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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : correction du contrôle (factorisations-équations)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\noindent Factoriser les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A(x)$ = ]
\item $ \textcolor{red}{(x + 1)} (x + 2) + 3 \textcolor{red}{(x + 1)}=(x+1)\left[(x+2)+3\right]\\
=\boxed{\textcolor{red}{(x+1)(x+5)}}$

\bigskip

\item $(x - 3) (x + 1) + 2x - 6=\textcolor{red}{(x - 3) }(x + 1) +2\textcolor{red}{(x-3)}\\
=(x-3)\left[(x+1)+2\right]=\boxed{\textcolor{red}{(x-3)(x+3)}}$

\bigskip


\item $(3x+7)^2-(2x+1)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$\\
avec $a=(3x+7)$ et $b=(2x+1)$\\
$=\left[(3x+7)+(2x+1)\right]\left[(3x+7)-(2x+1)\right]\\
=(3x+7+2x+1)(3x+7-2x-1)\\
=\boxed{\textcolor{red}{(5x+8)(x+6)}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
\noindent Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\dfrac{2x+1}{x-1}=0$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Ensemble de définition}} : $x-1=0\Leftrightarrow x=1$, donc l'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.\\
On suppose que $x\neq 1$.\\
Alors  $\dfrac{2x+1}{x-1}=0\Leftrightarrow 2x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\in\mathscr{D}$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}}}$.

\bigskip

\item $(2x+3)^2=49$\\
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$.\\
$(2x+3)^2=49\Leftrightarrow (2x+3)^2-49=0\Leftrightarrow (2x+3)^2-7^2=0\\
\Leftrightarrow [(2x+3)+7][(2x+3)-7]=0\Leftrightarrow (2x+10)(2x-4)=0\\
\Leftrightarrow 2(x-5)\times 2(x-2)=0\Leftrightarrow 4(x+5)(x-2)=0\Leftrightarrow (x+5)(x-2)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x+5=0\Leftrightarrow x=-5$

\item $x-2=0\Leftrightarrow x=2$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5~;~2\}}}$
\bigskip


\item $\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}=0$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Ensemble de définition}} : il faut que les deux fractions soient définies, donc que les deux dénominateurs ne s'annulent pas, donc que $x\neq -1$ ou que $x\neq 1$.\\
$\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1~;~1\}$.\\
Pour $x\in\mathscr{D}$, on a:\\
$\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}=0\Leftrightarrow \dfrac{3(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0\\
\Leftrightarrow 3(x+1)-2(x-1)=0\Leftrightarrow 3x+3-2x+2=0\Leftrightarrow x+5=0\\
\Leftrightarrow x=-5\in\mathscr{D}$.\\
L'emsemble des solutions de cette équation est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5\}}}$.
\end{enumerate}



\subsection{}
%Un lycée a acheté 25 exemplaires d'un livre. Pour le même montant, un autre collège achète le même livre 2 € de moins, ce qui lui permet d'en acheter 5 de plus. Quel est le prix d'un livre acheté par le premier établissement ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Notons $x$ le prix d'un livre en euros.

\item La dépense pour le premier établissement est $25x$.\\
Pour le deuxième établissement, cette dépense est 30(x-2).

\item \textbf{\textcolor{blue}{Mise en équation}} : Les deux dépenses sont égales, donc, on doit avoir : \\
$25x=30(x-2)$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Résolution}} : $25x=30(x-2)\Leftrightarrow 25x=30x-60\Leftrightarrow -5x=-60\\
\Leftrightarrow x=\dfrac{-60}{-5}=12$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : dans le premier établissement, le prix de chaque  livre est de 12 euros.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Est-il possible d'ajouter un même entier naturel au numérateur et au dénominateur de $\dfrac{2}{7}$ pour obtenir le double de ce nombre rationnel ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $x$ le nombre cherché.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Mise en équation}} : on doit avoir $\dfrac{2+x}{7+x}=2\times \dfrac{2}{7}$ donc $\dfrac{2+x}{7+x}=\dfrac{4}{7}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Résolution}} : on doit avoir $x\neq -7$.\\
Pour $x\neq -7$, l'équation donne : $7(2+x)=4(7+x)\\
\Leftrightarrow 14+7x=28+4x\Leftrightarrow 7x-4x=28-14\Leftrightarrow 3x=14\Leftrightarrow x=\dfrac{14}{3}$.\\
Ce nombre n'est \textbf{\textcolor{blue}{pas un entier}}.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : on ne peut pas trouver d'entier qui, ajouté au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{2}{7}$,  donne le double de ce nombre.rationnel.\end{enumerate}

\subsection{}
%Un carré est tel que si l'on augmente la mesure de son côté de 3 cm, alors son aire augmente de 21 cm$^2$. Quelle est la mesure du côté de ce carré ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $x$ la longueur d'un côté du carré initial.

\item L'aire du  carré initial vaut $x^2$.

\item On augmente la longueur de 3, donc le nouveau carré a un côté mesurant $x+3$ ; son aire vaut $(x+3)^2$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Mise en équation}} : $(x+3)^2=x^2+21$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Résolution}} : en développant, on obtient : $x^2+6x+9=x^2+21$, d'où $6x+9=21$.\\
On en déduit $6x=12$, soit $x=\dfrac{12}{6}=2$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : le côté du carré initial mesure 2.
\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^3-24x^2+36x$.
\begin{enumerate}
\item Factorisons $f(x)$.\\
On remarque d'abord un facteur commun qui est $4x$.\\
$f(x)=4x\left(x^2-6x+9\right)$.\\
On remarque alors que $x^2-6x+9$ est une identité remarquable.\\
Alors : $f(x)=4x\left(x^2-2\times x\times 3+3^2\right)=\boxed{\textcolor{red}{4x(x-3)^2}}$.

\item %En déduire les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de $f$ avec l'axe des abscisses.
Les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de $f$ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $f(x)=0$.\\
$f(x)=0\Leftrightarrow 4x(x-3)^2=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Premier cas}} : $4x=0$ donc $x=0$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas}} : $(x-3)^2=0$ d'où $x=3$.\\
Les points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des abscisses ont pour abscisses  0 et 3.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\newpage
\normalsize
Pour information, voilà la courbe obtenue avec un logiciel :
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-25)(6,40)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-20)(6,40)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-20)(6,40)

\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-2.0}{6.0}{4*x^3-24*x^2+36*x}
\uput[r](4,15){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}



\label{fin}
\end{document}  