\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TD 4 sur la multiplication d'un vecteur par un réel }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $[AB]$ un segment. On veut construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$.\\
Montrer que cette égalité se transforme en $\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}$.\\
Construire alors le point $D$.

\subsection{}
Dans chaque cas, montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$.
\begin{enumerate}[a)]
\item $4\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$

\item $\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$

\item $5\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CB}=7\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{AC}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$ABCD$ est un rectangle ; $I$ est le milieu de $[AB]$.
\begin{enumerate}
\item Construire le point $E$ tel que $\overrightarrow{IE}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}$.

\item $F$ est le symétrique de $E$ par rapport à $I$.\\
Exprimer $\overrightarrow{FI}$ en fonction de $\overrightarrow{IE}$ puis en fonction de $\overrightarrow{IC}$.

\item Exprimer $\overrightarrow{FB}$ à l'aide de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.

\item En déduire $\overrightarrow{FB}$ à l'aide de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

\item Montrer alors que $\overrightarrow{FB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

\item Que peut-on en déduire pour les points $F$, $D$ et $B$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centre de gravité d'un triangle}}

\begin{enumerate}
\item $[AB]$ est un segment et $I$ est son milieu.
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du vecteur $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$ ?

\item Démontrer que, pour tout point $M$, \\
$\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$.
\end{enumerate}

\item $ABC$ est un triangle quelconque. $A'$, $B'$ et $C'$ sont les milieux respectifs de $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.\\
$G$ est le point tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
\begin{enumerate}
\item En appliquant la question 1. (b), montrer que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GC'}$.

\item En déduire que $G$ appartient  la droite $\left(CC'\right)$.

\item Démontrer de faon analogue que $G$ appartient aux droites $\left(AA'\right)$ et $\left(BB'\right)$.

\item Que représentent les trois droites $\left(AA'\right)$, $\left(BB'\right)$ et $\left(CC'\right)$ pour le triangle $ABC$ ?

\item Faire une figure et placer $G$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on dit que $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\vspace{0.2cm}
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TD 4 sur la multiplication d'un vecteur par un réel }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $[AB]$ un segment. On veut construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$.\\
Montrer que cette égalité se transforme en $\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}$.\\
Construire alors le point $D$.

\subsection{}
Dans chaque cas, montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$.
\begin{enumerate}[a)]
\item $4\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$

\item $\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$

\item $5\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CB}=7\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{AC}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$ABCD$ est un rectangle ; $I$ est le milieu de $[AB]$.
\begin{enumerate}
\item Construire le point $E$ tel que $\overrightarrow{IE}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}$.

\item $F$ est le symétrique de $E$ par rapport à $I$.\\
Exprimer $\overrightarrow{FI}$ en fonction de $\overrightarrow{IE}$ puis en fonction de $\overrightarrow{IC}$.

\item Exprimer $\overrightarrow{FB}$ à l'aide de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.

\item En déduire $\overrightarrow{FB}$ à l'aide de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

\item Montrer alors que $\overrightarrow{FB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

\item Que peut-on en déduire pour les points $F$, $D$ et $B$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centre de gravité d'un triangle}}

\begin{enumerate}
\item $[AB]$ est un segment et $I$ est son milieu.
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du vecteur $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$ ?

\item Démontrer que, pour tout point $M$, \\
$\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$.
\end{enumerate}

\item $ABC$ est un triangle quelconque. $A'$, $B'$ et $C'$ sont les milieux respectifs de $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.\\
$G$ est le point tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
\begin{enumerate}
\item En appliquant la question 1. (b), montrer que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GC'}$.

\item En déduire que $G$ appartient  la droite $\left(CC'\right)$.

\item Démontrer de faon analogue que $G$ appartient aux droites $\left(AA'\right)$ et $\left(BB'\right)$.

\item Que représentent les trois droites $\left(AA'\right)$, $\left(BB'\right)$ et $\left(CC'\right)$ pour le triangle $ABC$ ?

\item Faire une figure et placer $G$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on dit que $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  