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% pour le pied de page central
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\cfoot{\og{}La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques. \fg{} (Blaise Pascal)}
\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}

\emph{On soignera la rédaction ; on rappelle que chaque réponse doit être justifiée}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%Exercices de Sésamath
\subsection{}
Dans un repère (O~;~I~;~J) orthonormal, on donne les points R(1~;~-1), S(-2~;~0), T(0~;~6) et U(3~;~5).
\begin{enumerate}
\item Placer les points dans le repère.

\item Quelle conjecture peut-on faire sur la nature du quadrilatère RSTU ?

\item Démontrer que ce quadrilatère est un parallélogramme.

\item Démontrer alors la conjecture faite à la question 2.
\end{enumerate}

\subsection{}
On munit le plan d'un repère orthonoémr (0~;~I~;~J).\\
On considère les points T(-2,2~;~1,2), A(-1,2~;~3,6), C(6~;~0,6).

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des trois côtés du triangle TAC.

\item Démontrer que ce triangle est rectangle.

\item On appelle K le milieu de [TC]. Calculer les coordonnées de K.

\item Quelles sont les coordonnées du point E tel que ECAT soit un rectangle ; expliquer !
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans le repère orthonormé (0~;~I~;~J) d'unité 1 cm, on considère les points suivants :\\
A(6~;~0), B(0~;~4), C(1~;~-1).
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.

\item Prouver que le triangle ABC est rectangle.

\item On appelle K le milieu de [AB].
\begin{enumerate}
\item 
Calculer les coordonnées de K.

\item Prouver que K appartient à la médiatrice de [OC].
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Le tableau de variation suivant est celui d'une fonction $f$ définie sur [-4~;~4].
\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&2&&4\\
\hline
\m{f(x)}&\h{3}&\d&1&\c&\h{6}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On sait de plus que $f(3)=3$.
Déterminer chacun des ensembles suivants :
\begin{enumerate}[a)]
\item l'ensemble des nombres $x$ tels que $f(x)\geqslant 0$.

\item l'ensemble des nombres $x$ tels que $f(x)\geqslant 3$.

\item l'ensemble des nombres $x$ tels que $f(x)< 3$.

\item l'ensemble des nombres $x$ tels que $f(x)< 1$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un vieux livre de mathématiques, on trouve la formule donnant la longueur des médianes d'un triangle en fonction de la longueur  des trois côtés (voir figure). :\[L^2=\dfrac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)\]
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,6)
\pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(8,0)(3,5)
\psline(0,0)(8,0)
\psline(8,0)(3,5)
\psline(3,5)(0,0)
\psline(3,5)(4,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[l](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,0)
\rput[bl](8.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,5)
\rput[bl](3.08,5.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4,0)
\rput[bl](4.08,0.12){\darkgray{$I$}}
\rput[bl](3.98,-0.52){{$c$}}
\rput[bl](5.72,2.74){{$a$}}
\rput[bl](1.22,2.68){{$b$}}
\rput[bl](3.18,2.44){$L$}
\psline{<->}(0,-0.3)(8,-0.3)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
On se place dans un repère orthonormé d'origine A tel que $(AB)$ soir l'axe des abscisses, B ayant une abscisses positive.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées de A et de B ?

\item Quelles sont les cordonnées de I, milieu de [AB]?

\item On note $\left(x_C~;~y_C\right)$ les coordonnées de C. Vérifier que \[L^2=IC^2=x_C^2+y_C^2-cx_C+\dfrac{c^2}{4}.\]

\item Calculer $a^2$ et $b^2$ en fonction de $x_C$, $y_C$ et de $c$.\\
Donner les résultats sous forme développée.

\item Démontrer alors la formule de ce vieux livre.

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  