\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Rappels de trigonométrie}}\end{center}
%voir https://www.math93.com/images/pdf/troisieme/td/td_3e_trigonometrie_TD1.pdf

\subsection*{\textcolor{blue}{Étymologie}}
\og{}tri\fg{} veut dire trois, \og{}gonos\fg{} en grec veut dire angle et \og{}métrie\fg{} signifie mesure ; la trigonométrie est donc l'étude de la mesure des angles dans une figure à trois côtés, donc dans un triangle.\\
Au collège et au lycée, on se place dans un \textbf{triangle rectangle}.

\subsection{\textcolor{blue}{Les trois formules de base}}
\parbox{10cm}{On considère un triangle rectangle ABC, rectangle en B.
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et le plus grand des trois côtés (d'après le théorème de Pythagore).\\
On définit :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\cos\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{\text{côte adjacent à }\widehat{A}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AB}{AC}$

\item $\sin\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{\text{côte opposé à }\widehat{A}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BC}{AC}$

\item $\tan\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{\text{côte opposé à }\widehat{A}}{\text{côte adjacent à }\widehat{A}}=\dfrac{BC}{AB}$

\end{enumerate}}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-1)(6,5)
\pspolygon(0,4)(0,0)(5,0)
\pspolygon(0.42,0)(0.42,0.42)(0,0.42)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,0)(5,0)
\psline(5,0)(0,4)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.6747409422235526}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+4}\lineto(0,4)\closepath}
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\uput[dl](0,0){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5,0)
\rput[bl](5.08,0.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.08,3){$\widehat{A}$}
\uput[r](2.5,2){hypoténuse}
\uput[d](2.5,0){côté opposé à $\widehat{A}$}
\rput[l]{90}(-1,0){côté adjacent à $\widehat{A}$}
\end{pspicture*}
\end{center}}
\textbf{\textcolor{blue}{Moyen mnémotechnique}} : on retient \og{}phonétiquement\fg{} cos-adj-hyp ; sin-opp-hyp et tange-opp-adj

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarques}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item ces trois formules correspondant à des nombres positifs (quotients de longueurs).

\item $\cos\left(\widehat{A}\right)$ et $\sin\left(\widehat{A}\right)$ sont compris entre 0 et 1 puisque le numérateur est inférieur au dénominateur.

\item D'après le théorème de Thalès, ces expressions ne dépendant que de la valeur de l'angle, pas de la taille du triangle rectangle.
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Calculer des distances dans un triangle rectangle avec un angle et un côté}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Exemple 1}}
Soit $EFG$ un triangle rectangle en $G$ tel que $EF=5$ et $EFG=40\text{\degre}$.\\
Calculer une valeur approchée au dixième de EG et de FG.

\bigskip

\parbox{10cm}{\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On commence par tracer une figure, éventuellement à main levée.


\item On cherche la formule de trigonométrie qui correspond aux données et à ce que l'on cherche.\\
$[EF]$ est l'hypoténuse ($EF=5$) ; $[EG]$ est le côté opposé à $\widehat{F}$.\\
Dans le triangle rectangle $EFG$ : $\sin\left(\widehat{EFG}\right)=\dfrac{EG}{EF}$ donc $\sin(40\text{\degre})=\dfrac{EG}{5}$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{EG=5\sin\left(40\text{\degre}\right)}}$ (valeur exacte).\\
À la calculatrice : $\boxed{\textcolor{red}{EG\approx 	3,2}}$.

\bigskip

$[FG]$ est quant à lui le côté adjacent ) $\widehat{EFG}$.\\
Alors : $\cos\left(\widehat{EFG}\right)=\dfrac{FG}{EF}$ donc $\cos\left(40\text{\degre}\right)=\dfrac{FG}{5}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{FG=5\cos\left(40\text{\degre}\right)}}$ (valeur exacte).\\
$\boxed{\textcolor{red}{FG\approx 3,83}}$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{8cm}
{\begin{center}

\psset{unit=1,comma=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(1,5)
\uput[r](0,0){E}
\uput[u](-3.22,3.83){F}
\uput[d](-3.22,0){G}
\pspolygon(0,0)(-3.22,3.83)(-3.22,0)
\psframe(-3.22,0)(-3.02,0.2)
\uput[d](-2.7,3){40\degre}
\uput[r](-1,2){5}
\psarc(-3.22,3.83){0.5}{-90}{-50}
\end{pspicture}
\end{center}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exemple 2}}
Soit EFG un triangle rectangle en G tel que $EG = 4$ et $\widehat{EFG=40\text{\degre}}$\\
Calculer une valeur approchée au dixième de FG.

\bigskip

\parbox{8cm}{\textbf{\textcolor{blue}{Figure}} :
\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,7)
\uput[d](0,0){G}
\uput[d](4,0){F}
\uput[ul](0,4.767){E}
\pspolygon(0,0)(4,0)(0,4.767)
\psframe(0,0)(0.3,0.3)
\psarc(0,4.767){0.5}{-90}{-50}
\end{pspicture}
\end{center}}\hfill
\parbox{10cm}
{Dans le triangle rectangle $EFG$, on connaît le côté opposé à l'angle $\widehat{EFG}$ et on cherche le côté adjacent à cet angle.\\
On a = $\tan\left(\widehat{EFG}\right)=\dfrac{EG}{FG}$ donc $\tan\left(40\text{\degre}\right)=\dfrac{4}{FG}$.\\
On en déduit : $FG=\dfrac{4}{\tan(40)}\approx \boxed{\textcolor{red}{4,8}}$.}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Calculer une mesure d’angle dans un triangle rectangle connaissant deux côtés}}
Soit EFG un triangle rectangle en G tel que EF = 10 cm et EG = 8 cm. Calculer une valeur approchée à l’unité de la mesure de l’angle $\widehat{EFG}$.

\bigskip
\parbox{10cm}{\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On fait un schéma en indiquant les données de l'énoncé.

\item On connaît l'hypoténuse $[EF]$ et le côté opposé à $\widehat{F}$.\\
$\sin\left(\widehat{F}\right)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$.\\
À la calculatrice, on trouve : $\widehat{F}=\arcsin\left(\dfrac{4}{5}\right)\approx 53,13\text{\degre}$.\\
L'angle $\widehat{EGF}$ mesure environ 53\degre.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{10cm}{
\psset{unit=0.7,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,7)
\uput[d](0,0){G}
\uput[d](8,0){E}
\uput[l](0,6){F}
\pspolygon(0,0)(8,0)(0,6)
\uput[d](4,0){8}
\uput[r](4,3){10}
\psarc(0,6){1}{-90}{-36.87}
\end{pspicture}}

\bigskip
L'autre angle $\widehat{}$ est alors facile à calculer, puisque les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires (leur some vaut 90\degre).\\
On en déduit $\widehat{GEF}=90-53,13\approx 37\text{\degre}$.

\subsection{\textcolor{blue}{Lien entre sinus, cosinus et tangente}}.
\parbox{9cm}
{\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\cos\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{\text{côte adjacent à }\widehat{A}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AB}{AC}\\
=\dfrac{\text{côte opposé à }\widehat{C}}{\text{hypoténuse}}=\sin\left(\widehat{C}\right)$.\\
On a donc : $\boxed{\textcolor{red}{\cos\left(\widehat{A}\right)=\sin\left(\widehat{C}\right)}}$.\\
De même : $\boxed{\textcolor{red}{\cos\left(\widehat{C}\right)=\sin\left(\widehat{A}\right)}}$.\\
Donc : 
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si deux angles sont complémentaires, le cosinus de l'un est le sinus de l'autre.
\end{bclogo}

\item $\dfrac{\sin\left(\widehat{A}\right)}{\cos\left(\widehat{A}\right)}=\dfrac{\frac{BC}{AC}}{\frac{AB}{AC}}=\dfrac{BC}{AC}\times \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AB}=\tan\left(\widehat{A}\right)$.\\
On a donc : 

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\tan\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{\sin\left(\widehat{A}\right)}{\cos\left(\widehat{A}\right)}$.
\end{bclogo}

\end{enumerate}}\hfill
\parbox{10cm}{\psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-1)(6,5)
\pspolygon(0,4)(0,0)(5,0)
\pspolygon(0.42,0)(0.42,0.42)(0,0.42)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,0)(5,0)
\psline(5,0)(0,4)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.6747409422235526}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+4}\lineto(0,4)\closepath}
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\uput[dl](0,0){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5,0)
\rput[bl](5.08,0.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.08,3){$\widehat{A}$}
\uput[r](2.5,2){hypoténuse}
\uput[d](2.5,0){côté opposé à $\widehat{A}$}
\rput[l]{90}(-1,0){côté adjacent à $\widehat{A}$}
\end{pspicture*}}


\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :\\
$\cos\left(12\text{\degre}\right)=\sin78\text{\degre}$ car $90-12=78$. ; 
$\cos\left(45\text{\degre}\right)=\sin\left(45\text{\degre}\right)$.

\subsection{\textcolor{blue}{Lien entre les carrés du cosinus et du sinus d'un angle}}.\\
\textbf{\textcolor{red}{Notation}} : Par abus d'écriture, on écrit : $\left(\cos\left(\widehat{A}\right)\right)^2=\cos^2\widehat{A}$.


\begin{minipage}{6cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\cos^2\widehat{A}+\sin^2\widehat{A}=1$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Justification}} :

$\cos^2\widehat{A}+\sin^2\widehat{A}=1=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2+\left(\dfrac{BC}{AC}\right)^2=\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{BC^2}{AC^2}=\dfrac{AB^2+BC^2}{AC^2}=\dfrac{AC^2}{AC^2}=1$ car, d'après le théorème de Pythagore, $AB^2+BC^2=AC^2$.

\subsection{\textcolor{blue}{Valeurs particulières}}

On les obtient en prenant un triangle  équilatéral coupé par une hauteur ou un triangle isocèle rectangle.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\cellcolor{yellow!30}Angle en \degre&30&45&60\\
\hline
\cellcolor{yellow!30}$\sin$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
\hline
\cellcolor{yellow!30}$\cos$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$\\
\hline
\cellcolor{yellow!30}$\tan$&$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$&1&$\sqrt{3}$\\
\hline
\end{tabularx}


\label{fin}
\end{document}  