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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle}}\end{center}


%
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Dans un repère orthonormé (0~;~I~;~J), on considère les points $A(2~;~1)$, $B\left(7~;~-\dfrac{5}{3}\right)$ et $C(9~;~-1)$.
Soient les points $A(2~;~1)$, $B\left(7~;~-\dfrac{5}{3}\right)$ et $C(9~;~-1)$.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(10,3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-2)(10,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2)(10,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!15,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,1)(7,-1.67)(9,-1)(4,1.67)
\psline[linecolor=zzttqq](2,1)(7,-1.67)
\psline[linecolor=zzttqq](7,-1.67)(9,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](9,-1)(4,1.67)
\psline[linecolor=zzttqq](4,1.67)(2,1)
\psline(2,1)(9,-1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,1)
\rput[bl](2.08,1.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-1.67)
\rput[bl](7.08,-1.54){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9,-1)
\rput[bl](9.08,-0.88){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4,1.67)
\rput[bl](4.08,1.78){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.5,0)
\rput[bl](5.58,0.12){\darkgray{$M$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %On appelle M le milieu de [AC] ; calculer les coordonnées de M.
Soit M le milieu de [AC].\\
$x_{\text{M}}=\dfrac{x_{\text{A}}+x_{\text{C}}}{2}=\dfrac{2+9}{2}=\dfrac{11}{2}$ et \\
$y_{\text{M}}=\dfrac{y_{\text{A}}+y_{\text{C}}}{2}=\dfrac{1+(-1)}{2}=0$.\\
M a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\text{M}\left(\dfrac{11}{2}~;~0\right)}}$.

\item %En déduire les coordonnées $x_{\text{D}}$ et $y_{\text{D}}$ du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, ses diagonales se coupent en leur milieu, donc si, et seulement si,  M est aussi le milieu de [BD].\\
On doit avoir $x_{\text{M}}=\dfrac{11}2{=\dfrac{7+x_{\text{D}}}{2}}$ donc $7+x_{\text{D}}=11$ d'où $x_{\text{D}}=11-7=4.$\\
De même : $y_{\text{M}}=\dfrac{y_{\text{B}}+y_{\text{D}}}{2}$ donc $0=\dfrac{-\dfrac{5}{3}+y_{\text{D}}}{2}$ ; on en déduit que $y_{\text{D}}=\dfrac{5}{3}$.\\
Le point D a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D\left(4~;~\dfrac{5}{3}\right)}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Dans un repère orthonormé (0~;~I~;~J), on considère le point A(2~;~1).\\
%Le point B(3~;~7) appartient-il au cercle de centre A et de rayon 6 ?
La distance AB vaut :\\
$\text{AB}=\sqrt{\left(x_{\text{B}}-x_{\text{A}}^{2}\right)+\left(y_{\text{B}}-y_{\text{A}}\right)^{2}}=\sqrt{(3-2)^{2}+(7-1)^{2}}\\
=\sqrt{1+36}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{37}>6}}$.\\
Le point B est à \textbf{l'extérieur} du cercle de centre A et de rayon 6.
\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Dans un repère orthonormé (0~;~I~;~J), placer les points $\text{N}(2~;~0)$, $\text{E}(0~;~3)$ et $\text{T}(-3~;~1)$.
On considère les points $\text{N}(2~;~0)$, $\text{E}(0~;~3)$ et $\text{T}(-3~;~1)$.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(3,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-1)(3,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-1)(3,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,0)(0,3)(-3,1)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(0,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(-3,1)
\psline[linecolor=zzttqq](-3,1)(2,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,0)
\rput[bl](2.08,0.12){\blue{$N$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,1)
\rput[bl](-2.92,1.12){\blue{$T$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Calculer les longueurs NE, ET et NT.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $NE=\sqrt{(0-2)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{4+9}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$.

\item $ET=\sqrt{(-3-0)^{2}+(1-3)^{2}}=\sqrt{9+4}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$.

\item $NT=\sqrt{(-3-2)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$.
\end{enumerate}

\item %En déduire la nature du triangle NET.
$\text{NE}=\text{ET}$ donc le triangle NET est isocèle en E.\\
$\text{NT}^{2}=26$ ; $\text{NE}^{2}+\text{ET}^{2}=13+13=26$ donc $\text{NT}^{2}=\text{NE}^{2}+\text{ET}^{2}$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle NET est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en E.\\
Il est donc \textbf{\textcolor{red}{isocèle rectangle}} en E.


\end{enumerate}

%\columnbreak
\subsection{}
Dans un repère orthonormé (0~;~I~;~J), on considère les points $\text{K}(-2~;~2)$, $\text{L}(4~;~-3)$, $\text{M}(5~;~0)$ et $\text{N}(-3~;~-1)$.

\begin{enumerate}
\item %Faire une figure.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(6,3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-4)(6,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2,2)(-3,-1)(4,-3)(5,0)
\psline[linecolor=zzttqq](-2,2)(-3,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](-3,-1)(4,-3)
\psline[linecolor=zzttqq](4,-3)(5,0)
\psline[linecolor=zzttqq](5,0)(-2,2)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,2)
\rput[bl](-1.92,2.12){\blue{$K$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4,-3)
\rput[bl](4.08,-2.88){\blue{$L$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,0)
\rput[bl](5.08,0.12){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,-1)
\rput[bl](-2.92,-0.88){\blue{$N$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Montrer que KNLM est un parallélogramme.
Soit P le milieu de [KL] ;; $x_{P}=\dfrac{x_{K}+x_{L}}{2}=1$ : $y_{P}=\dfrac{y_{K}+y_{L}}{2}=-\dfrac{1}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{P\left(1~;~-\dfrac{1}{2}\right)}}$.\\
Soit Q le milieu de [NM] ;; $x_{Q}=\dfrac{x_{N}+x_{M}}{2}=1$ : $y_{Q}=\dfrac{y_{N}+y_{M}}{2}=-\dfrac{1}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{Q\left(1~;~-\dfrac{1}{2}\right)}}$.\\
P et Q ont les même coordonnées donc P=Q ; les diagonales [KL] et [NP] du quadrilatère KNLM se coupent en leur milieu, donc KNLM est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\item %Calculer les longueurs KL et NM.
$KL=\sqrt{(4-(-2))^{2}+(-3-2)^{2}}=\sqrt{36+25}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{61}}}$.\\
$NM=\sqrt{(5-(-3))^{2}+(0-(-1))^{2}}=\sqrt{64+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{65}}}$

\item %Ce parallélogramme est-il un rectangle ; expliquer.
Les diagonales de ce parallélogramme n'ont pas la même longueur, donc \textbf{ce n'est pas un rectangle}.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Brevet, Asie juin 2003}}
\begin{enumerate}
\item %Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 6 cm et BC=10 cm.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(7,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-1)(7,9)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(7,9)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(0,8)(6,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.42,0)(0.42,0.42)(0,0.42)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(0,8)
\psline[linecolor=zzttqq](0,8)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(0,0)
\psline(0,0)(3,4)
\psline(1.8,-1)(1.8,9)
\psline(3,4)(6,0)
\psplot{-3}{7}{(--5.76-0*x)/2.4}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[dl](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,8)
\rput[bl](0.08,8.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,0)
\rput[bl](6.08,0.12){\blue{$C$}}

\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.8,2.4)
\rput[bl](1.88,2.52){\darkgray{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.8,5.6)
\rput[bl](1.88,5.72){\darkgray{$P$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.2,2.4)
\rput[bl](4.28,2.52){\darkgray{$N$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Calculer AC.
$ABC$ est un triangle rectangle en A. On applique le théorème de Pythagore : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ donc $AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{BC}=\sqrt{64}=8}}$.
\item
\begin{enumerate}
\item %Placer le point I milieu du segment [BC] puis tracer la médiane (AI) du triangle ABC.
Voir figure
\item %Montrer que IA = 5 cm.
ABC est un triangle rectangle ; le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, donc I ; le rayon de de ce cercle est donc $\text{IA}=\dfrac{\text{BC}}{2}=5$ donc $\text{IA}=\text{IB}=\text{IC}=5$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item %Placer le point M sur le segment [AI] tel que IM = 2 cm.
Voir figure.
\item %Tracer la parallèle \`a (AB) passant par M et le point P en lequel elle coupe [BC].
Voir figure.
\item %Calculer IP.
Les triangles IPM et IBA sont formés par des droites parallèles et ont un point commun.\\
On applique le théorème de Thalès :\\
$\dfrac{\text{IP}}{\text{IA}}=\dfrac{\text{IM}}{\text{IA}}$ donc $\dfrac{\text{IP}}{5}=\dfrac{2}{5}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{IP=2}}$.

\end{enumerate}

\item \textbf{Question facultative}
\begin{enumerate}
\item %Placer sur le segment [IC] le point N tel que IN = 2 cm puis tracer la droite (MN).
Voir figure
\item %Démontrer que (MN) et (AC) sont parallèles.
I, M et A sont alignés ; I, N et C sont alignés dans le même ordre.\\
$\dfrac{\text{IM}}{\text{IA}}=\dfrac{2}{5}$ ; $\dfrac{\text{IN}}{\text{IC}}=\dfrac{2}{5}$ donc $\dfrac{\text{IM}}{\text{IA}}=\dfrac{\text{IN}}{\text{IC}}$.\\
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AC) sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  