\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Roman{section}}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{section}.\arabic{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\title{\textcolor{red}{Fonctions carré et fonction inverse}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents


\section{\textcolor{red}{Fonction carré}}

\subsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction carré la fonction $x\mapsto x^2$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Propriété}
La fonction carré $x\mapsto x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

En effet, on peut calculer $x^{2}$ pour n'importe quelle valeur de $x\in\mathbb{R}$.

\subsection{\textcolor{blue}{Parité}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction $f$ définie sur un ensemble $I$ est paire si : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère (donc, pour tout $x\in I$, $-x\in I$).

\item pour tout $x\in I$, $f(-x)=f(x)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\vspace{1cm}


\parbox{8cm}{
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conséquence graphique :}} la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.}\hfill
\parbox{12cm}{
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Illustration graphique :}}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(6,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-1)(6,6)
\psplot[plotpoints=200]{-6.0}{6.0}{5/(x^2+1)}
\rput[bl](-9,-0.22){$f$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.98,2.55)
\uput[r](0.98,2.55){\xdxdff{$M(x~;~f(x))$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-0.98,2.55)
\uput[u](-3.5,2.5){\darkgray{$M'(-x~;~f(-x)=f(x))$}}
\psline[linestyle=dashed](0.98,2.55)(-0.98,2.55)
\uput[ur](0.98;0){$x$}
\psline[linestyle=dashed](0.98,0)(0.98,2.55)
\uput[ul](-0.98;0){$-x$}
\psline[linestyle=dashed](-0.98,0)(-0.98,2.55)
\end{pspicture*}
\end{center}}

\begin{minipage}{8cm}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction carré $f:x\mapsto x^2$ est paire
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $O$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$f:x\mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textcolor{blue}{Démonstration :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $[0~;~+\infty[$ avec $0\leqslant x_1<x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=x_1^2$ et $f\left(x_2\right)=x_2^2$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=x_2^2-x_1^2=\underbrace{\left(x_2+x_1\right)}_{\geqslant 0}\times \underbrace{\left(x_2-x_1\right)}_{> 0}\geqslant 0$ donc $f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right)$.\\
En effet, $x_2+x_1\geqslant 0$ comme somme de nombres positifs et $x_2-x_1> 0$ car on a supposé $x_1<x_2$.\\
Les images sont classées dans le même ordre que les antécédents, donc $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0]$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0]$ avec $x_1<x_2\leqslant 0$.\\
On a le même calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\underbrace{\left(x_2+x_1\right)}_{\leqslant 0}\times \underbrace{\left(x_2-x_1\right)}_{> 0}\leqslant 0$ $\left(x_1+x_2\leqslant 0\right) \text{car les deux nombres sont négatifs}$.\\
Les images cette fois sont classées dans l'ordre inverse des antécédents : la fonction est décroissante.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la parité de la fonction et la symétrie de la courbe par rapport l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
\bigskip

\newpage
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&&\d&0&\c&&\\
\end{variations}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}
Pour tracer la courbe, on calcule des coordonnées de points. Comme la courbe est symétrique, on se limite à des valeurs positives et on construit les points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{l|}}\hline
x&0&\dfrac{1}{2}&1&2&3\\
\hline
f(x)=x^{2}&0&\dfrac{1}{4}&1&4&9\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

La courbe représentative de la fonction carré est appelée \textbf{\textcolor{red}{parabole}}.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(3.5,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.2,-1)(3.2,10)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3.2,-1)(3.2,10)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{3.0}{x^2}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(0.5,0.25)(1,1)(2,4)(3,9)
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Application}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} comparer les carrés des nombres suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $0,2^2$ et $0,21^2$

\item $(-2,4)^2$ et $(-2,41)^2$

\item $(-3,1)^2$ et $4,2$
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item 0,2 et 0,21 sont positifs ; sur $[0~;~+\infty[$, la fonction $f:x\mapsto x^2$ est croissante.\\
$0,2<0,21$ donc $f(0,2)<f(0,21)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{0,2^2<0,21^2}}$

\item -2,4 et -2,41 sont négatifs ; sur $]-\infty~;~0]$, $f$ est décroissante.\\
$-2,4>-2,41$ ; comme $f$ est décroissante, $f$ renverse l'ordre, donc $\boxed{\textcolor{red}{(-2,4)^2<-2,41^2}}$.

\item $(-3,1)^2=3,1^2$ donc il suffit de comparer $3,1^2$ et $4,2^2$.\\
3,1 et 4,2 sont positifs et $3,1<4,2$ ; sur $[0~;~+\infty[$, $f$ est croissante, donc $3,1^2<4,2^2$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{(-3,1)^2<4,2^2}}$
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice}} : résoudre graphiquement l'équation $x^{2}=3x+2$.\\
On pose $f(x)=x^{2}$ et $g(x)=3x+2$. 

On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les abscisses  des points d'intersection de ces deux courbes.

Puisqu'il s'agit d'une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-2)(5,16)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-1)(5,16)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-2)(5,16)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{x^2}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{3*x+2}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-0.56,0.32)
\psline[linestyle=dashed](-0.56,0.32)(-0.56,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](3.56,12.68)
\psline[linestyle=dashed](3.56,12.68)(3.56,0)
\uput[d](-0.56,0){$x_{1}$}
\uput[d](3.56,0){$x_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On trouve deux solutions : $x_{1}\approx -0,5$ et $x_{2}\approx 3,6$


\section{\textcolor{red}{Fonction inverse}}

\subsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction inverse la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Propriété}
La fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}=]-\infty~;~0[\cup]0~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\end{minipage}


\subsection{\textcolor{blue}{Parité}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Définition}
Une fonction $f$ définie sur un ensemble $I$ est impaire si : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère (donc, pour tout $x\in I$, $-x\in I$).

\item pour tout $x\in I$, $f(-x)=-f(x)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\vspace{1cm}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conséquence graphique :}} la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.\\


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Illustration graphique :}}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(5,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{x^3/10}
\psline[linestyle=dashed](2.26,1.15)(-2.26,-1.15)
\rput[bl](-3.82,-6.44){$f$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](2.26,1.15)
\rput[bl](2.34,1.28){\xdxdff{$M(x~;~f(x))$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.26,-1.15)
\uput[d](-2.18,-1.04){\xdxdff{$M'(-x~;~f(-x)=-f(x))$}}
\rput[bl](-0.16,0.3){$a$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction inverse $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est impaire
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est définie sur $\mathbb{R^*}$ et $\mathbb{R^*}$ est symétrique par rapport à $O$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R^*}$, $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$f:x\mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~+\infty[$.
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\noindent \textcolor{red}{Démonstration :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]0~;~+\infty[$ avec $0\leqslant x_1<x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_{1}}$ et $f\left(x_2\right)=\dfrac{1}{x_{2}}$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ; $x_1x_2>0$ comme produit de nombres positifs.
Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $]0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0[$ avec $\leqslant x_1<x_2<0$.\\
On a le mÍme calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ; $x_1x_2>0$ comme produit de nombres négatifs.
Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $]-\infty~;~0[$.\\


\noindent Remarque : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la  symétrie de la courbe par rapport à $O$.
\end{enumerate}

\
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}\\
0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&\h{0}&\d&\bb&\d&&0\\
\end{variations}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Pour tracer la courbe, on  trace la partie correspondant à des abscisses positives en calculant les coordonnées de quelques points.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{2}$&1&2&4\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$&4&2&1&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{4}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée \textbf{\textcolor{red}{hyperbole}}. Elle est constituée de deux branches.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-5)(3,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.1}{3}{1/x}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}



\end{multicols}
\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{Application}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} comparer les  nombres suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\dfrac{1}{0,2}$ et $\dfrac{1}{0,3}$

\item $-\dfrac{1}{2,4}$ et $-\dfrac{1}{2,5}$

\item $-\dfrac{1}{3,1}$ et $\dfrac{1}{4,2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item 0,2 et 0,3 sont positifs ; sur $]0~;~+\infty[$, la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante.\\
$0,2<0,3$ donc $f(0,2)>f(0,3)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{0,2}>\dfrac{1}{0,3}}}$

\item -2,4 et -2,5 sont négatifs ; sur $]-\infty~;~0[$, $f$ est décroissante.\\
$-2,4>-2,5$ ; comme $f$ est décroissante, $f$ renverse l'ordre, donc $\boxed{\textcolor{red}{(-\dfrac{1}{2,4})<-\dfrac{1}{2,5}}}$.

\item $-3,1<0$ et $4,2>0$ donc $-\dfrac{1}{3,1}<0$ et $\dfrac{1}{4,2}>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3,1}<\dfrac{1}{4,2}}}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2 ne sont par dans les mêmes intervalles définition de la fonction inverse.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}
