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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Bac S : Centres étrangers 10 juin 2016}}\end{center}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. une absence de réponse n'est pas pénalisée.
\begin{enumerate}
\item Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain  dans la production.

On admet que la variable aléatoie exprimant sa masse, en gramme, suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 10.
\bigskip

\textbf{Affirmation 1}

La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.

\item \textbf{Affirmation 2}

L'équation $x-\cos x=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\bigskip

Dans les questions 3. et 4., l'espace est rapporté à un repère orthonormal et l'on considère les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ qui admettent pour rerésentations paramétriques respectives :
\[\begin{cases}x=1+2t\\y=2-3t\\z=-4t\end{cases}, t\in\mathbb{R}\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}\begin{cases}x=-5t'+3\\y=2t'\\z=t'+4\end{cases}, t'\in\mathbb{R}\]


\item \textbf{Affirmation 3}

Les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes.

\item \textbf{Affirmation 4}

La droite $\mathscr{D}_1$ est parallèle au plan d'équation $x+2y+z-3=0$.
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(6 points)}}
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0~;~1]$, continue et positive sur cet intervalle, et $a$ une réel tel que $0<a<1$.

On note  :

\begin{itemize}
\item $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal :

\item $\mathscr{A}_1$ l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ d'une part, les droites d'équations $x=0$ et $x=a$ d'autre part.

\item $\mathscr{A}_2$ l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ d'une part, les droites d'équations $x=a$ et $x=1$ d'autre part.

\end{itemize}
\begin{center}
\psset{xunit=6cm,yunit=5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(1.5,1.1)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.5)(1.5,1.1)
\pscurve(0.,0.4)(0.07,0.4)(0.2,0.6)(0.3,0.5)(0.49,0.68)(0.6,0.8)(0.75,0.85)(1.,1.)
\psline[linestyle=dashed](0.4,0)(0.4,0.57)
\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.2,0.2){$\mathscr{A}_1$}
\uput[u](0.7,0.2){$\mathscr{A}_2$}
\uput[d](0.4,0){$a$}
\uput[u](0.49,0.68){$\mathscr{C}$}
\uput[u](1.3,0){$x$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip
Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions $f$, une valeur du réel $a$ vérifiant la condition (E) : \og{}les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$ sont égales\fg{}.

On admet l'existence d'un tel réel $a$ pour chacune des fonctions considérées.

\bigskip
\textbf{Partie A : Étude de quelques exemples}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel $a$ et déterminer sa valeur.
\begin{enumerate}
\item $f$ est une fonction constante strictement positive.

\item $f$ est définie sur $[0~;~1]$ par $f(x)=x$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'intégrales, exprimer, en unités d'aires, les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$.

\item On note $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.

Démontrer que si le réel $a$ satisfait la condition (E), alors $F(a)=\dfrac{F(0)+F(1)}{2}$.

La réciproque est-elle vraie ?
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on  envisage deux autres fonctions particulières.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}$.

Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel $a$ et donner sa valeur.

\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\left[0~;~1\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}$.

Vérifier que la valeur $a=\dfrac{2}{5}$ convient.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Utilisation d'une suite pour déterminer une valeur approchée de $a$}

\bigskip
Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $f(x)=4-3x^2$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $a$ est un réel satisfaisant la condition (E), alors $a$ est solution de l'équation : \[x=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}.\]
Dans la suite de l'exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l'intervalle $[0~;~1]$. on note $\alpha$ cette solution.

\item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $g(x)=\dfrac{x^3}{4}-\dfrac{3}{8}$ et la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.

\item Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$.

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.

\item Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

À l'aide des opérations sur les limites, prouver que la limite est $a$.

\item On admet que le réel $a$ vérifie l'inégalité $0< a-u_{10}<10^{-9}$. Calculer $u_{10}$ à $10^{-9}$ près.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui soont favorables à un projet d'aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l'on pose une question à chaque personne.

\bigskip

\emph{Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage}


\bigskip

On admet dans cette partie ue la probabilité qu'une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.
\begin{enumerate}
\item L'institut de sondage interroge 700 personnes. On note $X$ la variable aléatoire correspondant  au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse.

\item Quelle est la meilleure approximation de $P(X\geqslant 400)$ parmi les nombres suivants ?
\[0,92\hspace{2cm} 0,93\hspace{2cm}0,94\hspace{2cm}0,95.\]
\end{enumerate}

\item Combien de personnes l'institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400.

\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Partie B : Proportion de personnes favorables au projet dans la population}

\bigskip

Dans cette partie, on suppose que $n$ personnes ont répondu à la question ,et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille $n$ (où $n$ est un entier naturel supérieur à 50).

Parmi ces personnes, 29\:\% sont favorables au projet d'aménagement.

\begin{enumerate}
\item Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\:\%, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.

\item Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ pour que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\:\%, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie C : Correction dur à l'insincérité de certaines réponses}

\bigskip

Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29\:\% affirment qu'elles sont favorables au projet.

L'institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d'entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :
\begin{itemize}
\item soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère.

\item soit être en réalité défavorable au projet si elle n'est pas sincère.
\end{itemize}

Par expérience, l'institut estime à 15\:\% le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l'opinion de la personne interrogée.

Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l'aide d 'un modèle probabiliste. on prélève au hasard la fiche d'une personne ayant répondu, et on définit :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $F$  l'événement \og{}la personne est en réalité favorable au projet\fg{} ;

\item $\overline{F}$  l'événement \og{}la personne est en réalité défavorable au projet\fg{} ;

\item $A$ l'événement \og{}la personne affirme qu'elle est favorablee au projet\fg{};

\item $\overline{A}$ l'événement \og{}la personne affirme qu'elle est défavorable au projet\fg{}.
\end{enumerate}
Ainsi, d'après les données, on a $p(A)=0,29$.

\begin{enumerate}
\item En interprétant les données de l'énoncé, indiquer les valeurs de $P_F(A)$ et $P_{\overline{F}}(A)$.

On pose $x=P(F)$.
\begin{enumerate}
\item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.

\item En déduire une égalité vérifiée par $x$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\taput{ $x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{F}$}\tbput{ $1-x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{ $$}
}
}
\end{center}



\item Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.

\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
On veut modéliser dans le plan la coquille d'un nautile à l'aide d'une ligne brisée en forme de spirale. on s'intéresse à l'aire délimitée par cette ligne.

\bigskip

On munit le ;plan d'un repère orthormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entier $k$ allant de 0 à $n$, on définit les nombres complexes $z_k=\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{n}}$ et on note $M_k$ le point d'affixe $z_k$.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne visée reliant tous les points $M_k$ avec  $0\leqslant k\leqslant n$.

Par exemple, pour les entiers $n=6$, $n=10$ et $n=20$, on obtient les figures ci-dessous.

\begin{tabular}{ccc}
$n=6$&$n=10$&$n=20$\\
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0843681228688682cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-4.)(9.,4.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1.,0.)(0.583333333333,1.01036297108)(-0.666666666667,1.15470053838)(-1.5,0.)(-0.833333333333,-1.44337567297)(0.916666666667,-1.58771324027)(2.,0.)
\psline(0,0)(1.,0.)
\psline(0,0)(0.583333333333,1.01036297108)
\psline(0,0)(-0.666666666667,1.15470053838)
\psline(0,0)(-1.5,0.)
\psline(0,0)(-0.833333333333,-1.44337567297)
(0.916666666667,-1.58771324027)(2.,0.)
\end{pspicture*}&

\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0843681228688682cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-6.62)(16.9,6.3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1.,0.)(0.889918693812,0.646563777522)(0.37082039325,1.14126781955)(-0.401722092687,1.23637347118)(-1.13262379212,0.822899353209)(-1.5,0.)(-1.294427191,-0.940456403668)(-0.525328890437,-1.6167960777)(0.556230589875,-1.71190172933)(1.53713228931,-1.11679197936)(2.,0.)
\psline(0,0)(1.,0.)
\psline(0,0)(0.889918693812,0.646563777522)
\psline(0,0)(0.37082039325,1.14126781955)
\psline(0,0)(-0.401722092687,1.23637347118)
\psline(0,0)(-1.13262379212,0.822899353209)
\psline(0,0)(-1.5,0.)
\psline(0,0)(-1.294427191,-0.940456403668)
\psline(0,0)(-0.525328890437,-1.6167960777)
\psline(0,0)(0.556230589875,-1.71190172933)
\psline(0,0)(1.53713228931,-1.11679197936)(2.,0.)
\end{pspicture*}
&

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0843681228688682cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-6.62)(16.9,6.3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1,0)(0.99860934211,0.324467844094)(0.889918693812,0.646563777522)(0.675953040136,0.930369543531)(0.37082039325,1.14126781955)(0,1.25)(-0.401722092687,1.23637347118)(-0.793510090595,1.09217294241)(-1.13262379212,0.822899353209)(-1.37903194863,0.448074641844)(-1.5,0)(-1.47413760026,-0.478976341281)(-1.294427191,-0.940456403668)(-0.969845666283,-1.33487804072)(-0.525328890437,-1.6167960777)(0,-1.75)(0.556230589875,-1.71190172933)(1.08740271674,-1.49668143959)(1.53713228931,-1.11679197936)(1.85456020678,-0.602583139032)(2,0)
\psline(0,0)(1,0)
\psline(0,0)(0.99860934211,0.324467844094)(0.889918693812,0.646563777522)
\psline(0,0)(0.675953040136,0.930369543531)
\psline(0,0)(0.37082039325,1.14126781955)
\psline(0,0)(0,1.25)
\psline(0,0)(-0.401722092687,1.23637347118)
\psline(0,0)(-0.793510090595,1.09217294241)
\psline(0,0)(-1.13262379212,0.822899353209)
\psline(0,0)(-1.37903194863,0.448074641844)
\psline(0,0)(-1.5,0)
\psline(0,0)(-1.47413760026,-0.478976341281)
\psline(0,0)(-1.294427191,-0.940456403668)
\psline(0,0)(-0.969845666283,-1.33487804072)
\psline(0,0)(-0.525328890437,-1.6167960777)
\psline(0,0)(0,-1.75)
\psline(0,0)(0.556230589875,-1.71190172933)
\psline(0,0)(1.08740271674,-1.49668143959)
\psline(0,0)(1.53713228931,-1.11679197936)
\psline(0,0)(1.85456020678,-0.602583139032)
\psline(0,0)(2,0)
\psline(0,0)
\end{pspicture*}\\
\end{tabular}

\bigskip
\textbf{Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points}

\bigskip
Dans cette partie, on suppose que $n=6$. Ainsi, pour $0\leqslant k\leqslant 6$, on a $z_k=\left(1+\dfrac{k}{6}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{6}}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_1$.

\item Vérifier que $z_0$ et $z_6$ sont des entiers que l'on déterminera.

\item Calculer la longueur de la hauteur issue de $M_1$ dans le triangle $OM_0M_1$ puis établir que l'aire de ce triangle est égale à $\dfrac{7\sqrt{3}}{24}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B : Ligne brisée formée à partir de $n+1$ points}

Dans cette partie, $n$ est un entier supérieur ou égal à 2.

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$, déterminer la longueur $OM_k$.

\item Pour $k$ entier tel que $0\leqslant k\leqslant n-1$, déterminer une mesure des angles $\left(\overrightarrow{\text{u}}~;~\overrightarrow{OM_k}\right)$ et $\left(\overrightarrow{\text{u}}~;~\overrightarrow{OM_{k+1}}\right)$.

En déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{OM_k}~;~\overrightarrow{OM_{k+1}}\right)$.

\item Pour $k$ entier tel que $0\leqslant k\leqslant n-1$, démontrer que la longueur de la hauteur issue de $M_{k+1}$ dans le triangle $OM_kM_{k+1}$ est égale à $\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)\times \sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)$.

\item On admet que l'aire du triangle $OM_kM_{k+1}$ est gale à $a_k=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$ et que l'aire totale délimitée par la ligne brisée est  égale à $A_n+a_0+a_1+\cdots+a_n$.

L'algorithme suivant permet de calculer l'aire $A_n$ lorsqu'on entre l'entier $n$ :

\begin{center}
\fbox{\begin{tabular}{ll}
VARIABLES&$A$ est un nombre réel\\
&$k$ est un entier\\
&$n$ est un entier\\
TRAITEMENT&Lire la valeur de $n$\\
&$A$ prend la valeur 0\\
&Pour $k$ allant de 0 à n-1\\
&\hspace{0,5cm} $A$ prend la valeur $A+\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$\\
&Fin Pour\\
SORTIE&Afficher $A$
\end{tabular}}

\end{center}
On entre dans l'algorithme $n=10$

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l'algorithme.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$k$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
$A$&0,323&0,711&1,170&10705&2,322&3,027&3,826&4,726&&\\
\hline
\end{tabularx}

\item On admet que $A_2=0$ et que la suite $\left(A_n\right)$ sonverge e que $\lim_{n\rightarrow +\infty}A_n=\dfrac{7\pi}{3}\approx 7,3$.

Recopier et compléter les lignes $L6$ et $L13$ de l'algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $A_n\geqslant 7,2$. On ne demande pas de déterminer $n$.

\begin{center}
\fbox{\begin{tabular}{lll}
$L1$&VARIABLES&$A$ est un nombre réel\\
$L2$&&$k$ est un entier\\
$L3$&&$n$ est un entier\\
$L4$&traitement&$n$ prend la valeur 2\\
$L5$&&$A$ prend la valeur 0\\
$\textbf{L6}$&&\textbf{Tant que}\dots\dots\dots\dots\\
$L7$&&$n$ prend la valeur $n+1$\\
$L8$&&$A$ prend la valeur 0\\
$L9$&&Pour $k$ allant de 0 à $n-1$\\
$L10$&&$A$ prend la valeur $A+\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$\\
&&Fin Pour\\
$L12$&&Fin Tant que\\
$\textbf{L13}$&\textbf{SORTIE}&\textbf{Afficher} \dots\\
\end{tabular}}

\end{center}\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  