\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 1}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
Pour la représentation graphique, tout le monde n'a pas la même convention, puisque certains hachurent la partie solution et d'autres les parties non-solutions.\\
Il faut préciser les conventions que vous utilisez !
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Inégalités &Phrase& Appartenance à un ensemble& Représentation graphique\\
\hline
$x < 3$& $x$ est strictement inférieur à 3&$x\in]-\infty~;~3[$&	\\
\hline
$2 < x <7$&$x$ est strictement supérieur à -2 et strictement inférieur à 7&$x\in]-2~;~7[$&\\
\hline
$x <-3$ ou $x > 6$&$x$ strictement inférieur à -3 ou $x$ est strictement supérieur à 6&$x\in] -\infty; -3[\cup]6 ; +\infty[$&\\
\hline
$x\leqslant  -1$ ou $x > 0$&$x$ est inférieur ou égal à -1 ou $x$ est strictement supérieur à 0&$x \in] -\infty~;~ -1][\cup]0~;~ +\infty[$&si on prend comme convention que les parties hachurées  sont  solutions\\
\hline
$-5\leqslant  x <1$&$x$ est supérieur ou égal à -5 et $x$ strictement inférieur à 1&$x \in [-5~;~1[$&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}

\begin{enumerate}
\item  Les coordonnées des points A; B et C sont A(1~;~3) , B(5~;~1) et C(4~;~9).

\item On est dans un repère orthonormé donc :\\
$\text{AB} =\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} =\sqrt{(5 - 1)^2 + (1 - 3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{20}}}$.\\
De même :  $BC =\sqrt{(4 - 5)^2 + (9 - 1)^2} =\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{65}}}$.\\
$\text{AC} =\sqrt{(4 - 1)2 + (9 - 3)2 }=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{45}}}$.

\item Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [BC].\\
D'une part $\text{BC}^2 = 65$,\\
d'autre part $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 20 + 45 = 65$\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2}}$ donc, d'après la \textbf{réciproque du théorème de Pythagore}, le triangle ABC est rectangle en A.
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Figure}} :
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(8,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-1)(8,5)

\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-1)(8,5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20,opacity=0.1](1,3)(3,4)(5,2)(3,1)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=yellow!20,opacity=0.1](1,3)(5,2)(7,0)(3,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,3)(3,4)
\psline[linecolor=zzttqq](3,4)(5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](5,2)(3,1)
\psline[linecolor=zzttqq](3,1)(1,3)
\psline(1,3)(-1,2)
\psline(1,3)(5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1,3)(5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](5,2)(7,0)
\psline[linecolor=zzttqq](7,0)(3,1)
\psline[linecolor=zzttqq](3,1)(1,3)
\psdots[linecolor=blue](1,3)
\rput[bl](1.08,3.11){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](3,4)
\rput[bl](3.07,4.11){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](5,2)
\rput[bl](5.06,2.12){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](3,1)
\rput[bl](3.07,1.1){\blue{$D$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-1,2)
\rput[bl](-0.93,2.12){\darkgray{$E$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7,0)
\rput[bl](7.07,0.11){\darkgray{$F$}}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Soit M le milieu de [AC] ; $\text{M}\left(\dfrac{x_\text{A} + x_\text{C}}{2}~;~\dfrac{y_\text{A} + y_\text{C}}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{M}\left(3~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.\\
Soit N le milieu de [BD], on obtient de même : $N\left(\dfrac{3+3}{2}~;~\dfrac{4+1}{2}\right)$ soit $\boxed{\textcolor{red}{\text{N}\left(3~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.

\item Ainsi M  = N (puisqu'ils ont les mêmes coordonnées) donc les diagonales du quadrilatère ABCD se croisent en leur milieu. On en déduit que 
ABCD est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\item Soit $E(x_\text{E}~;~y_\text{E}),$ ; par définition de E, A est le milieu de [EB]. On en déduit que : \\
$\left(\dfrac{x_\text{E}+3}{2}\dfrac{y_\text{E}+4}{2}\right)=(1~;~3)$  d'où $\boxed{\textcolor{red}{x_\text{E}=-1\text{ et }y_\text{E}=2}}$.\\
E a pour coordonnées $\left(-1~;~2\right).$

\item Pour que ACFD soit un parallélogramme, il faut que [AC] et [FD] aient le même milieu.\\
Notons $x_\text{F}$ et $y_\text{F}$ les coordonnées de F.\\
On doit avoir $\dfrac{1+x_\text{F}}{2}=\dfrac{3+5}{2}$ d'où $1+x_\text{F}=8$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x_F=7}}$.\\
De même : $\dfrac{3+y_\text{F}}{2}=\dfrac{1+2}{2}$ donc $3+y_\text{G}=3$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{y_\text{F}=0}}$.\\
Le point F a pour coordonnées (7~;~0).

\item $\boxed{\textcolor{red}{\text{CE}=6}}$ (évident puisque les deux points ont la même pardonnée) et $\text{CF}=\sqrt{(7-5)^2+(0-2)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{8}}}$.\\
$\text{CE}\neq \text{CF}$ donc \textbf{C n'appartient pas à la médiatrice de [EF]}.
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}
\begin{enumerate}
\item $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}_f = [-4~;~5]}}$.

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-4) = 4}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{ f(-2) = 1,7}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(0) = 1}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(2) = 4}}$.

\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les antécédents de 3 sont -3~;~ 6~;~ -1 ; 1,4 et 4.

\item Les antécédents de 1 sont 0 et 4,7.

\item -2 n'a pas d'antécédent.

\end{enumerate}

\item $f$ est décroissante sur [-4~;~-2; 5], sur [-1~;~0] et sur [2~;~5] : $f$ est croissante sur [-2,5~;~-1] et sur [0~;~2].
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 5}}

\begin{enumerate}
\item $f(0) = -2\times  0 + 3 = \boxed{\textcolor{red}{3}}$ ; $f(1) = -2\times   1 + 3 = \boxed{\textcolor{red}{1}}$ ;  $f(-1) = -2\times   (-1) + 3 = \boxed{\textcolor{red}{5}}$ ; $f\left(\dfrac{1}{3}\right) = -2\times \dfrac{1}{3}+3=+\dfrac{2}{3}+\dfrac{9}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{3}}}$

\item $g(2) = 2^2 - 3\times   2 + 2 = 0$ ; $g(-3) = (-3)^2 - 3\times   (-3) + 2 =9+9+2= \boxed{\textcolor{red}{20}}$\\
$g\left(\sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{2}^2\right)-3\times \sqrt{2}+2=2-3\sqrt{2}+2=\boxed{\textcolor{red}{4-3\sqrt{2}}}$~;~$g\left(\dfrac{2}{3}\right)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-3\times \dfrac{2}{3}+2=\dfrac{4}{9}=2+2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{9}}}$\\
car $3\times \dfrac{2}{3}=2$ en simplifiant par 3
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 6}}
\textbf{\textcolor{blue}{Calcul d'antécédents} }:

  \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $h(x) = 7\Leftrightarrow  x^2 + 3 = 7\Leftrightarrow  x^2 = 4\Leftrightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow (x+2)(x-2)=0\Leftrightarrow x = -2\text{ ou }x=2$.\\
\textcolor{red}{Les antécédents de 7 par $h$ sont -2 et 2.}

\item $  h(x) = 3\Leftrightarrow  x^2 + 3 = 3\Leftrightarrow  x^2 = 0\Leftrightarrow  x = 0$.\\
\textcolor{red}{L'antécédent de 3 par $h$ est 0}.

\item   $h(x) = 1\Leftrightarrow  x^2 + 3 = 1\Leftrightarrow  x^2 = -2$ ; impossible car $-2$ est strictement négatif.\\
\textcolor{red}{1 n'a pas d'antécédent par $h$}.

\item  $ h(x) = 5\Leftrightarrow x^2 + 3 = 5\Leftrightarrow  x^2 = 2\Leftrightarrow x^2-\sqrt{2}^2=0\Leftrightarrow  x =-\sqrt{2}\text{ ou }x=\sqrt{2}$?\\
\textcolor{red}{Les antécédents de 5 par $h$ sont $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$}.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 7}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{A(x) = -2x2 + 6x}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{B(x) = 4x^2 + \dfrac{x}{2}- 1}}$

\item $ C(x) = -6x + 4x^2 + 15 - 10x$ donc $\boxed{\textcolor{red}{C(x)=4x^2 - 16x + 15}}
$
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 8}}

\begin{enumerate}
\item Figure :
 \begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(14,6)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(13,6)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!10,opacity=0.1](0,0)(12,0)(0,5)
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{13.0}{0}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(12,0)
\psline[linecolor=zzttqq](12,0)(0,5)
\psline[linecolor=zzttqq](0,5)(0,0)
\psplot{-1}{13}{(-18.24--5*x)/-12}
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$M$}}
\psdots[linecolor=blue](0,5)
\rput[bl](0.08,5.12){\blue{$P$}}
%\rput[bl](-4.2,-0.3){$f$}
\psdots[linecolor=blue](12,0)
\rput[bl](12.08,0.12){\blue{$N$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](0,1.52)
\rput[bl](0.08,1.64){\xdxdff{$A$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.65,0)
\rput[bl](3.72,0.12){\darkgray{$B$}}
\uput[u](6,2.5){13}
\uput[l](0.2,0.75){$x$}
\psline{<->}(0,-0.5)(12,-0.5)
\uput[d](6,-0.5){12}
\psline{<->}(-0.5,0)(-0.5,5)
\uput[l](-0.5,3){5}

\end{pspicture*}
\end{center}


\item 
 Dans le triangle rectangle en M, on applique le théorème de Pythagore : $\text{MN}^2 +\text{MP}^2 = \text{NP}^2$ donc $\text{MN}^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ ; comme MN est un nombre positif, on a $\text{MN}=\sqrt{144}=12$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\text{MN}=12}}$?

\item 
\begin{enumerate}
\item  $x$ est une longueur donc $x$ est positif et $\text{A} \in [\text{MP}]$ donc $x  \in MP$ soit $\boxed{\textcolor{red}{x \in [0~;~5]}}$.

\item Les triangles MAB et MPN sont formés par des droites parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :\\
$\dfrac{\text{MB}}{\text{MN}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{NP}}=\dfrac{\text{AM}}{\text{MP}}$ donc : $\dfrac{\text{MB}}{12}=\dfrac{\text{AB}}{13}=\dfrac{\text{x}}{5}$.\\
On obtient ainsi, $\boxed{\textcolor{red}{AB =\dfrac{13x}{5}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\text{MB} =\dfrac{12x}{5}}}$.
\end{enumerate}


\item Le périmètre de AMP est : $\mathscr{P}(AMP) = AM +MB + BA = x +\dfrac{12x}{5}+\dfrac{13x}{5}= 6x$.

\item Le périmètre de ABNP est : $\mathscr{P}(ABNP) = AP +PN +NB +BA = (5-x)+13+\left(12-\dfrac{12x}{5}\right)+\dfrac{13x}{5}= 30-x+\dfrac{x}{5}\\
=\boxed{\textcolor{red}{ 30-\dfrac{4x}{5}}}$

\item $\mathscr{P(}PAMP) = \mathscr{P}(ABNP) \Leftrightarrow  6x = 30 -\dfrac{4x}{5}\Leftrightarrow 30x=150-4x\Leftrightarrow 34x=150\Leftrightarrow x=\dfrac{150}{34}=\dfrac{75}{17}\in[0~;~5]$.\\
Donc les deux périmètres sont égaux pour $\boxed{\textcolor{red}{x =\dfrac{150}{34}}}$.
.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  