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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \arabic{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du QCM sur les équations et inéquations (avec justifications)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
\noindent L'équation $2x+5=0$ équivaut à $2x=-5$.


\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
\noindent $3x+2 = 7$ équivaut à $3x = 7-2$

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
\noindent L'équation $3x+7 =0$ a pour solution le nombre $x=-\dfrac{7}{3}$

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
\noindent L'équation $7x+3 = -5$ a pour solution le nombre $-\dfrac{8}{7}$

\subsection{\textcolor{blue}{(2 point)}}


$5\times \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2+13\times \left(-\dfrac{3}{5}\right)+6=\dfrac{9}{5}-\dfrac{39}{5}+6=-6+6=0$ donc une solution de l'équation $5x^2+13x+6=0$ est $-\dfrac{3}{5}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}

$2x+3<0\Leftrightarrow 2x<-3\Leftrightarrow x<-\dfrac{3}{2}$ donc l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{3}{2}\right[}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
\noindent L'ensemble des solutions de l'équation \\
$(2x+3)(3x-2)=0$ est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{2}{3}\right)}}$.


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
\noindent $(x+8)(7x+3)=(x+8)(3x+2)\\
\Leftrightarrow (x+8)(7x+3)-(x+8)(3x+2)=0\\
\Leftrightarrow (x+8)\left[(7x+3)-(3x+2)\right]=0\\
\Leftrightarrow (x+8)(7x+3-3x-2)=0\\
\Leftrightarrow (x+8)(4x+1)=0$.\\
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-8~;~-\dfrac{1}{4}\right)}}$.


\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}

\noindent $2x+5\geqslant 5x-1\Leftrightarrow 2x-5x\geqslant -1-5\Leftrightarrow -3x\geqslant -6\\
\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{-6}{-3}=2\Leftrightarrow x\leqslant 2$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~2]}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

Le signe de $2x-3$ est donné par le tableau de signe :


\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3}{2}&&\pI\\
\hline
2x-3&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
\noindent Résolvons l'inéquation $(-5x+1)(2x+3)>0$ en renseignant un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{2}&&\dfrac{1}{5}&&\pI\\
\hline
-5x+1&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
2x+3&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
(-5x+1)(2x+3)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
 L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{1}{5}\right[}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On cherche le signe de $\dfrac{x-1}{5-x}$.\\
On remarque que 5 est une valeur interdite donc on doit avoir une double-barre sous le nombre 5 ; les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur sont 1 et 5.\\
Le tableau de signes qui permet de répondre est : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&5&&\pI\\
\filet
x-1&&-&\l&+&\bb&+&\\
\filet
5-x&&+&\l&+&\bb&-\\
\filet
\dfrac{x-1}{5-x}&&-&\z&+&\bb&-&\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 - 16>0$ ?\\
Graphiquement, on cherche les abscisses des points de la parabole représentative de la fonction carré dont les ordonnées sont supérieures à 16.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,26)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(5,26)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-1)(5,26)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-5}{-4}{x^2}
\psplot[linecolor=blue]{-4}{4}{x^2}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{4}{5}{x^2}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=3pt](-5,16)(5,16)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

L'ensemble des solutions est  $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-4[ \cup ]4~;~+\infty[}}$

\bigskip
Autre façon : $x^2-16>0\Leftrightarrow (x+4)(x-4)>0$ et on renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-4&&4&&\pI\\
\hline
x+4&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
x-4&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
(x+4)(x-4)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  