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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
%Développer, réduire et ordonner chacune des expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A(x)=$]
\item $(2x+3)^{2}=(2x)^{2}+2\times 2x\times 3+3^{2}=\boxed{\textcolor{red}{4x^{2}+12x+9}}$.

\item $(5x-7)^{2}=(5x)^{2}-2\times 5x\times 7+7^{2}=\boxed{\textcolor{red}{25x^{2}-70x+49}}$.

\item $(4x+3)(7x+2)+(5x+2)(3x+8)\\
=\left[28x^{2}+8x+21x+6\right]+\left[15x^{2}+40x+6x+16\right]\\
=\left[28x^{2}+29x+6\right]+\left[15x^{2}+46x16\right]\\=\boxed{\textcolor{red}{43x^{2}+75x+22}}$

\item $(3x+7)(2x-3)-(3x+5)(9x-4)\\
=\left[6x^{2}-9x+14x-21\right]-\left[27x^{2}-12x+45x-20\right]\\
=\left[6x^{2}+5x-21\right]-\left[27x^{2}+33x-20\right]\\=6x^{2}+5x-21-27x^{2}-33x+20\\
=\boxed{\textcolor{red}{-21x^{2}-28x-1}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}
%Après voir donné les valeurs interdites, mettre les expressions suivantes au même dénominateur, puis développer les dénominateurs et les réduire.

\noindent $A(x)=7+\dfrac{3}{x-5}$ ; la valeur interdite est 5, car $x-5=0$ pour $x=5$.\\
Pour $x\neq 5$, $A(x)=7+\dfrac{3}{x-5}=\dfrac{7(x-5)+3}{x-5}=\dfrac{7x-35+3}{x-5}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7x-32}{x-5}}}$\\

\bigskip
\noindent $B(x)=\dfrac{2x+3}{x-4}-\dfrac{7x+1}{2x+3}$.\\
$x-4=0$ donne $x=4$.\\
$2x+3=0$ donne $x=-\dfrac{3}{2}$.\\
Les valeurs interdites sont $-\dfrac{3}{2}$ et 4 ; l'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{2}~;~4\right\}$.\\
Pour $x\in\mathscr{D}$, $B(x)=\dfrac{2x+3}{x-4}-\dfrac{7x+1}{2x+3}\\
=\dfrac{[2x+3](2x+3)-(7x+1)(x-4)}{(x-4)(2x+3)}\\
=\dfrac{4x^{2}+12x+9-\left(7x^{2}-28x+x-4\right)}{(x-4)(2x+3)}\\
=\dfrac{4x^{2}+12x+9-7x^{2}+27x+4}{(x-4)(2x+3)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-3x^{2}+39x+13}{(x-4)(2x+3)}}}$


\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Ci-dessous se trouve la courbe représentative $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$. (les points marqués sont à coordonnées entières)
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-3,2)(-2.5,3)(-2,1)(-1.5,0)(-1,-1)(0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(3.5,-2)(4,-1)
\uput[ul](0,0){0}
\psdots(-3,2)(-2.5,3)(-2,1)(-1.5,0)(-1,-1)(0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(3.5,-2)(4,-1)
\uput[u](-2.5,3){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item %Sur quel intervalle $f$ est-elle définie ?
$f$ est définie sur $[-3~;~4]$.

\item %Quelles sont les images par $f$ de -3 ? de -2 ? de 1 ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-3)=\overrightarrow{}$

\item $f(-2)=\overrightarrow{}$

\item $f(1)=\overrightarrow{}$
\end{enumerate}

\item %Quels sont le ou les antécédents par $f$  de 3 ? de 0 ?  de -3 ? de -1 ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'antécédent de 3 par $f$ est \textcolor{red}{-2,5}.

\item Les antécédents de 0 par $f$ sont\textcolor{red}{ -1,5, -9,5, 1  et 3}.

\item \textcolor{red}{-3 n'a pas d'antécédent}.

\item Les antécédents de -1 sont \textcolor{red}{-1 et environ 3,2}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Soit la fonction $f:x\mapsto 2x^2+3$ définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les images par $f$ des nombres 0~;~2~;~-5~;~$\sqrt{3}$ et $2-\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\item $f(2)=2\times 2^{2}+3=2\times 4+3=\boxed{\textcolor{red}{11}}$

\item $f(-5)=2\times (-5)^{2}+3=2\times 25+3=\boxed{\textcolor{red}{53}}$

\item $f\left(\sqrt{3}\right)=2\times \sqrt{3}^{2}+3=2\times 3+3=\boxed{\textcolor{red}{9}}$.

\item $f(2-\sqrt{3})=2\times (2-\sqrt{3})^{2}+3=2\left(4-4\sqrt{3}+3\right)+3=2\left(7-4\sqrt{3}\right)+3=\boxed{\textcolor{red}{17-8\sqrt{3}}}$
\end{enumerate}

\item %Déterminer l'antécédent ou les antécédents éventuel(s) par $f$ de 21, de 3, de 7 et de 0.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Antécédents de 21} :\\
On résout $f(x)=21$ donc $2x^{2}+3=21$ qui donne $2x^{2}=18$ donc $x^{2}=9$ qui a pour solutions -3 et 3.\\
\fbox{\textcolor{red}{Les antécédents de 21 sont -3 et 3}}.

\item \textbf{Antécédents de 3} :\\
$f(x)=3$ donne $2x^{2}+3=3$ donc $2x^{2}=0$ qui a pour solution $x=0$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'antécédent de 3 par $f$ est 0}}.

\item \textbf{Antécédents de 7 }:\\
$f(x)=7$ s'écrit $2x^{2}+3=7$ d'où $2x^{2}=4$, soit $x^{2}=2$ qui a pour solutions $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$..\\
\fbox{\textcolor{red}{Les antécédents de 7 par $f$ sont $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$}}.

\item \textbf{Antécédents de 0 }:\\
$f(x)=0$ s'écrit $2x^{2}+3=0$ donc $2x^{2}=-3$ qui n'a pas de solutions car $2x^{2}\geqslant 0$ et $-3<0$.\\
\fbox{\textcolor{red}{0 n'a pas d'antécédent par $f$}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  