\documentclass{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
  \usetheme{Warsaw}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}


\usepackage{enumerate}
\usepackage{pgf}

\usepackage{times}

\usepackage{graphicx}

  \title{Caractérisation par les coordonnées de vecteurs colinéaires }
  \author{}
  \date{}

  \begin{document}

  \begin{frame}
  \titlepage
  \end{frame}
  \begin{frame}
\begin{block}{Propriété}
Si $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $k\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}$
\end{block}

\pause

\begin{block}{Exemple}
Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ ; alors $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}$
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}

\begin{block}{Déterminant de deux vecteurs ;
}
On considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.\\
Le déterminant de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ noté $\text{dét}\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ ou $\left|\begin{array}{cc}x&x'\\y&y'\end{array}\right|$, est le nombre défini par : 
$\text{dét}\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=\left|\begin{array}{cc}x&x'\\y&y'\end{array}\right|=xy'-yx'$ (différence des produits en croix)
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{Critère de colinéarité}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.

\item Les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

\item Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul, donc $xy'-x'y=0$

\end{enumerate}
\end{block}

\pause

\begin{block}{exemple}
Soient $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\\sqrt{6}\end{pmatrix}$.
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
$\text{dét}\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=1\times \sqrt{6}-\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$\\
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires
\end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}{Exemple}
Dans un repère orthonormé, on considère les points :\\
$A(-5~;~8)$, $B(6~;~5)$, $C(-1~;~3)$, $D(3~;~2)$ et $E(7~;~-7)$.

\begin{enumerate}
\item Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?

\item Les points $A$, $C$ et $E$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
\end{block}

\pause

\begin{block}{Solution de la question 1.}
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6-(-5\\5-8)\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}11\\-3\end{pmatrix}$\\
$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}3-(-1)\\2-3\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$
\end{block}
\pause

\begin{block}{}
$11\times (-1)-(-3)\times 4=-11+12=1\neq 0$.\\
Le déterminant des deux vecteurs n'est pas nul, donc les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont donc pas parallèles.
\end{block}
  \end{frame}


\begin{frame}
\begin{block}{Solution de la question 2.}
$A(-5~;~8)$, $C(-1~;~3)$, $E(7~;~-7)$.
$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1-(-5)\\3-8\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}$.\\
$\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}7-(-5)\\-7-8\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}12\\-15\end{pmatrix}$
\end{block}

\pause

\begin{block}{Première méthode}
$\det\left(\overrightarrow{AC}~;~\overrightarrow{AE}\right)=4\times (-15)-(-5)\times 12=-60+60=0$ ; ces deux vecteurs sont colinéaires.
\end{block}

\pause

\begin{block}{Deuxième méthode}
On a $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}12\\-15\end{pmatrix}$.\\
On remarque que $12=4\times 3$ et $-15=(-5)\times 3$ donc $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AC}$.\\
Ces deux vecteurs sont colinéaires.
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

  \end{frame}\begin{block}{Conclusion}
$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont colinéaires ; les droites $(AC)$ et $(AE)$ sont donc parallèles (même direction) et ont un point commun ; elles sont donc confondues.\\
Les points $A$, $C$ et $E$ sont donc alignés.
\end{block}
  
  \end{document}