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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{2\up{nde} : vecteurs (deuxième partie)}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents


\subsection{\textcolor{red}{Coordonnées d'un vecteur}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère quelconque.
\noindent 
Soient deux points $A\left(x_{A}~;~y_{A}\right)$ et $B(x_{B}~;~y_{B})$.
\noindent 
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $x_{B}-x_{A}$ et $y_{B}-y_{A}$ et l'on écrit : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}
\\y_{B}-y_{A}\end{pmatrix}$
\end{bclogo}
 
\bigskip

\textcolor{blue}{Remarque :}
\noindent 
Les coordonnées d'un vecteur   servent à savoir de combien d'unités on se déplace parallèlement à chaque axe.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(10,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-2)(10,6)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1,-2)(10,6)
\psline{->}(2,5)(7,-1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=blue](2,5)
\rput[bl](2.08,5.12){\blue{$A(2~;~5)$}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=blue](7,-1)
\rput[bl](7.08,-0.88){\blue{$B(7~;~-1)$}}
\psline[linestyle=dashed](2,5)(2,-1)
\psline[linestyle=dashed](2,-1)(7,-1)
\uput[r](5,3){$\overrightarrow{AB}(5~;~-6)$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed]{<->}(1.8,5)(1.8,-1)
\uput[l](1.8,2){-6}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed]{<->}(2,-1.2)(7,-1.2)
\uput[d](5,-1.2){5}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
\noindent 

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Application}} : Déterminer les coordonnées du quatrième point d'un parallélogramme :

\noindent Soient A(2~;~ 3) , B( 3~;~4) et C( 5~;~6). On cherche les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.


\noindent 
ABCD est un parallélogramme si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux.


\noindent 
On note $D\left(x_{D}~;~y_{D}\right)$ les coordonnées de $D$.


\noindent 
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5-x_{D}\\6-y_{D}\end{pmatrix}$.
On obtient un système de deux équations :

$\begin{cases}
5-x_{D}=1\\
5-x_{D}=1
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_{D} = 4\\y_{D} = 5\end{cases}$.\\
$D$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D(4~;~5)}}$

\subsection{\textcolor{red}{Longueur d'un segment}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère \textbf{orthonormal}.
Soient A$\left(x_{A}~;~y_{A}\right)$ et B$\left(x_{B}~;~y_{B}\right)$. Alors : 


\noindent 
$AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}$.
\end{bclogo}\label{fin}

\bigskip



\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} Cette formule vient de l'application du théorème de Pythagore.


\noindent 

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\left(x_{1}-x_{B}\right)$ et $\left(y_{B}-y_{A}\right)$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,5)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,opacity=0.1](5,2.4242640687119286)(4.575735931288071,2.4242640687119286)(4.575735931288071,2)(5,2)
\psline[linewidth=1pt](1,2)(5,4)
\psline[linewidth=1pt](5,4)(5,2)
\psline[linewidth=1pt](5,2)(1,2)
\rput[tl](2.46,1.56){$x_B-x_A$}
\rput[tl](5.24,3.44){$y_B-y_A$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2)
\rput[bl](1.08,2.2){$A$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](5,4)
\rput[bl](5.08,4.2){$B$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](5,2)
\end{pspicture*}
\end{center}}\hfill
\parbox{10cm}{En appliquant le théorème de Pythagore, on trouve :\\
 $AB^2=\left(x_N-x_A\right)^2+\left(y_B-y-A\right)^2$ d'où la formule.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : elle convient quelles que soient les positions de $A$ et $B$ puisque l'on calcule les carrés des différences des coordonnées.}
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $A(2~;~-5)$ et $B(-7~;~1)$. \\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -9\\ 6\end{pmatrix}$ donc : $AB=\sqrt{(-9)^{2}+6^{2}}=\sqrt{81+36}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{117}}}$

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Multiplication d'une vecteur par un réel}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un vecteur et soit $k$ un réel.


\noindent 
Le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}kx\\ ky\end{pmatrix}$ est noté $k\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $k\overrightarrow{u}$ ont la même direction.

\item Si $k>0$, $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens. Si $k<0$, les deux vecteurs sont de sens contraire.

\item La longueur de $k\overrightarrow{u}$ est $k$ fois celle de $\overrightarrow{u}$ si $k>0$, $-k$ fois celle de $\overrightarrow{u}$ si $k<0$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : 
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-1.)(10.,4.)
\psline{->}(0.,0.)(6.,0.)
\psline{->}(0.,1.)(9.,1.)
\psline{->}(0.,2.)(-3.,2.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.,0.)
\rput[bl](6.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,1.)
\rput[bl](0.08,1.12){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,2.)
\rput[bl](0.08,2.12){\xdxdff{$D$}}
\rput[bl](3.,0.08){$\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.,1.)
\rput[bl](9.08,1.12){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](4.5,1.08){$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.,2.)
\rput[bl](-2.92,2.12){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](-1.5,2.1){$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Vecteurs colinéaires}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Rappel}}
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$
\end{bclogo}

\bigskip




\subsection{\textcolor{red}{Caractérisation de la colinéarité par les  coordonnées}}

Rappel : les  vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.


\noindent 
Si $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$, cela se traduit par $\left\{\begin{array}{l}x'=kx\\y'=ky\end{array}\right.$, donc les coordonnées sont bien proportionnelles.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (condition de colinéarité)}}
Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}$.


\noindent 
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy'-x'y=0$
\end{bclogo}

\bigskip

Exemples : 
\begin{enumerate}
\item Soient $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\ 9\end{pmatrix}$.

Il est clair que $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{u}$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

\item Soient $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{3}+\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{pmatrix}$.

On applique la condition de colinéarité : 

$\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)-1\times 1=\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2-1=2-2-1=0$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
\end{enumerate}






\subsection{\textcolor{red}{Application à la géométrie}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50,, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soient trois points  A, B et C deux à deux distincts.


\noindent 
A, B et C sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : soient A(2~;~5), B(3~;~8) et C(-5~;~-16).

Montrer que ces trois points sont alignés.

$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}-7\\ -21\end{pmatrix}$.

Il est clair que $\overrightarrow{\text{AC}}=-7\overrightarrow{\text{AB}}$ donc ces vecteurs sont colinéaires.

Les trois points A, B et C sont bien alignés.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50,, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soient quatre points A, B, C et D deux à deux distincts.


\noindent 
Les droites (AB) et (BC) sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple }}: soient A(1~;~3), B(5~;~-2), C(-1~;~6) et D7~;~-4).

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}8\\-10\end{pmatrix}$.

\noindent On remarque directement que $\overrightarrow{\text{CD}}=2\overrightarrow{\text{AB}}$.

\bigskip

\noindent On peut aussi applliquer la condition de colinéarité : $4\times (-10)-(-5)\times 8=-40-(-40)=0$\\
Les deux vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

\label{fin}
\end{document}  