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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle sur les vecteurs (1 heure)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On considère  ABC le triangle représenté ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item %Construire sur la figure le point D, image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.
D est l'image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$. (voir figure ci-dessous)

\item %Construire le point E, image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.
E est l'image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$. (voir figure ci-dessous)
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture*}(-4.5,-3)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(8,7)
\psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=x,dotscale=3,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-3)(8,7)
\begin{scriptsize}
\psdots[linecolor=blue](1,2)
\rput[bl](1.08,2.13){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5,1)
\rput[bl](5.07,1.13){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](2,5)
\rput[bl](2.08,5.12){\blue{$C$}}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=red](6,4)
\rput[bl](6.08,4.14){\darkgray{$D$}}
\psdots[linecolor=red](-2,6)
\rput[bl](-1.91,6.12){\darkgray{$E$}}
\psline{->}(1,2)(2,5)
\psline{->}(5,1)(1,2)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Sur la figure ci-dessous, on a représenté un triangle ABC.
% Construire  les points M, N, P, Q définis par :
%Les points M, N, P, Q sont définis par :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item M est défini par $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ par la relation de Chasles, donc M=C.

\item N est défini par : $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
[AN] est donc la diagonale du parallélogramme construit sur les deux côtés consécutifs [AB] et [AC].

\item P est défini par : $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$.

\noindent Soit P le point tel que $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{CB}$ (donc P est le symétrique de  C par rapport à B).\\
Alors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}$ (d'après la relation de Chasles).

\item Q est défini par : $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$.

\noindent $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$ (d'après la relation de Chasles).

\noindent On doit avoir $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{CB}$
\end{enumerate}
%Justifier chaque construction.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1.1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-5.5)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-5)(5,4)
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1.1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-5)(5,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,1)(3,0)(1.86,2.98)
\uput[dl](0,0){O}

\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(3,0)
\psline[linecolor=zzttqq](3,0)(1.86,2.98)
\psline[linecolor=zzttqq](1.86,2.98)(1,1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](1.08,1.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.86,2.98)
\rput[bl](1.94,3.1){\blue{$C=M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.86,2.98)
%\rput[bl](1.94,3.1){\darkgray{$M$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=red](3.86,1.98)
\rput[bl](3.94,2.1){\darkgray{$N$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=red](4.14,-2.98)
\rput[bl](4.22,-2.86){\darkgray{$P$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=red](2.14,-1.98)
\rput[bl](2.22,-1.86){\darkgray{$Q$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A(-2~;~3), B(5~;~7) et  C(7~;~8).

%\noindent Ces trois points sont-ils alignés ? Justifier.
On a : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}\text{ et }\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9\\5\end{pmatrix}}}$.\\
$7\times 5-4\times 9=35-36=-1\neq 0$.

\noindent D'après la condition de colinéarité, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les trois points A, B et C ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas alignés}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(4~;~1) et B$\left(-\dfrac{3}{2}~;~6\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les longueurs OA, OB et AB.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ donc $OA=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$ : $\boxed{\textcolor{red}{OA=\sqrt{17}}}$

\item $\overrightarrow{OB}\begin{pmatrix}-\frac32\\6\end{pmatrix}$ donc $OB=\sqrt{\left(—\dfrac{3}{2}\right)^2+6^2}\\
=\sqrt{\dfrac{9}{4}+36}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}$ : $\boxed{\textcolor{red}{OB=\dfrac{\sqrt{153}}{4}}}$

\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-\frac32-4\\6-1\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-\frac{11}{2}\\5\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+5^2}=\sqrt{\dfrac{121}{4}+25}=\sqrt{\dfrac{221}{4}}$ : $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{\dfrac{221}{4}}}}$
\end{enumerate}

\item %En déduire la nature du triangle OAB.
On a $AB^2=\dfrac{221}{4}$.

\noindent $OA^2+OB^2=17+\dfrac{153}{4}=\dfrac{68+153}{4}=\dfrac{221}{4}$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{AB^2=OA^2+OB^2}}$.

\noindent D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en O.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
ABC est un triangle quelconque .

\begin{enumerate}
\item %Construire un point D tel que $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$, puis le point J tel que A soit le milieu de [BJ]. 
D est tel que $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$, puis  J est tel que A soit le milieu de [BJ]. (voir figure)
\item 
\begin{enumerate}
\item %Pourquoi a-t-on $\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{AJ}$? 
Par construction, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$ donc ABDC est un parallélogramme.

\noindent On en déduit $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$.

\noindent Par construction, $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AJ}$.

\noindent On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AJ}}}$.


\item %En déduire la nature du quadrilatère DCJA. 
Puisque $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AJ}$, DCJA est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,-3)(9,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.44,1.98)(2.86,-0.94)(7.38,0.82)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=red!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.8,-2.1)(7.38,0.82)(8.02,4.9)(5.44,1.98)
\psline[linecolor=zzttqq](5.44,1.98)(2.86,-0.94)
\psline[linecolor=zzttqq](2.86,-0.94)(7.38,0.82)
\psline[linecolor=zzttqq](7.38,0.82)(5.44,1.98)
\psline{->}(2.86,-0.94)(4.8,-2.1)
\psline[linecolor=zzttqq](4.8,-2.1)(7.38,0.82)
\psline[linecolor=zzttqq](7.38,0.82)(8.02,4.9)
\psline[linecolor=zzttqq](8.02,4.9)(5.44,1.98)
\psline[linecolor=zzttqq](5.44,1.98)(4.8,-2.1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.44,1.98)
\rput[bl](5.53,2.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.86,-0.94)
\rput[bl](2.97,-0.78){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.38,0.82)
\rput[bl](7.47,0.96){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.8,-2.1)
\rput[bl](4.9,-1.95){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.02,4.9)
\rput[bl](8.12,5.05){\blue{$J$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
 
\begin{enumerate}


\item $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales du quadrilatère ABCD. Comme ce sont deux diamètres du cercle, ils se coupent en leur milieu, donc ABCD est un parallélogramme.\\
De plus, ces deux segments ont la même longueur, donc ABCD est un rectangle.

 \item Alors, comme ABCD est un parallélogramme, $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$ est le vecteur représentant la diagonale du parallélogramme ABCD, donc $\overrightarrow{AC}$.

\end{enumerate}

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(5,5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.33,3.06)(-1.6,0.84)(3.93,0.18)(4.2,2.4)
\pscircle(1.3,1.62){3}
\psline(-1.33,3.06)(3.93,0.18)
\psline(-1.6,0.84)(4.2,2.4)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.33,3.06)(-1.6,0.84)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.6,0.84)(3.93,0.18)
\psline[linecolor=zzttqq](3.93,0.18)(4.2,2.4)
\psline[linecolor=zzttqq](4.2,2.4)(-1.33,3.06)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.3,1.62)
\rput[bl](1.37,1.72){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-1.33,3.06)
\rput[bl](-1.26,3.16){\xdxdff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-1.6,0.84)
\rput[bl](-1.52,0.96){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](3.93,0.18)
\rput[bl](4.01,0.29){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4.2,2.4)
\rput[bl](4.26,2.51){\xdxdff{$D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
%
\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $ABC$ un triangle et $M$ le point tel que \[\overrightarrow {BM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC}.\]
\begin{enumerate}

\item %Montrer à l'aide de la relation de Chasles que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ .
$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}$ d'après la relation de Chasles.

\item %En déduire que $\overrightarrow {AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}$
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\
=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}}}$

	\item Soit $N$ le point tel que $\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$.
	
%En déduire que les points $A$, $M$ et $N$ sont alignés.\\
On a $\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\times \left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AN}}}$.\\
On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont \textbf{colinéaires} ; les points A, M et N sont donc \textbf{\textcolor{red}{alignés}}.
\end{enumerate}








\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  
