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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : correction du contrôle \no 1 (Géométrie repérée)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(1,5 point)}}
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item Quand dit-on qu'un repère $(0~;~I~;~J)$ est orthogonal ?
%
%\item Comment appelle-ton un repère orthogonal qui a la même unité sur les deux axes ?
Voir cours !
%\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
ABCD est un carré ; E est le symétrique de A par rapport à D ; F est le symétrique de C par rapport à D.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4,6.5)
\psline(0,0)(3,0)
\psline(3,0)(3,3)
\psline(3,3)(0,3)
\psline(0,0)(0,3)
\psline(0,0)(3,3)
\psline(0,6)(3,3)
\psline(0,6)(-3,3)
\psline(0,0)(-3,3)
\psline(0,3)(-3,3)
\psline(0,0)(0,6)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,,linecolor=blue](0,0)
\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,,linecolor=blue](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,,linecolor=blue](3,3)
\rput[bl](3.08,3.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,,linecolor=blue](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}

\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,,linecolor=darkgray](0,6)
\rput[bl](0.08,6.12){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,,linecolor=darkgray](-3,3)
\uput[l](-3,3){\darkgray{$F$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Donner les coordonnées des six points de la figure dans le repère (A~;~B~;~D).
Dans le repère (A~;~B~;~D)., les coordonnées des six points de la figure sont :\\
A(0~;~0), B(1~;~0), C(1~;~1), D(0~;~1), E(0~;~2) et \\
F(-1~;~1).

\item  %Donner les coordonnées des six points de la figure dans le repère (C~;~B~;~D).
Dans le repère (C~;~B~;~D)., les coordonnées des six points de la figure sont :\\
A(1~;~1), B(1~;~0), C(0~;~0), D(0~;~1), E(-1~;~1) et F(0~;~2).

\end{enumerate}




\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A(2~;~5) et B(3~;~1).\\
%Calculer les cordonnées du point M, milieu du segment [AB].
Les cordonnées du point M, milieu du segment [AB] sont :\\
$x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{5}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{6}{2}=3$.\\
Par conséquent, on a : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{5}{2}~;~3\right)}}$

\columnbreak
\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Dans un repère (0~;~I~;~J), on considère les points A(2~;~1), B(5~;~2), C (7~;~5) et D(4~;~4).\\
%Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
Soit M le milieu de la diagonale [AC].\\
$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{2}}}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.\\
Soit M' le milieu de la diagonale [BD].\\
$x_{M'}=\dfrac{x_B+x_D}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{2}}}$ et $y_{M'}=\dfrac{y_B+y_D}{2}=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.\\
Les points M et M' ont les même coordonnées donc $\boxed{\textcolor{red}{M=M'}}$.\\
ABCD est un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu : c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère (0~;~I~;~J), on considère les points A(1~;~-3), B(5~;~1), C (3~;~7).\\
%Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Les diagonales [AC] et [BD] doivent avoir le même milieu.\\
M, milieu de [AC] a pour coordonnées : \\
$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{4}{2}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{4}{2}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.\\
On note $x_D$ et $y_D$ les coordonnées de $D$.\\
On doit donc avoir :\\
$x_M=\dfrac{x_B+x_D}{2}$  donc $2=\dfrac{5+x_D}{2}$. On en déduit $5+x_D=2\times 2=4$ d'où $x_D=4-5=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$.\\
$y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2}$  donc $2=\dfrac{1+y_D}{2}$. On en déduit $1+y_D=2\times 2=4$ d'où $y_D=4-1=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.\\
D a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D(-1~;~3)}}$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-4)(6,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-4)(6,8)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,-3)(5,1)(3,7)(-1,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-4)(6,8)

\psline(1,-3)(5,1)
\psline(5,1)(3,7)
\psline(3,7)(-1,3)
\psline(-1,3)(1,-3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,-3)
\rput[bl](1.12,-2.84){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,1)
\rput[bl](5.11,1.18){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,7)
\rput[bl](3.1,7.18){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1,3)
\rput[bl](-0.89,3.16){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2,2)
\rput[bl](2.12,2.16){\darkgray{$M$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans un repère orthonormé $(0~;~I~;~J)$, on considère les points A(2~;~-1), B(5~;~1) et C(0~;~2).

\begin{enumerate}
\item %Faire une figure.
Figure :
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(6,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-2)(6,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2)(6,3)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,-1)(5,1)(0,2)
\psline(2,-1)(5,1)
\psline(5,1)(0,2)
\psline(0,2)(2,-1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,-1)
\rput[bl](2.08,-0.88){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,1)
\rput[bl](5.08,1.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,2)
\rput[bl](0.08,2.12){\blue{$C$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Calculer les longueurs AB, BC et AC.
$AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(5-2)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$.\\
$BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{(0-5)^2+(2-1)^2}=\sqrt{(-5)^2+1^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$.
$AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(0-2)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$.

\item %En déduire la nature exacte du triangle ABC.
On a $AB=AC$ donc le triangle ABC est isocèle en A.\\
$BC^2=26$ ; $AB^2+AC^2=13+13=26$ donc $\boxed{\textcolor{red}{BC^2=AB^2+AC^2}}$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est \textbf{rectangle} en B.\\
Conclusion : le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{isocèle rectangle }}en B
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
\noindent \emph{\textbf{\textcolor{red}{Remarque}}} : il s'agit du \textbf{même} exercice que le \no 41 page 233 fait en classe ; je n'ai changé que les coordonnées des points !\\

\noindent Dans un repère  $(0~;~I~;~J)$, on considère les points \\
A(2~;~-1), B(5~;~1), C(4~;~4). et D(1~;~2).
\begin{enumerate}

\item %Faire une figure.
Figure :
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(7,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-3)(7,5)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,-1)(5,1)(4,4)(1,2)
\pspolygon[fillcolor=yellow!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,-1)(1,2)(5,1)(6,-2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-3)(7,5)
\psline(2,-1)(5,1)
\psline(5,1)(4,4)
\psline(4,4)(1,2)
\psline(1,2)(2,-1)
\psline(2,-1)(1,2)
\psline(1,2)(5,1)
\psline(5,1)(6,-2)
\psline(6,-2)(2,-1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,-1)
\rput[bl](2.08,-0.88){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,1)
\rput[bl](5.08,1.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4,4)
\rput[bl](4.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,2)
\rput[bl](1.08,2.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6,-2)
\rput[bl](6.08,-1.88){\darkgray{$E$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
Les coordonnées du milieu de la diagonale [AC] sont $\left(3~;~\dfrac{3}{2}\right)$.\\
Les coordonnées du milieu de la diagonale [BD] sont $\left(3~;~\dfrac{3}{2}\right)$.\\
On trouve les même coordonnées, donc les deux diagonales ont le même milieu : ABCD est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Placer E tel que ADBE soit un parallélogramme.
Puisque ADBE est un parallélogramme, les longueurs AD et BE sont égales, de même que DB et AE. On utilise alors un compas pour construire E en reportant les deux longueurs.

\item %Démontrer que les points C, B et E sont alignés.
Puisque ABCD est un parallélogramme, les droites (AD) et (BC) sont parallèles.\\
ADBE est un parallélogramme, donc les droites (AD) et (BE) sont parallèles.\\
La droite (AD) est  parallèle aux droites (BC) et (BE) donc ces deux droites (BC) et (BE) sont \textbf{\textcolor{red}{parallèles}}. Elles ont le points B en commun, donc elles sont \textbf{\textcolor{red}{confondues}}.\\
On en déduit que les points B, C et E sont \textbf{\textcolor{red}{alignés}}.

\item %Montrer alors que B est le milieu de [CE].
On a de même $AD==BC$ et $AD=CE$ donc $BC=CE$.\\
$BC=CE$ et ces points sont alignés, donc C est le milieu de [BE].

\item %Calculer les coordonnées de E.
Les diagonales [AB] et [DE] du parallélogramme ADBE ont le même milieu, donc ont les mêmes coordonnées.\\
Pour les abscisses : $\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{x_D+x_E}{2}$ donc $\dfrac{2+5}{2}=\dfrac{1+x_E}{2}$ d'où $\dfrac{7}{2}=\dfrac{1+x_E}{2}$. On en déduit $x_E=6$.\\
Pour les ordonnées : $\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{y_D+y_E}{2}$ donc $\dfrac{-1+1}{2}=\dfrac{2+y_E}{2}$ d'où $\dfrac{0}{2}=\dfrac{2+y_E}{2}$. On en déduit $y_E=-2$.\\
E a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{E(6~;~-2)}}$.\\

\noindent On peut aussi utiliser que C est le milieu de [BE] et calculer alors les coordonnées de E à partir de celles de B et de C.\\
$x_C=\dfrac{x_B+x_E}{2}$ donc $5=\dfrac{4+x_E}{2}$ d'où \\$4+x_E=10$ et $x_E=10-4=6$.\\
$y_C=\dfrac{y_B+y_E}{2}$ donc $1=\dfrac{4+y_E}{2}$ d'où \\$4+y_E=2$ et $y_E=2-4=-2$.\\
On en déduit \fbox{\textcolor{red}{E(6~;~-2)}}.

\item %Vérifier en utilisant les coordonnées  que B est bien le milieu de [CE]
Les coordonnées du milieu de [CE] sont : \\
$\dfrac{x_C+x_E}{2}=\dfrac{4+6}{2}=5=x_B$\\
$\dfrac{y_C+y_E}{2}=\dfrac{4+(-2)}{2}=1=y_B$.\\
\fbox{\textcolor{red}{B est bien le milieu de [CE]}}.
\end{enumerate}

\end{enumerate}





\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  