\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{\textbf{Intervalles de }$\mathbf{\mathbb{R}}$}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents



\subsection{\textcolor{blue}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x\leq b $ est noté $[a~;~b]$.\\
On le représente sur la droite réelle de la façon suivante : \\
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline{->}(-4,0)(10,0)
\psline(0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(3.8,0.5)(4,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(3.8,-0.5)(4,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}\\

\noindent Cet ensemble est un intervalle de $\mathbb{R}$. $a$ et $b$ sont ses bornes. Cet intervalle contient ses bornes.\\
Il est limité à gauche et à droite ; on dit qu'il est borné.\\
\end{bclogo}

\bigskip
Il existe toute une collection d'intervalles. \\
%\fbox{\textbf{Feuille distribuée aux élèves}} :\\

$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Intervalle}&\text{Ensemble des réels $x$ tels que \dots}&\text{Représentation graphique}\\
\hline
[a~;~b]\text{ fermé }&a\leq x\leq b&\begin{pspicture}(-2,-0.3)(2,0.3)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.3,0.2)(-1.5,0.2)\psline(-1.5,0.2)(-1.5,-0.2)\psline(-1.3,-0.2)(-1.5,-0.2)
\psline(1.5,0.2)(1.3,0.2)\psline(1.5,0.2)(1.5,-0.2)\psline(1.5,-0.2)(1.3,-0.2)
\uput[dl](-1.5,0){a}\uput[dr](1.5,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-1.5,0)(1.5,0)
\end{pspicture}\\
\hline
[a~;~b[\text{ fermé à gauche, ouvert à droite }&a\leqslant x<b&\begin{pspicture}(-2,-0.3)(2,0.3)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.3,0.2)(-1.5,0.2)\psline(-1.5,0.2)(-1.5,-0.2)\psline(-1.3,-0.2)(-1.5,-0.2)
\psline(1.7,0.2)(1.5,0.2)\psline(1.5,0.2)(1.5,-0.2)\psline(1.7,-0.2)(1.5,-0.2)
\uput[dl](-1.5,0){a}\uput[dr](1.5,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-1.5,0)(1.5,0)
\end{pspicture}\\
\hline

]a~;~b]\text{ ouvert à gauche, fermé à droite }&a\leqslant x<b&\begin{pspicture}(-2,-0.3)(2,0.3)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.7,0.2)(-1.5,0.2)\psline(-1.5,0.2)(-1.5,-0.2)\psline(-1.7,-0.2)(-1.5,-0.2)
\psline(1.3,0.2)(1.5,0.2)\psline(1.5,0.2)(1.5,-0.2)\psline(1.3,-0.2)(1.5,-0.2)
\uput[dl](-1.5,0){a}\uput[dr](1.5,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-1.5,0)(1.5,0)
\end{pspicture}\\
\hline

]a~;~b[\text{ ouvert à gauche, ouvert à droite } &a<x<b&\begin{pspicture}(-2,-0.3)(2,0.3)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.7,0.2)(-1.5,0.2)\psline(-1.5,0.2)(-1.5,-0.2)\psline(-1.7,-0.2)(-1.5,-0.2)
\psline(1.7,0.2)(1.5,0.2)\psline(1.5,0.2)(1.5,-0.2)\psline(1.7,-0.2)(1.5,-0.2)
\uput[dl](-1.5,0){a}\uput[dr](1.5,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-1.5,0)(1.5,0)
\end{pspicture}\\
\hline
[a~;+\infty [&a\leqslant x&\begin{pspicture}(-2,-0.3)(2,0.3)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.3,0.2)(-1.5,0.2)\psline(-1.5,0.2)(-1.5,-0.2)\psline(-1.5,-0.2)(-1.3,-0.2)
\uput[dl](-1.5,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-1.5,0)(2,0)
\end{pspicture}\\
\hline
]a~;+\infty [&x>a&\begin{pspicture}(-2,-0.3)(2,0.3)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.7,0.2)(-1.5,0.2)\psline(-1.5,0.2)(-1.5,-0.2)\psline(-1.7,-0.2)(-1.5,-0.2)
\uput[dl](-1.5,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-1.5,0)(2,0)
\end{pspicture}\\
\hline
]-\infty~;~b[&x<b&\begin{pspicture}(-2,-0.3)(2,0.3)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(1.7,0.2)(1.5,0.2)\psline(1.5,0.2)(1.5,-0.2)\psline(1.7,-0.2)(1.5,-0.2)
\uput[dl](1.5,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-2,0)(1.5,0)
\end{pspicture}\\
\hline
]-\infty~;~b]&x\leq b&\begin{pspicture}(-2,-0.3)(2,0.3)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(1.3,0.2)(1.5,0.2)\psline(1.5,0.2)(1.5,-0.2)\psline(1.5,-0.2)(1.3,-0.2)
\uput[dl](1.5,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-2,0)(1.5,0)
\end{pspicture}\\
\hline
\end{array}
$\\\\
Le symbole $\infty$ , qui se lit \og infini \fg a été inventé par le mathématicien John Wallis (1616-1703). Ce n'est pas un nombre réel.\\
Du côté de l'infini, le crochet est toujours tourné vers l'extérieur.

\subsection{\textcolor{blue}{Intersection et réunion}}



\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $I$et $J$ deux intervalles.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$ est appelé l'intersection de $I$ et $J$. \\
Cet ensemble est noté $I\cap J$.
\item L'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$ est appelé la réunion de $I$ et $J$.\\
Cet ensemble est noté $I\cup J$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\


\begin{enumerate}[a)]
\item $[4~;~5]\cap [2~;~3]=\emptyset$

\item $[2~;~5]\cap [2~;~3]=[2~;~3]$

\item $[4~;~7]\cap†[6~;~8]=[6~;~7 ]$

\item $[4~;~7]\cup†[6~;~8]=[4~;~8 ]$\\

\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Des exercices sont disponibles sur le site Euler de l'académie de Versailles : voir ci-dessous :}}


\begin{enumerate}
\item Indiquer si la réunion de deux intervalles est un intervalle ou non et le préciser le cas échéant :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles6.jsp}{ici}

\item Caractériser un intervalle par des inégalités :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles1.jsp}{ici}

\item Écrire l'intervalle ensemble des solutions d'une inéquation ou d'un système d'inéquations du premier degré à une inconnue :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles2.jsp}{ici}

\item Détermination de la réunion et de l'intersection de deux intervalles :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/latex/intervalles3.jsp}{ici}

\item Caractérisation d'un intervalle par des inégalités :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/latex/intervalles1.jsp}{ici}

\item Écriture de l'intervalle ensemble des solutions d'une inéquation ou d'un système d'inéquations du premier degré à une inconnue :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/latex/intervalles2.jsp}{ici}

\item Représentation graphique de la réunion et de l'intersection de deux intervalles :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles5.jsp}{ici}

\item Caractériser des inégalités par un intervalle ou une réunion d'intervalles :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles3.jsp}{ici}

\item Rechercher les intervalles dont l'intersection est un intervalle non vide :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles8.jsp}{ici}

\item Rechercher les intervalles dont la réunion est un intervalle :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles9.jsp}{ici}

\item Indiquer si un intervalle est inclus ou non dans un autre :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles11.jsp}{ici}

\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  

\label{fin}
\end{document}  