut satisfaire aux contraintes en dépensant \numprint{1200} euros, puisque la droite $\Delta_{\numprint{1200}}$ passe par la zone solution.\\
Par exemple, le point de coordonnées (40~;~50) appartient à cette droite et à la partie solution. Donc il peut acheter 40 lots A et 50 lots B.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Tracer la droite$\Delta_{600}$ correspondant à une dépense de 600 euros.
La droite $\Delta_{600}$ a pour équation $y=50-\dfrac{5}{4}x$ \\
$\left(\text{ car }\dfrac{600}{12}=50\right)$.\\
\item %Ce jardinier peut-il satisfaire aux contraintes en dépensant 600 euros ? si oui donner un exemple du nombre de lots A et du nombre de lots B entraînant une telle dépense.
Cette droite (en pointillés bleus sur le graphique) est entièrement dans la partie non-solution, donc il ne peut pas dépenser 600 euros en achetant les lots de fleurs.
\end{enumerate}

\item %Déterminer graphiquement, en justifiant soigneusement, le nombre de lots A et le nombre de lots B que doit acheter ce jardinier pour obtenir la dépense minimale.\\
Les droites correspondant à  des dépenses différentes sont parallèles, car elles ont le même coefficient directeur.\\
On doit donc tracer une droite parallèle à $\Delta_{600}$, ayant une ordonnée à l'origine la plus petite et ayant une intersection avec la partie solution.\\
Elle doit passer par le point d'intersection de $d_{3}$ et $d_{4}$, qui a pour coordonnées (20~;~60).\\
On vérifie facilement que ces deux nombres vérifient les deux équations des deux droites ou on cherche les coordonnées du point d'intersection en résolvant le système $\left\{\begin{array}{l}y=120-3x\\y=80-x\end{array}\right.$.\\

%Calculer cette dépense minimale.
Pour $x=20$ et $y=60$, la dépense est de $20\times 15+60\times 12\\
=300+720=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1020}\text{ euros}}}$ .
\end{enumerate}


\end{multicols}
\newpage


\begin{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Annexe à l'exercice II}}

\psset{xunit=0.07cm,yunit=0.055cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10,-10)(130,125)
\psline(0,-10)(0,120)
\psplot{-10}{120}{(-0-0*x)/1}
\psplot{0}{120}{(--120-3*x)/1}
\psplot{-10}{120}{(--80-1*x)/1}
\psplot{-10}{120}{(--300-3*x)/5}
\psframe[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue](-10,-10)(120,0)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](-10,-10)(0,120)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=red](-10,120)(0,120)(43.333,-10)(-10,-10)
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=green](90,-10)(-10,-10)(-10,90)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue](-10,66)(116.66,-10)(-10,-10)
\uput[u](10,90){$d_{3}$}
\uput[d](60,20){$d_{4}$}
\uput[u](90,8){$d_{5}$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{80}{100-5*x/4}
\uput[r](60,25){$\Delta_{\numprint{1200}}$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](40,50)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0}{80}{50-5*x/4}
\uput[l](30,12.5){$\Delta_{600}$}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10,-10)(120,120)
\multido{\n=0+10}{13}{\psline[linewidth=0.3pt](-10,\n)(120,\n)}
\multido{\n=0+10}{13}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-10)(\n,120)}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{Annexe à l'exercice IV}}


\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.15cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,110)(25,220)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10,Oy=110]{->}(0,110)(25,220)
\uput[d](22.5,105){rang $x_{i}$ de l'année}
\uput[r](0,215){en litres}\uput[l](0,220){$y$}
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,110)(\n,220)}
\multido{\n=110+5}{23}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(25,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,117)(1,115)(2,122)(3,134)(4,142)(5,149)(6,152)(7,150)(8,168)(9,169)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](2,126)(12,189)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{17}{6.3*x+113.4}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](4.5,141.8)
\uput[d](4.5,141.8){G}
\end{pspicture}

\end{center}




\label{fin}
\end{document}  