\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat S}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{ février 2018 - Durée : 4 heures}}}
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\def\montitre{BACCALAURÉAT BLANC}
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% pour le pied de page central
\cfoot{\fbox{\textcolor{blue}{Page \thepage/6}}}
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection} (sur 5 points)}} 

\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {février 2018}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATHÉMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{Série : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DURÉE DE L'ÉPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte 6 pages, numérotées de 1 à 6}}\\


\bigskip

\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\


\fbox{\begin{minipage}{16cm}
L'élève doit traiter les cinq exercices, l'exercice 2 étant différent suivant l'enseignement de spécialité suivi.\\
\\
L'exercice 2 pour les élèves \textbf{ne suivant pas la spécialité mathématiques} commence en page 2 et se poursuit en page 3.\\
\\
L'exercice 2 pour les élèves \textbf{suivant la spécialité mathématique} commence en page 4 et se poursuit en page 5.\\

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{minipage}
}\end{center}

\hfill\\


\newpage
\normalsize

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 (sur $3$ points) - commun à tous les élèves}} % proposé par Pierre

\medskip

\noindent Soit $P$ le polynôme de degré $4$ défini sur $\mathbb{C}$ par $P(z)=z^4-6z^3+24z^2-18z+63$.
\begin{enumerate}
	\item Vérifier que $i\sqrt{3}$ est une racine du polynôme $P$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, $\overline{P(z)} = P( \ \overline{z} \ )$. 
		\item En déduire une autre racine de $P$.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,
	$$P(z)=(z+i\sqrt{3})(z-i\sqrt{3})(az^2+bz+c)$$
	\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (sur $5$ points) - pour les élèves ne suivant pas la spécialité mathématiques}}  % métropole septembre 2016

\medskip

\noindent On dispose d'un dé équilibré à $6$ faces numérotées de 1 à  6 et de 2 pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.\\
\\
Après chaque lancer de dé, si l'on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.\\
\\
Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Dans l'algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face d'une pièce et $1$ code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1 - a$ code le côté de la pièce A après l'avoir retournée.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|lX|}\hline
			\textbf{Variables :}	& $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers\\
			&$i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à  1\\
			\textbf{Initialisation :}& $a$ prend la valeur $0$\\
			&$b$ prend la valeur 0\\
			&Saisir $n$\\
			\textbf{Traitement :}	& Pour $i$ allant de $1$ à  $n$ faire\\
			&\begin{tabular}{|l}
				$d$ prend la valeur d'un entier aléatoire compris \\
				entre 1 et 6\\
				Si $d \leqslant 2$\\
				\hspace{0.5cm}	\begin{tabular}{|l}
					alors $a$ prend la valeur $1 - a$\\
					sinon Si $d \leqslant 4$\\
					
					\hspace{1.5cm}| alors $b$ prend la valeur $1 - b$\\				
					\hspace{1cm}FinSi\\
				\end{tabular}\\
				FinSi\\
				$s$ prend la valeur $a + b$\\
			\end{tabular}\\
			&FinPour\\
			\textbf{Sortie :}&Afficher $s$\\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	%\hfill\\
	\begin{enumerate}
		\item On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 6 et 4. Compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme :
		
		\begin{center}
			\psset{xunit=1.6cm, yunit=0.6cm}
			\def\xmin {-2.5}  \def\xmax {5}
			\def\ymin {0}   \def\ymax {5}
			\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
			%\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
			\multido{\i=0+1}{6}{\psline(\xmin,\i)(\xmax,\i)}
			\multido{\i=0+1}{6}{\psline(\i,\ymin)(\i,\ymax)}
			\psline(\xmin,\ymin)(\xmin,\ymax)
			\uput[r](\xmin,0.5){\small 3\ieme{} passage boucle Pour}
			\uput[r](\xmin,1.5){\small 2\ieme{} passage boucle Pour}
			\uput[r](\xmin,2.5){\small 1\ier{} passage boucle Pour}
			\uput[r](\xmin,3.5){\small initialisation}
			\uput[r](\xmin,4.5){\small variables}
			\uput[u](0.5,4){$i$}
			\uput[u](1.5,4){$d$}
			\uput[u](2.5,4){$a$}
			\uput[u](3.5,4){$b$}
			\uput[u](4.5,4){$s$}
			\psline(0,3)(1,4)(2,3) \psline(0,4)(1,3)(2,4)
			\psline(4,3)(5,4)
			\psline(4,4)(5,3)
			\end{pspicture}
		\end{center}
		
		\item Cet algorithme permet-il de décider si à  la fin les deux pièces sont du côté pile ?\\
	\end{enumerate}
	\item  Pour tout entier naturel $n$, on note :
	
	$\bullet~~$ $X_n$ l'évènement : \og à l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face\fg
	
	$\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement : \og à l'issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l'autre est du
	côté face\fg
	
	$\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement : \og à l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile\fg.\\
	
	De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des évènements
	$X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1 ou 2 pièces du côté pile.
		\item  Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
		\item  Compléter les probabilités sur l'arbre ci-dessous, certaines pouvant être nulles :
		
		\begin{center}
			\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,levelsep=3.5cm]{\TR{}}
			{
				\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$X_n$}\taput{$x_n$}}
				{ 
					\TR{$X_{n+1}$}
					\TR{$Y_{n+1}$}
					\TR{$Z_{n+1}$}	   
				}
				\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$Y_n$}\taput{$y_n$}}
				{ 
					\TR{$X_{n+1}$}
					\TR{$Y_{n+1}$}
					\TR{$Z_{n+1}$}	   
				}
				\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$Z_n$}\taput{$z_n$}}
				{ 
					\TR{$X_{n+1}$}
					\TR{$Y_{n+1}$}
					\TR{$Z_{n+1}$}	   
				}
			}
		\end{center}
		
		\bigskip
		
		\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = - \dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
		\item  On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n - \dfrac{1}{2}$.
		
		Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
		
		En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2} -  \dfrac{1}{2}\times  \left(- \dfrac{1}{3}\right)^n$.
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_n$.
		
		Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hfill\\

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 (sur $5$ points) - pour les élèves suivant la spécialité mathématiques}}  % Centres étrangers 2016

\medskip

\noindent Le but de cet exercice est d'étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en $1929$ par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d'une matrice $A$, connue  uniquement de l'émetteur et du destinataire.

\noindent Dans tout l'exercice,  on note $A$ la matrice définie par : $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$.


\medskip

\noindent\textbf{Partie A -- Chiffrement de Hill}

\medskip

\noindent Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
		Etape 1&On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on
		effectue chacune des étapes suivantes.\\ \hline
		Etape 2&On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers $x_1$ et $x_2$ tous deux compris entre 0
		et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant :
		
		\begin{tabular}{|*{13}{c|}}\hline
			A	&B	&C 	&D 	&E 	&F 	&G 	&H 	&I 	&J 	&K 	&L 	&M\\ \hline
			0	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10 &11 &12\\ \hline\hline
			N	&O 	&P 	&Q	&R 	&S 	&T 	&U 	&V	&W 	&X	&Y 	&Z\\ \hline
			13 	&14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21	&22 &23 &24 &25\\ \hline
		\end{tabular}
		\\ \hline
		Etape 3& On transforme la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ vérifiant $Y = A X$.\\ \hline
		Etape 4&On transforme la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$, où $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ celui de la division euclidienne de $y_2$ par 26.\\ \hline
		Etape 5&On associe aux entiers $r_1$ et $r_2$ les deux lettres correspondantes du tableau de l'étape 2.
		
		Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.\\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}

\noindent\textbf{Question :} utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot \og HILL \fg.

\bigskip

\noindent\textbf{Partie B - Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement}

\medskip

\begin{enumerate}
	%\item Soit $a$ un entier relatif premier avec 26.
	
	%Démontrer qu'il existe un entier relatif $u$ tel que $u \times a \equiv  1 \:\text{modulo}\: 26$.
	\item On considère l'algorithme suivant :
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
			VARIABLES :	&$a, u$, et $r$ sont des nombres ($a$ est naturel et premier avec 26)\\
			TRAITEMENT :&Lire $a$\\
			&$u$ prend la valeur 0, et $r$ prend la valeur 0\\
			&Tant que $r \ne  1$\\
			&\hspace{0,8cm}$u$ prend la valeur $u + 1$\\
			&$\hspace{0,8cm}r$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $u \times a$ par 26
			\\
			&Fin du Tant que\\
			SORTIE 		&Afficher $u$\\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	On entre la valeur $a = 21$ dans cet algorithme.
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline
				$u$&0&1&2&\ldots\\ \hline
				$r$&0&21&\ldots&\ldots\\ \hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item En déduire que $5 \times 21 \equiv 1 \:\:\text{modulo}\:\: 26$.
	\end{enumerate}
	\item On rappelle que $A$ est la matrice $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$ et on note $I$ la matrice : $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la matrice $12A - A^2$.
		\item En déduire la matrice $B$ telle que $BA = 21I$.
		\item Démontrer que si $A X = Y$, alors $21 X = B Y$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Partie C - Déchiffrement}

\medskip

\noindent On veut déchiffrer le mot VLUP.

\noindent On note $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres
avant chiffrement, et $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ la matrice définie par l'égalité : $Y =  A X = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}X$.

\noindent Si $r_1$ et $r_2$ sont les restes respectifs de $y_1$ et $y_2$ dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux
lettres après chiffrement est associé à la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$.

\medskip


\begin{enumerate}
	\item Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l}
	21x_1 &=& \phantom{-}7y_1 - 2y_2\\
	21x_2 &=&- 7y_1 + 5 y_2
	\end{array}\right.$
	
	\item En utilisant la question B .2., établir que: $\left\{\begin{array}{l c l r}
	x_1	&\equiv&9r_1 + 16r_2 \:\:&\text{modulo}\: 26\\
	x_2 &\equiv&17r_1 + 25r_2 \:\:&\text{modulo}\: 26
	\end{array}\right.$
	\item Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices $\begin{pmatrix}21\\11\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}20\\15\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}




\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}} % proposé par Pierre

\medskip

\noindent\textbf{Partie A :} 

\medskip

\noindent Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\sqrt{x^2+1} -1$.
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g'(x)=\dfrac{2x^2 +1}{\sqrt{x^2 +1}}$. 
		\item En déduire les variations de $g$ et dresser son tableau de variations. 
		\end{enumerate}
		
\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, notée $\alpha$.
		
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	
\item Déterminer le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

\item On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal du plan.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $0$.
		\item Etudier la position relative de $T$ et de $\mathcal{C}_{g}$.\\
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}	

\medskip

\noindent\textbf{Partie B :} 

\medskip

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\sqrt{x^2+1}$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
	
	\item Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{\sqrt{x^2+1}}$
	
	\item Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{\alpha^4 -3}{3\alpha}$. En déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$. 
	
	\item Déterminer le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$. Dresser alors le tableau de variations de $f$. 
	
\end{enumerate}	
\vspace{0,5cm}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (sur $3$ points) - commun à tous les élèves}} % Polynésie septembre 2015


\parbox{0.47\linewidth}{
	$ABCDEFGH$ est un cube.\\
	$I$ est le milieu de $[AB]$.\\
	$J$ est le milieu de $[HD]$.\\
	$K$ est le milieu de $[HG]$.\\
	\\
	On se place dans le repère $\left(A~;~ \vect{AB},~ \vect{AD},~ \vect{AE}\right)$.}\hfill
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
	\begin{pspicture}(-2,0)(6,5.7)
	\psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)
	\psline(3.7,0.2)(5.6,1.4)(5.6,4.9)(3.7,3.7)
	\psline(5.6,4.9)(2.1,4.9)(0.2,3.7)
	\psline[linestyle=dotted](0.2,0.2)(2.1,1.4)(2.1,4.9)
	\psline[linestyle=dotted](2.1,1.4)(5.6,1.4)
	\uput[dl](0.2,0.2){$A$} \uput[dr](3.7,0.2){$B$} \uput[r](5.6,1.4){$C$} 
	\uput[ur](2.1,1.4){$D$} \uput[ul](0.2,3.7){$E$} \uput[ul](3.7,3.7){$F$} 
	\uput[ur](5.6,4.9){$G$} \uput[u](2.1,4.9){$H$} \uput[d](1.95,0.2){$I$} 
	\uput[l](2.1,3.15){$J$} \uput[u](3.9,4.9){$K$}
	\psdots(1.95,0.2)(2.1,3.15)(3.9,4.9) 
	\end{pspicture}
}
\hfill\\

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le vecteur $\vect{CE}$ est un vecteur normal au plan $(IJK)$.
	\item Démontrer que la droite $(BD)$ est parallèle au plan $(IJK)$.
	\item Soit $M$ un point de la droite $(CE)$. Quelle est la position du point $M$ sur la droite $(CE)$
	pour laquelle le plan ($BDM$) est parallèle au plan ($IJK$) ?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}




\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 5 (sur $5$ points) - commun à tous les élèves}}  % Amérique du sud novembre 2014 exo 3
\noindent On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :\index{suite} 

\[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad  u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]


\noindent\textbf{Partie A : Conjecture}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer les valeurs exactes, \textbf{données en fractions irréductibles}, de $u_1$ et $u_2$. 
	\item Donner une valeur approchée à  $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. 
	\item Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Partie B: Validation des conjectures}

\medskip 

\noindent On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 

$$v_n = u_n - 3$$

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. 
	\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$
	$$-1 \leqslant  v_n \leqslant 0$$ 
	\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
		$$v_{n+1} - v_n = - v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n  + 1\right)$$ 
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate} 
	\item Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ? 
	\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. On admet que $\ell \in [- 1~;~0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. 
	
	Déterminer la valeur de $\ell$. 
	\item Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}




\label{fin}
\end{document}  