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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du bac blanc février 2018}}\end{center}

\subsection{}
Soit $P$ le polynôme de degré 4 défini sur $\mathbb{C}$ par \[P(z) = z^4 -6z^3 +24z^2 -18z +63.\]
\begin{enumerate}
\item  %Vérifier que $\mathrm{i}\sqrt{3}$ est une racine du polynôme $P$.
$P\left(\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=\mathrm{i}\sqrt{3}^4 -6\mathrm{i}\sqrt{3}^3 +24\mathrm{i}\sqrt{3}^2 -18\mathrm{i}\sqrt{3} +63=9+18\sqrt{3}\mathrm{i}-72-18\sqrt{3}\mathrm{i}+63=0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P\left(\mathrm{i}\sqrt{3}=0\right)}}$ donc $\mathrm{i}\sqrt{3}$ est une racine de $P$.

\item 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout nombre complexe z, $\overline{P(z)} = P\left(\overline{z}\right)$.
Pour tout $z$, $\overline{P(z)}=\overline{z^4 -6z^3 +24z^2 -18z +63}=\overline{z^4}-6\overline{z^3}+24\overline{z^2}-18\overline{z}+63=\overline{z}^4-6\overline{z}^3+24\overline{z}^2-218\overline{z}+63=P\left(\overline{z}\right)$ car $\overline{zz'}=\overline{z}\times \overline{z'}$ et si $z$ est réel, $\overline{z}=z$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{\overline{P(z)}=P\left(\overline{z}\right)}}$ pour tout $z\in\mathbb{C}$.

\item %En déduire une autre racine de $P$.
Notons $a=\mathrm{i}\sqrt{3}$. $P(a)=0$ donc $\overline{P(a)}=0$ d'où $P\left(\overline{a}\right)=0$. Ainsi $\boxed{\textcolor{red}{\overline{a}=-\mathrm{i}\sqrt{3}}}$ est-il aussi une racine de $P$.
\end{enumerate}

\item %Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,
%\[P(z) = \left(z +\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(z-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(az^2 +bz +c\right).\]
$ \left(z +\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(z-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(az^2 +bz +c\right)=\left(z^2+3\right)\left(az^2 +bz +c\right)=az^4+bz^3+cz^2+3az^2+3bz+3c=az^4+bz^3+(c+3a)z^2+3bz+3c$.

En identifiant les coefficients, on trouve : 

$\begin{cases}a=1\\b=-6\\c+3a=24\\3b=-18\\3c=63\\\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\b=-6\\c=21\end{cases}$

\item %Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z) =0$.
L'équation $P(z)=0$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{\left(z +\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(z-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(z^2-6z+21\right)=0}}$.

Dans $\mathbb{C}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La nullité du premier facteur redonne les solutions $-\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $\mathrm{i}\sqrt{3}$.

\item On résout $z^2-6z+21=0$

$\Delta=36-84=-48<0$.

On a deux solutions complexes conjuguées :

$z_3=\dfrac{6-\mathrm{i}\sqrt{48}}{2}=\dfrac{6-4\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}=3-2\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $z_4=\overline{z_3}=3+2\mathrm{i}\sqrt{3}$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions de l'équation $P(z)=0$ est 
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\mathrm{i}\sqrt{3}~;~\mathrm{i}\sqrt{3}~;~3-2\mathrm{i}\sqrt{3}~;~3+2\mathrm{i}\sqrt{3}\right)}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Métropole septembre 2016
On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 2 pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on ne retourne aucune des deux pièces.

Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face d'une pièce et 1 code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1 - a$ code le côté de la pièce A après l'avoir retournée.

\begin{center}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|lX|}\hline
\textbf{Variables :}	& $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers\\
						&$i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à 1\\
\textbf{Initialisation :}& $a$ prend la valeur $0$\\
						&$b$ prend la valeur 0\\
						&Saisir $n$\\
\textbf{Traitement :}	& Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire\\
						&\begin{tabular}{|l}
$d$ prend la valeur d'un entier aléatoire compris entre 1 et 6\\
Si $d \leqslant 2$\\
\hspace{0.5cm}	\begin{tabular}{|l}
alors $a$ prend la valeur $1 - a$\\
sinon Si $d \leqslant 4$\\

\hspace{1.5cm}| alors $b$ prend la valeur $1 - b$\\				
\hspace{1cm}FinSi\\
				\end{tabular}\\
FinSi\\
$s$ prend la valeur $a + b$\\
\end{tabular}\\
&FinPour\\
\textbf{Sortie :}&Afficher $s$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\end{center}

	\begin{enumerate}

		\item On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 6 et 4.% Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme :
		
		Voilà le tableau complété après avoir fait fonctionné l'algorithme.

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm, yunit=0.6cm}
\def\xmin {-2.5}  \def\xmax {5}
\def\ymin {0}   \def\ymax {5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\multido{\i=0+1}{6}{\psline(\xmin,\i)(\xmax,\i)}
\multido{\i=0+1}{6}{\psline(\i,\ymin)(\i,\ymax)}
\psline(\xmin,\ymin)(\xmin,\ymax)
\uput[r](\xmin,0.5){\small 3\ieme{} passage boucle Pour}
\uput[r](\xmin,1.5){\small 2\ieme{} passage boucle Pour}
\uput[r](\xmin,2.5){\small 1\ier{} passage boucle Pour}
\uput[r](\xmin,3.5){\small initialisation}
\uput[r](\xmin,4.5){\small variables}
\uput[u](0.5,4){$i$}
\uput[u](1.5,4){$d$}
\uput[u](2.5,4){$a$}
\uput[u](3.5,4){$b$}
\uput[u](4.5,4){$s$}
\psline(0,3)(1,4)(2,3) \psline(0,4)(1,3)(2,4)
\psline(4,3)(5,4)
\psline(4,4)(5,3)
{\red \bf
\uput[u](0.5,2){1} \uput[u](0.5,1){2} \uput[u](0.5,0){3}
\uput[u](1.5,2){1} \uput[u](1.5,1){6} \uput[u](1.5,0){4}
\uput[u](2.5,3){0}\uput[u](2.5,2){1}\uput[u](2.5,1){1}\uput[u](2.5,0){1}
\uput[u](3.5,3){0}\uput[u](3.5,2){0}\uput[u](3.5,1){0}\uput[u](3.5,0){1}
\uput[u](4.5,2){1} \uput[u](4.5,1){1} \uput[u](4.5,0){2}
}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item% Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
Les variables $a$ et $b$ sont à 0 ou 1 selon que la pièce montre le côté face ou le côté pile; 		
la variable $s=a+b$  donne donc  le nombre de pièces qui sont du côté pile.

À la fin de cet algorithme, $s=2$ donc \textbf{\textcolor{red}{les deux pièces sont du côté pile}.} 

	\end{enumerate}

\item  Pour tout entier naturel $n$, on note :

$\bullet~~$ $X_n$ l'évènement : \og À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face\fg

$\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement : \og À l'issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l'autre est du
côté face\fg

$\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement : \og À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile\fg.

De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des évènements
$X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.

	\begin{enumerate}

		\item Au début du jeu les deus pièces sont du côté face donc $\boxed{\textcolor{red}{x_0=1~;~y_0=0~;~z_0=0}}$.

		\item%  Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
$X_{n+1}$ est l'événement \og À l'issue de $n+1$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face\fg{}; on cherche donc la probabilité que, à l'issue de $n+1$ lancers, les deux pièces soient du côté face sachant qu'à l'issue de $n$ lancers elles étaient déjà les deux du côté face. 
Il faut donc qu'il n'y ait aucun retournement de pièce lors du $n+1$-ième lancer, c'est-à-dire qu'il faut que le dé tombe sur 5 ou 6; la probabilité de l'événement $\{5~;~6\}$ est $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ puisque le dé est bien équilibré et donc qu'il y a équiprobabilité.
Donc $\boxed{\textcolor{red}{P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}}}$. 

		\item%  Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

On complète l'arbre proposé : les autres probabilités conditionnelles se calculent de la même façon qu'à la question précédente.

\bigskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,levelsep=4cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$X_n$}\naput{$x_n$}}
	  { 
		  \TR{$X_{n+1}$}\naput{\red 1/3}
		  \TR{$Y_{n+1}$}\naput{\red \hspace*{1.5cm} 2/3}
		  \TR{$Z_{n+1}$}\nbput{\red 0}
	  }
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$Y_n$}\taput{$y_n$}}
	  { 
		  \TR{$X_{n+1}$}\naput{\red 1/3}
		  \TR{$Y_{n+1}$}\naput{\red \hspace*{1.5cm} 1/3}
		  \TR{$Z_{n+1}$}\nbput{\red 1/3}
	  }
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$Z_n$}\taput{$z_n$}}
	  { 
		  \TR{$X_{n+1}$}\naput{\red 0}
		  \TR{$Y_{n+1}$}\naput{\red \hspace*{1.5cm} 2/3}
		  \TR{$Z_{n+1}$}\nbput{\red 1/3}
	  }
}
\end{center}

\bigskip

		\item%  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
Pour tout entier naturel $n$, $x_n+y_n+z_n=1$ donc $z_n=1-x_n-y_n$.

		\item%  En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = - \dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{1}{3}$.
D'après la \textbf{\textcolor{blue}{formule des probabilités totales}}:

$y_{n+1}= P(Y_{n+1}) = P(X_n \cap Y_{n+1}) + P(Y_n \cap Y_{n+1}) + P(Z_n \cap Y_{n+1}) = \dfrac{2}{3} x_n + \dfrac{1}{3} y_n + \dfrac{2}{3} z_n\\[8pt]
\phantom{y_{n+1}} = \dfrac{2}{3} x_n + \dfrac{1}{3} y_n + \dfrac{2}{3} (1-x_n-y_n)
= \dfrac{2}{3} x_n + \dfrac{1}{3} y_n + \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} x_n -\dfrac{2}{3} y_n
= -\dfrac{1}{3} y_n + \dfrac{2}{3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y_{n+1}=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}}}$

		\item  On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n - \dfrac{1}{2}$ donc $y_n=b_n+\dfrac{1}{2}$.
		
%Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
%
%En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2} -  \dfrac{1}{2}\times  \left(- \dfrac{1}{3}\right)^n$.

$b_{n+1}= y_{n+1}-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3} y_n + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2}
= -\dfrac{1}{3} \left ( b_n+\dfrac{1}{2}\right ) + \dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6}
= -\dfrac{1}{3} b_n -\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}
= -\dfrac{1}{3} b_n -\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} 
= \boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3} b_n}}$

$b_0=y_0-\dfrac{1}{2} = 0-\dfrac{1}{2} = \boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}}$

Donc la suite $(b_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=-\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0=-\dfrac{1}{2}$.

On peut donc dire que, pour tout $n$, 
$b_n=b_0 \times q^n = -\dfrac{1}{2}\times \left (-\dfrac{1}{3}\right )^n$.

Comme $y_n=b_n+\dfrac{1}{2}$, on en conclut que, pour tout $n$, 
$\boxed{\textcolor{red}{y_n=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times \left (-\dfrac{1}{3}\right )^n}}$.

		\item%  Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_n$.
		
%Interpréter le résultat.

La suite $(b_n)$ est géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$; comme $-1 < -\dfrac{1}{3} < 1$, on sait que la suite $(b_n)$ est convergente vers 0.

Or, pour tout $n$, $y_n=b_n+\dfrac{1}{2}$, donc la suite $(y_n)$ est convergente vers $\dfrac{1}{2}$ :

$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to +\infty} y_n=\dfrac{1}{2}}}$.

Donc à long terme, la probabilité d'avoir une piède côté face et une pièce côté pile va tendre vers 0,5.

 	\end{enumerate}
 	
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II de spécialité}}%Centres étrangers juin 2016
{\bf Partie A}
\par\medskip
D'une part :
\[\text{HI}\longrightarrow\begin{pmatrix}H\\I\end{pmatrix}\longrightarrow\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\8\end{pmatrix}
\longrightarrow \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}51\\105\end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25\\1\end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix}Z\\B\end{pmatrix}\]
D'autre part :
\[\text{LL}\longrightarrow \begin{pmatrix}H\\I\end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}
\longrightarrow \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}77\\154\end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}=\longrightarrow \begin{pmatrix}Z\\Y\end{pmatrix}\]
\[\red\text{Le mot HILL est chiffré par le mot ZBZY}\]
\par\medskip
{\bf Partie B}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
Puisque $a$ et $26$ sont premiers entre eux, alors, d'après le théorème de Bèzout, il existe deux entiers u et v tels que 
\[au+26v=1\]
Puisque $26\equiv 0\mod 26$, alors $26v\equiv 26\times 0\mod 26$, soit $26v\equiv 0\mod 26$.

En ajoutant au à chacun des deux membres de la congruence précédente, on obtient : 
\[au+26v\equiv au\mod 26\]
soit \[au\equiv 1\mod 26\]
\[\red\text{P.G.C.D\;(a,26)=1}\;\Longrightarrow\;\exists u\in\mathbb{Z}\quad a\times u\equiv 1\mod 26 \]
\item
\begin{enumerate}
\item
~\par
\begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|c}|}
\hline
u&0&1&2&3&4&5\\
\hline
r&0&21&16&11&6&1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item
L'algorithme affiche 5, qui est donc le plus petit entier u tel que $a\times u\equiv 1\mod 26$.
Par suite :
\[\red 5\times 21\equiv 1\mod 26\]

\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
$\begin{array}[t]{lcl}
12A-A^2&=&\begin{pmatrix}12 5&2\\7&7\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}\\
&&\\
&=&12\begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\times 5+2\times 7& 5\times 2+2\times 7\\7\times5+7\times 7&7\times2+7\times7\end{pmatrix}\\
&&\\
&=&\begin{pmatrix}60&24\\84&84\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}39&24\\84&63\end{pmatrix}\\
&&\\
&=&\begin{pmatrix}21&0\\0&21\end{pmatrix}\\
&&\\
&=&21\times I\\
\end{array}$
\item
L'égalité $12A-A^2=21I$ s'écrit $(12I-A)\times A=21I$. Par suite : 
\[\red B=12I-A\]
\item
Supposons :
\[A\times X=Y\]
Multiplions chacun des deux membres de l'égalité (à gauche) par B :
\[B\times A\times X=B\times Y\]
Puisque $BA=21I$, l'égalité ci-dessus s'écrit :
\[21X=BY\]
On a prouvé :
\[\red AX=Y\Longrightarrow 21X=BY\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\par\medskip
{\bf Partie C}
\par\medskip
\begin{enumerate}
\item
Puisque, par hypothèse, Y=AX, on en déduit, d'après la partie précédente :
\[21X=BY\]
où B est la matrice $12I-A=\begin{pmatrix}12&0\\0&12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-2\\-7&5\end{pmatrix}$
\par\medskip
$\bullet\;$On a d'une part $21X=\begin{pmatrix}21x_1\\21x_2\end{pmatrix}$

$\bullet\;$D'autre part :

$%\begin{array}[t]{lcl}
BY=\begin{pmatrix}7&-2\\-7&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7y_1-2y_2\\-7y_1+5y_2\end{pmatrix}$ 
On en déduit :
\[\begin{cases}21x_1=7y_1-2y_2\\ 21x_2=-7y_1+5y_2\end{cases}\]
\item
Multiplions chacune des deux égalités ci-dessus par 5 :
\[\begin{cases}105x_1=35y_1-10y_2\\ 105x_2=-35y_1+25y_2\end{cases}\]

$\bullet\;$Prouvons : $x_1\equiv 9r_1+16r_2\mod 26$ :

Puisque $105\equiv 1\mod 26$, alors \[\blue 105x_1\equiv x_1\mod 26\;(a)\]

De $\begin{cases}35\equiv 9\mod 26\\ \text{et}\\ y_1\equiv r_1\mod 26\end{cases}$, on déduit, par somme : $35y_1\equiv 9r_1\mod 26\;(1)$.

De $\begin{cases}-10\equiv 16\mod 26\\ \text{et}\\ y_2\equiv r_2\mod 26\end{cases}$, on déduit, par somme : $-10y_2\equiv 16r_2\mod 26\;(2)$.

En ajoutant membre à membre les congruences (1) et (2), on obtient \[\blue 35y_1-10y_2\equiv 9r_1+16r_2\mod 26\;(b)\]

De (a) et (b) on déduit :
\[\red x_1\equiv 9r_1+16r_2\mod 26\]
$\bullet\;$Un raisonnement analogue montre que
\[\red x_2\equiv 17r_1+25r_2\mod 26\]
\item
\[VL\rightarrow \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\11\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}9r_1+16r_2\\17r_1+25r_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}365\\632\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}\rightarrow BI\]
\[UP\rightarrow \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\15\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}9r_1+16r_2\\17r_1+25r_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}420\\715\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}4\\13\end{pmatrix}\rightarrow EN\]
\[\red\text{VLUP code le mot BIEN}\]
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}} % proposé par Pierre

\medskip

\noindent\textbf{Partie A :} 

\medskip

\noindent Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\sqrt{x^2+1} -1$.
\begin{enumerate}
\item %Étudier les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $-\infty$ : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2+1\right)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{x^2+1}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\sqrt{X}=+\infty$ d'où $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\sqrt{x^2+1}=-\infty$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty}}$

\item Limite en $+\infty$ : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2+1\right)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}x\sqrt{x^2+1}=+\infty$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g'(x)=\dfrac{2x^2 +1}{\sqrt{x^2 +1}}$. 
		$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables.
		
		$g=u\sqrt{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\v(x)=x^2+1\end{cases}$.
		
		$g'=u'\sqrt{v}+u\left(\sqrt{v}\right)'=u'c+u\times \dfrac{v'}{2\sqrt{v}}$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=x\end{cases}$.
		
		Par conséquent : $g'(x)=\sqrt{x^2+1}+x\times \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}+x\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2+x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}}}$.
		
		\item %En déduire les variations de $g$ et dresser son tableau de variations. 
		Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $2x^2+1>0$ et $\sqrt{x^2+1}>0$ donc $g'(x)>0$ ; $g$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$.
		
		Tableau de variation :
		\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
		\end{enumerate}
		
\item %Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, notée $\alpha$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g$ est une fonction polynôme donc \textbf{continue}.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty$ donc $g(x)$ prend des valeurs négatives.

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$ donc $g(x)$ prend des valeurs positives.
\end{enumerate}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires , l'équation $g(x)=0$ admet au moins une solution.

Comme $g$ est croissante, cette solution est unique ; notons-la $\alpha$.
		
\item %Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
À la calculatrice, on trouve $\alpha\approx 0,79$ à $10^{-2}$ près.
	
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal du plan.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $0$.
		L'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_g$ en 0 est $y=g'(0)(x-0)+g(0)$, c'est-à-dire  $\boxed{\textcolor{red}{y=x-1}}$.
		
		\item %Etudier la position relative de $T$ et de $\mathcal{C}_{g}$.
		Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g(x)-(x-1)=x\sqrt{x^2+1}-1-(x-1)=x\sqrt{x^2+1}-x=x\left[\sqrt{x^2+1}-1\right]$.
		
		Pour tout $x$, $x^2+1\geqslant 1$ donc $\sqrt{x^2+1}\geqslant \sqrt{1}=1$ (car la fonction racine carrée est croissante) donc $\sqrt{x^2+1}-1\geqslant 0$.
		
		$g(x)-(x-1)$ est donc du signe de $x$, donc  négatif pour $x\leqslant 0$ et positif pour $x\geqslant 0$.
		
		$\mathcal{C}_g$ est donc au dessus de $T$ pour $x\leqslant 0$ et en dessous pour $x\geqslant 0$.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}	

\medskip

\noindent\textbf{Partie B :} 

\medskip

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\sqrt{x^2+1}$.
\begin{enumerate}
	\item %Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $-\infty$ : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{x^3}{3}\right)=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$.

\item Limite en $+\infty$ : on a clairement une forme indéterminée du type $\infty-\infty$ :

Pour $x\neq 0$, $f(x)\dfrac{x^3}{3}-\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{x^3}{3}-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=x^3\left[\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}{x^2}\right]$.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=1$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}{x^2}\right]=\dfrac{1}{3}$.

Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty$, on a : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.
\end{enumerate}
	
	\item %Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{\sqrt{x^2+1}}$
	$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme et composée de fonctions dérivables.
	
	$f=w-\sqrt{v}$ avec $\begin{cases}w(x)=\dfrac{x^3}{3}\\v(x)=x^2+1\end{cases}$.
	
	$f'=w'-(\sqrt{v})'=w'-\dfrac{v'}{2v}$ avec $\begin{cases}w'(x)=x^2\\v'(x)=2x\end{cases}$
	
	d'où $f'(x)=x^2-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x^2\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x\left[x\sqrt{x^2+1}-1\right]}{\sqrt{x^2+1}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{xg(x)}{\sqrt{x^2+1}}}}$.
	
	\item %Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{\alpha^4 -3}{3\alpha}$. En déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$. 
	Par définition, $g(\alpha)=0\Leftrightarrow \alpha\sqrt{\alpha^2+1}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{\alpha^2+1}=\dfrac{1}{\alpha}$.
	
	Alors : $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^3}{3}-\sqrt{\alpha^2+1}=\dfrac{\alpha^3}{3}-\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{\alpha^4-3}{3\alpha}$.
	
	On en déduit que $f(\alpha)\approx -1,10$
	
	\item %Déterminer le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$. Dresser alors le tableau de variations de $f$. 
	$\sqrt{x^2+1}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $xg(x)$.
	
	Tableau de signes :
	
	\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\alpha&&\pI\\
\hline
x&&-&\z&+&+&+&\\
\hline
g(x)&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

On en déduit le tableau de variations de $f$ :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\alpha&&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{-1}&\d&\approx -1,1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}	
\end{enumerate}	

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (sur $3$ points) - commun à tous les élèves}} % Polynésie septembre 2015
\parbox{0.47\linewidth}{
$ABCDEFGH$ est un cube. 

$I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ est le milieu de $[HD]$ et $K$ est le milieu de $[HG]$.

On se place dans le repère $\left(A~;~ \overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\right)$.}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,5.7)
\psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)
\psline(3.7,0.2)(5.6,1.4)(5.6,4.9)(3.7,3.7)
\psline(5.6,4.9)(2.1,4.9)(0.2,3.7)
\psline[linestyle=dotted](0.2,0.2)(2.1,1.4)(2.1,4.9)
\psline[linestyle=dotted](2.1,1.4)(5.6,1.4)
\uput[dl](0.2,0.2){$A$} \uput[dr](3.7,0.2){$B$} \uput[r](5.6,1.4){$C$} 
\uput[ur](2.1,1.4){$D$} \uput[ul](0.2,3.7){$E$} \uput[ul](3.7,3.7){$F$} 
\uput[ur](5.6,4.9){$G$} \uput[u](2.1,4.9){$H$} \uput[d](1.95,0.2){$I$} 
\uput[l](2.1,3.15){$J$} \uput[u](3.9,4.9){$K$}
\psdots(1.95,0.2)(2.1,3.15)(3.9,4.9) 
\end{pspicture}
}

\bigskip

On détermine les coordonnées tous les points de la figure dans le repère donné:

$A\left(  0 \,;\, 0 \,;\, 0 \right) $\hfill
$B\left(  1 \,;\, 0 \,;\, 0 \right)$\hfill
$D\left(  0 \,;\, 1 \,;\, 0 \right)$\hfill
$E\left( 0 \,;\, 0 \,;\, 1 \right)$\\[5pt]
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow {AD} \Longrightarrow C\left( 1 \,;\, 1 \,;\, 0 \right)$\hfill
$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow {AE} \Longrightarrow F\left( 1 \,;\, 0 \,;\, 1 \right)$\\[5pt]
$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow {DH} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow {AE} \Longrightarrow H\left( 0 \,;\, 1 \,;\, 1 \right)$\hfill
$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow {BC} +\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow{AE} \Longrightarrow G\left( 1 \,;\, 1 \,;\, 1 \right)$

\medskip

$I$ est le milieu de $[AB]$ donc
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_I & \dfrac{x_A+x_B}{2}\\[7pt]
y_I & \dfrac{y_A+y_B}{2}\\[7pt]
z_I & \dfrac{z_A+z_B}{2}
\end{array}
\right. $
et donc
$I\left( \dfrac{1}{2} \,;\, 0 \,;\, 0 \right)$

\medskip

On trouve de même:
$J\left( 0 \,;\, 1 \,;\, \dfrac{1}{2} \right)$
et
$K\left( \dfrac{1}{2} \,;\, 1 \,;\, 1 \right)$

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{CE}$ est un vecteur normal au plan $(IJK)$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{CE}$ sont 
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_E-x_C & -1\\
y_E-y_C & -1\\
z_E-z_C & 1
\end{array}
\right. $; $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}}$ ;

celles de $\overrightarrow{IJ}$ sont
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_J-x_I & -\dfrac{1}{2}\\[7pt]
y_J-y_I & 1\\
z_J-z_I & \dfrac{1}{2}
\end{array}
\right. $ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\1\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}}}$

et celles de $\overrightarrow{IK}$ sont
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_K-x_I & 0\\
y_K-y_I & 1\\
z_K-z_I & 1
\end{array}
\right. $ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{IK}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}}$

$\overrightarrow{CE}.\overrightarrow{IJ} = (-1)\left ( -\dfrac{1}{2}\right ) + (-1)\times 1 + 1\times \dfrac{1}{2} = 0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CE} \perp \overrightarrow{IJ}}}$

$\overrightarrow{CE}.\overrightarrow{IK} = 0 + (-1)\times 1 + 1\times 1 = 0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CE} \perp \overrightarrow{IK}}}$

Le vecteur $\overrightarrow{CE}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ du plan $(IJK)$, donc il est \textbf{\textcolor{red}{normal}} au plan $(IJK)$.

\item% Démontrer que la droite $(BD)$ est parallèle au plan $(IJK)$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{BD}$ sont 
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} r}
x_D-x_B & -1\\
y_D-y_B & 1\\
z_D-z_B & 0
\end{array}
\right. $ ; $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}}$

$\overrightarrow{CE}.\overrightarrow{BD} = (-1)(-1) + (-1)\times 1 + 1\times 0 = 0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CE} \perp \overrightarrow{BD}}}$

Le vecteur $\overrightarrow{BD}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{CE}$ qui est un vecteur normal au plan $(IJK)$ donc la droite $(BD)$ est \textbf{\textcolor{red}{parallèle}} au plan $(IJK)$.

\emph{On pourrait préciser la réponse en démontrant que la droite $(BD)$ n'est pas contenue dans le plan $(IJK)$ mais ce n'est pas explicitement demandé dans le texte.}

\emph{Si le point $B$ appartient au plan $(IJK)$, on peut dire que le point $A$, appartenant à la droite $(BI)$, appartient aussi à ce plan donc les plans $(ABD)$ et $(IJK)$ sont confondus, ce qui est faux.}

\item Soit $M$ un point de la droite $(CE)$ donc les vecteurs $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires.% Quelle est la position du point $M$ sur la droite $(CE)$ pour laquelle le plan $(BDM)$ est parallèle au plan $(IJK)$ ?

On a donc
$\overrightarrow{CM}=k\,\overrightarrow{CE}$ (où $k \in \mathbb{R}$), ce qui équivaut à
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_M - x_C & k \times (-1)\\ 
y_M - y_C & k \times (-1)\\
z_M - z_C & k \times 1$  $
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
x_M  & 1-k\\ 
y_M  & 1-k\\
z_M  & k  
\end{array}
\right. $

Le plan $(BDM)$ et le plan $(IJK)$ sont parallèles, s'ils ont les mêmes vecteurs normaux; autrement dit pour que le plan $(BDM)$ soit parallèle au plan $(IJK)$ il faut et il suffit que le vecteur $\overrightarrow{CE}$ qui est normal au plan $(IJK)$ soit également normal au plan $(BDM)$.

Comme ce vecteur est déjà orthogonal au vecteur $\overrightarrow{BD}$, il suffit qu'il soit orthogonal à un deuxième vecteur directeur du plan $(BDM)$ non colinéaire à $\overrightarrow{BD}$, soit $\overrightarrow{BM}$.

Le vecteur $\overrightarrow{BM}$ a pour coordonnées
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r !{=} l}
x_M-x_B & 1-k-1 & -k\\
y_M-y_B & 1-k-0 & 1-k\\
z_M-z_B & k-0 & k
\end{array}
\right. $

$\overrightarrow{BM} \perp \overrightarrow{CE}
\iff
\overrightarrow{BM}\,.\,\overrightarrow{CE} = 0
\iff
(-k)\times (-1) + (1-k)\times (-1) + k \times 1 = 0
\iff
k -1+k +k = 0\\
\phantom{\overrightarrow{BM} \perp \overrightarrow{CE}}
\iff
k=\dfrac{1}{3}$

Donc $M$ a pour coordonnées 
$\left ( 
1-\dfrac{1}{3}\,;\,1-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right )
=
\boxed{\textcolor{red}{\left(
\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3} \right )
}}$
 \end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 5 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}}  % Amérique du sud novembre 2014 exo 3

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 
$\left\lbrace
\begin{array}{r @{\ = \ } l}
u_0 & 2\\[5pt]
u_{n+1} & -\dfrac{1}{2}u_n^2 +3u_n -\dfrac{3}{2} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}
\end{array}
\right.$

%\textbf{Partie A : Conjecture}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A: Conjecture}

\begin{enumerate}

\item% Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. 
$u_{1} = -\dfrac{1}{2}u_0^2 +3u_0 -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}2^2 +3\times 2 -\dfrac{3}{2} = -2 +6 -\dfrac{3}{2} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{5}{2}}}$

$u_{2} = -\dfrac{1}{2}u_1^2 +3u_1 -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{5}{2}\right )^2 +3\times \dfrac{5}{2} -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{25}{8} + \dfrac{15}{2} - \dfrac{3}{2} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{23}{8}}}$ .

\item% Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. 
En programmant à la calculatrice la fonction $f$ définie par $f(x)= -\dfrac{1}{2}x^2 +3x -\dfrac{3}{2}$, on obtient:

$u_3 = f(u_2) = f\left(\dfrac{23}{8}\right) = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{383}{128} \approx \numprint{2,99219}}}$
et
$u_4 = f(u_3) = f\left(\dfrac{383}{128}\right) \boxed{\textcolor{red}{\approx \numprint{2,99997}}}$.

\item% Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
On peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} et qu'elle \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers 3.

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B: Validation des conjectures}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B: Validation des conjectures}

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 
$v_n = u_n - 3$. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. 
$v_{n+1} = u_{n+1}- 3 = -\dfrac{1}{2}u_n^2 + 3 u_n - \dfrac{3}{2} - 3 = -\dfrac{1}{2}u_n^2 + 3 u_n - \dfrac{9}{2}$

$v_n^2 = \left ( u_n-3\right )^2 = u_n^2 - 6u_n +9$
donc
$-\dfrac{1}{2} v_n^2 = -\dfrac{1}{2} \left (  u_n^2 - 6u_n +9 \right ) = -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n - \dfrac{9}{2} = v_{n+1}$  

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1} = -\dfrac{1}{2}v_n^2}}$.

\item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $-1 \leqslant  v_n \leqslant 0$. 

Soit $\mathcal P_n$ la propriété $-1 \leqslant  v_n \leqslant 0$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $v_0= u_0 - 3 = 2 - 3 = - 1$ donc $- 1 \leqslant v_0 \leqslant 0$; la propriété est vraie au rang 0.

\item Supposons la propriété vraie au rang $p\geqslant 0$, c'est-à-dire $-1 \leqslant v_p \leqslant 0$.

On sait que, pour tout $p$, $v_{p+1} = -\dfrac{1}{2}v_p^2$.

$-1 \leqslant v_p \leqslant 0 \Longrightarrow 0 \leqslant v_p^2 \leqslant 1 \Longrightarrow -\dfrac{1}{2} \leqslant -\dfrac{1}{2} v_p^2 \leqslant 0 \Longrightarrow -\dfrac{1}{2} \leqslant v_{p+1} \leqslant 0$

Donc $-1 \leqslant v_{p+1} \leqslant 0$ et donc la propriété est vraie au rang $p+1$.

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est \textbf{héréditaire}; donc elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on a: $\boxed{\textcolor{red}{-1\leqslant v_n \leqslant 0}}$



\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n  + 1\right)$. 
Pour tout entier naturel $n$:
$v_{n+1}-v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2 - v_n =\boxed{\textcolor{red}{ -v_n\left ( \dfrac{1}{2}v_n +1\right )}}$

		\item% En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
Pour tout $n$, $v_n \leqslant 0$ donc $-v_n \geqslant 0$.

Pour tout $n$, $-1 \leqslant v_n \leqslant 0$ donc $-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} v_n \leqslant 0$ et donc $\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} v_n +1  \leqslant 1$ ; donc $\dfrac{1}{2} v_n +1 >0$.

$\left.
\begin{array}{l}
-v_n \geqslant 0\\[5pt]
\dfrac{1}{2} v_n +1 >0
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow -v_n\left ( \dfrac{1}{2}v_n +1\right ) \geqslant 0 \iff
v_{n+1} - v_n \geqslant 0$

Pour tout $n$, $v_{n+1} - v_n \geqslant 0$, donc la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

	\end{enumerate} 

\item% Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par 0 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}}. 

\item On note $\ell$ limite de la suite $\left(v_n\right)$. 
On admet que $\ell \in ]-1~;~0[$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. 

%Déterminer la valeur de $\ell$. 

On résout l'équation $x = -\dfrac{1}{2}x^2$ dont $\ell$ est solution:

$x = -\dfrac{1}{2}x^2 \iff 2x+x^2=0 \iff x(2+x)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=-2$

Mais on sait que $\ell \in ] -1\,;\, 0[$ donc ne peut pas correspondre à $x=-2$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell=0}}$ et la limite de la suite $(v_n)$ est 0.

\item% Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ? 
La suite $(v_n)$ est croissante et, pour tout $n$, $u_n=v_n+3$; donc on peut dire que la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

La suite $(v_n)$ est convergente vers 0 donc, d'après les théorèmes sur les limites, on peut dire que la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente vers 3}}.

Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont donc \textbf{\textcolor{red}{validées}}.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  