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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/3}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 3}}\end{center}

\subsection{}
\noindent Soit ABCD un parallélogramme \\
On complètera la figure ci-dessous. On laissera les traits de construction.

\begin{enumerate}
\item %Construire E, image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.
$\overrightarrow{\text{BE}}=\overrightarrow{\text{AB}}$, donc B est le milieu de [AE].

\item %Construire F, image de D par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\text{AC}}$.
Par construction, $\overrightarrow{\text{DF}}=\overrightarrow{\text{AC}}$.

\item %Construire G, symétrique de A par rapport à C.
Par définition, C est le milieu de [AG].

\item %Construire le point M tel que $\overrightarrow{\text{EM}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CG}}$.
Soit G' tel que $\overrightarrow{\text{CG}}=\overrightarrow{\text{BG'}}$.\\
Alors : $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CG}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BG'}}=\overrightarrow{\text{AG'}}$ (relation de Chasles).\\
On construit alors M tel que $\overrightarrow{\text{EM}}=\overrightarrow{\text{AG'}}$.

\item %Démontrer que CGFD est un parallélogramme.
D'une part, C est le milieu de [AG], donc : $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{CG}}$.\\
D'autre part : $\overrightarrow{\text{DF}}=\overrightarrow{\text{AC}}$.\\
ON en déduit que $\overrightarrow{\text{DF}}=\overrightarrow{\text{CG}}$.\\
Par conséquent, CGFD est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\end{enumerate}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{unit=1.4}
\begin{pspicture*}(-2,-1.5)(12,6.5)
\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-2,-1)(12,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,linewidth=2pt](0,4)(3,5)(2,2)(-1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(3,5)
\psline[linecolor=zzttqq](3,5)(2,2)
\psline[linecolor=zzttqq](2,2)(-1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,1)(0,4)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0,4)
\uput[l](0,4){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](3,5)
\rput[bl](3.08,5.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](2,2)
\uput[r](2,2){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](-1,1)
\uput[d](-1,1){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](6,6)
\rput[bl](6.08,6.12){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](1,-1)
\rput[bl](1.08,-0.88){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](4,0)
\rput[bl](4.08,0.12){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](11,5)
\rput[bl](11.08,5.12){\darkgray{$M$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](5,3)
\uput[d](5,3){G'}
\psline{->}(3,5)(6,6)
\psline{->}(0,4)(2,2)
\psline{->}(-1,1)(1,-1)
\psline(2,2)(4,0)
\psline{->}(2,2)(4,0)
\psline{->}(3,5)(5,3)
\psline{->}(0,4)(5,3)
\psline{->}(6,6)(11,5)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé ci-dessous (O~;~I~;~J), placer les points A(2~;~2), B(-2~;~-1) et C(-5~;~3).
\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des vecteurs $
%\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
On obtient : $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-4\\-3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}-7\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$.

\item %Calculer les longueurs AB, AC et BC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\text{AB}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}\\
=\sqrt{25}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$.

\item $\text{AC}=\sqrt{(-7)^2+1^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}\\=\boxed{\textcolor{red}{5\sqrt{2}}}$.

\item $\text{BC}=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$
\end{enumerate}

\item %Quelle est la nature du triangle ABC ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item AB = BC = 5 donc ABC est \textbf{\textcolor{red}{isocèle}}.

\item $\text{BC}^2=50$ et $\text{AB}^2+\text{AC}^2=25=25=50$ donc $\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2$.\\
D'après la \textbf{réciproque du théorème de Pythagore}, le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Conclusion} : ABC est isocèle rectangle en A.

\item Soit E$\left(8~;~\dfrac{13}{2}\right)$.\\
%A, B et E sont-ils alignés ?
On a $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-4\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{AE}}\begin{pmatrix}6\\\dfrac{9}{2}\end{pmatrix}$.\\
On a : $-4\times \dfrac{9}{2}-(-3)\times 6=-18+18=0$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{condition de colinéarité}}, les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AE}}$ sont \textbf{colinéaires} et on en déduit que les points A, B et E sont \textbf{\textcolor{red}{alignés}}.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Soit D tel que ABCD soit un parallélogramme. D a pour coordonnées $\text{D}\left(x_{\text{D}~};~y_{\text{D}}\right)$.\\
ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}$.\\
$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-4\\-3\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{\text{DC}}\begin{pmatrix}-5-x_{\text{D}}~\\~3-y_{\text{D}}\end{pmatrix}$.\\
Les deux vecteurs sont égaux, donc leurs coordonnées sont égales.\\
On obtient le système $\left\{\begin{array}{l}-5-x_{\text{D}}=-4\\3-y_{\text{D}}=-3\end{array}\right.$
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{x_{\text{D}}=-1}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{y_{\text{D}}=6}}$
\item %Quelle est la nature précise de ce parallélogramme ?
Comme le triangle ABC est isocèle et rectangle en A, on en déduit que ABCD est un \textbf{\textcolor{red}{carré}}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées du point K défini par $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB}.$.
Soit K tel que  $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB}.$.
On appelle $x_K$ et $y_K$ les coordonnées de K.\\
$\overrightarrow{CK}\begin{pmatrix}x_K-(-5)\\y_K-3\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{KB}\begin{pmatrix}-2-x_K~\\~-1-y_K\end{pmatrix}$ donc \\
$2\overrightarrow{KB}\begin{pmatrix}2\left(-2-x_K\right)\\2\left(-1-y_K\right)\end{pmatrix}$.\\
 $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_K+5=-4-2x_K-4\\ y_K-3=-2-2y_K-3\end{array}\right.$.\\
 On en déduit : \\
 $\left\{\begin{array}{l}3x_K=-13\\3y_K=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_K=-\dfrac{13}{3}\\y_K=-\dfrac{2}{3}\end{array}\right.$.\\
 K a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\left(-\dfrac{13}{3}~;~-\dfrac{2}{3}\right)}}$
. 
\item %Placer K sur la figure.
Voir figure.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-3.5)(6,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(-6,-3)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=3,gridlabels=0,gridwidth=1.2pt,subgridwidth=0.8pt](-6,-3)(6,7)
\uput[dl](0,0){0}\uput[dr](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,2)(-2,-1)(-5,3)
\psline[linecolor=zzttqq](2,2)(-2,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](-2,-1)(-5,3)
\psline[linecolor=zzttqq](-5,3)(2,2)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,2)
\rput[bl](2.14,2.19){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,-1)
\rput[bl](-1.87,-0.8){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-5,3)
\rput[bl](-4.86,3.18){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1,6)
\rput[bl](-0.88,6.2){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3,-8)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](-4.33,-0.67)
\uput[d](-4.33,-0.67){K}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](-1,6)
\psline[linestyle=dashed](-1,6)(-5,3)
\psline[linestyle=dashed](-1,6)(2,2)
\uput[u](-1,6){D}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}




%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Une agence de location de véhicules possède un parc de 200 voitures.
Certaines possèdent différentes options :
120  véhicules ont un GPS.
70  véhicules ont un radar de recul.
40  véhicules ont un radar de recul et un GPS.\\

\noindent Un employé prend un véhicule au hasard. On note
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 	R l'événement : \og{} le véhicule a un radar \fg{}.

\item G l'événement : \og{} le véhicule a un GPS \fg{}.

\item S l'événement : \og{} le véhicule n'a ni radar, ni GPS \fg{}.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation à l'aide d'un schéma.
Schéma : 
\begin{center}
%\psset{xunit=0.3}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(11,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.52,1.95)(-1.5,-2.45)(9.72,-2.39)(9.43,1.86)
\rput{0}(2.5,0){\psellipse(0,0)(3,1.66)}
\rput{0}(5.5,0){\psellipse(0,0)(3,1.66)}
\rput[tl](1.02,0.73){R}
\rput[tl](6.49,0.8){G}
\rput[tl](3.55,0.74){$R\cap G$}
\rput[tl](6.48,0){120}
\rput[tl](1.09,0){70}
\rput[tl](3.32,0){40}
\psline[linecolor=zzttqq](-1.52,1.95)(-1.5,-2.45)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.5,-2.45)(9.72,-2.39)
\psline[linecolor=zzttqq](9.72,-2.39)(9.43,1.86)
\psline[linecolor=zzttqq](9.43,1.86)(-1.52,1.95)
\rput[tl](6.49,2.55){200}
%\psline{->}(1.21,-2.04)(1.87,-0.6)
%\psline{->}(3.41,-2.04)(3.85,-0.48)
%\psline{->}(6.64,-2.16)(6.94,-0.46)
\psline{->}(6.65,2.43)(8.35,1.46)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
%\rput[bl](0.08,0.11){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,0)
%\rput[bl](5.08,0.11){\blue{$B$}}
%\rput[bl](0.98,1.06){$c$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
%\rput[bl](3.07,0.11){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,0)
%\rput[bl](8.07,0.11){\blue{$D$}}
%\rput[bl](4,1.06){$d$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.52,1.95)
%\rput[bl](-1.44,2.05){\blue{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.5,-2.45)
%\rput[bl](-1.43,-2.34){\blue{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.72,-2.39)
%\rput[bl](9.79,-2.29){\blue{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.43,1.86)
%\rput[bl](9.51,1.97){\blue{$H$}}
%\rput[bl](-1.8,-0.25){\zzttqq{$e$}}
%\rput[bl](4.1,-2.69){\zzttqq{$f$}}
%\rput[bl](9.84,-0.23){\zzttqq{$g$}}
%\rput[bl](3.96,2.2){\zzttqq{$h$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.21,-2.04)
%\rput[bl](1.28,-1.93){\blue{$I$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.87,-0.6)
%\rput[bl](1.94,-0.5){\blue{$J$}}
%\rput[bl](1.48,-1.29){$u$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.41,-2.04)
%\rput[bl](3.48,-1.93){\blue{$K$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.85,-0.48)
%\rput[bl](3.92,-0.37){\blue{$L$}}
%\rput[bl](3.57,-1.24){$v$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.64,-2.16)
%\rput[bl](6.71,-2.06){\blue{$M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.94,-0.46)
%\rput[bl](7.01,-0.36){\blue{$N$}}
%\rput[bl](6.72,-1.29){$w$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.65,2.43)
%\rput[bl](6.72,2.53){\blue{$O$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.35,1.45)
%\rput[bl](8.42,1.56){\blue{$P$}}
%\rput[bl](7.52,2){$a$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité des événements R et G.
Chaque voiture a la même probabilité d'être choisie. Nous sommes donc en situation d'équiprobilité.\\
La probabilité d'un événement est donc le nombre total de cas possibles, divisé par le nombre total de cas possibles.\\
D'après l'énoncé, on a : \\
$\boxed{\textcolor{red}{p(R)=\dfrac{70}{200}=\dfrac{7}{20}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p(G)=\dfrac{120}{200}=\dfrac{3}{5}}}$.

%\item $p(R \cap G)=\dfrac{40}{200}=\dfrac{1}{5}$.


\item %Décrire par une phrase les événements R $\cap$  G, \\
%R $\cup $ G,, $\overline{\text{R}}$ et $\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $R\cap G$ est l'éventent \og{}le véhicule choisi a un radar \textbf{et} un GPS\fg{}.

\item  $R\cup G$ est l'éventent \og{}le véhicule choisi a un radar \textbf{ou} un GPS\fg{}

\item  $\overline{R}$ est l'éventent \og{}le véhicule choisi n'a \textbf{pas de radar}\fg{}..

\item $\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}$ est l'éventent \og{}le véhicule choisi n'a \textbf{ni radar ni GPS}\fg{}.

\end{enumerate}
\item % Calculer en justifiant :  $p(\text{R}\cap \text{G})$, $p(\text{R}\cup \text{C})$, $p\left(\overline{\text{R}}\right)$ et $p\left(\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}\right)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 40 véhicules ont le radar et un GPS donc  \\
$p(R \cap G)=\dfrac{40}{200}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}$.

\item $p(R \cup G)=p(R)+p(G)-p(R\cap G)=\dfrac{7}{20}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{7+12-4}{20}=\dfrac{15}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$.

\item $p\left(\overline{R}\right)=1-p(R)=1-\dfrac{7}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13}{20}}}$.

\item $p\left(\overline{R}\cap \overline{G}\right)=p\left(\overline{R\cup G}\right)=1-p\left(R\cup G\right)=1-\dfrac{3}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection{}
%Dans sa penderie, Guillaume a 
%\begin{itemize}
%\item deux pantalons, un noir et un blanc
%
%\item deux vestes, une noire et une blanche
%
%\item trois chemises, deux blanches (une de forme classique et une ajustée) et une noire.
%
%\end{itemize}
%
%
%Il prend au hasard un pantalon puis une chemise puis une veste. 

\begin{enumerate}
\item %Combien de façons a-t-il de s'habiller? (on pourra s'aider d'un arbre) 
Représentons la situation par un arbre. On note PN pour pantalon noir, PB pour pantalon blanc, VN pour veste noire, VB pour veste blanche, CBc pour chemise blanche classique, CBa pour chemise blanche ajustée et CN pour chemise noire.


\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=4mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$PN$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$VN$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$CBc$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$CBa$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$CN$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$VB$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$CBc$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$CBa$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$CN$}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$PB$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$VN$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$CBc$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$CBa$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$CN$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$VB$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$CBc$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$CBa$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$CN$}\tbput{ $$}
}
}
}


\end{center}

L'arbre comprend douze branches, donc il y'a douze façons de s'habiller.

\item %Calculer la probabilité des évènements suivants: :
\begin{itemize}
\item %A: \og{} il est habillé tout en noir \fg{}. 
Une seule branche correspond à un habillage tout en noir, donc $\boxed{\textcolor{red}{p(A)=\dfrac{1}{12}}}$.

\item %B: \og{} il a une veste et un pantalon de couleurs différentes \fg{}. 
Six branches correspondent à l'événement (veste et pantalon de couleurs différentes) : les branches commençant par PN-VB et PB-VN B$ ; p(B)=\dfrac{6}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$

\item %C: \og{} il ne porte ni chemise noire, ni veste blanche\fg{} 
Quatre branches correspondent  à l'événement C, donc $p(C)=\dfrac{4}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+3$.
\begin{enumerate}

\item  %Comment s'appelle la courbe représentative de $f$ ?\\
$f$ est une fonction polynôme du second degré, donc la courbe représentative de $f$ est une \textbf{\textcolor{red}{parabole}}.

%Est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.
Le coefficient de $x^2$ est 1, donc positif ; la parabole est donc tournée vers le haut.

\item %Montrer que $f(x)=(x-2)^2-1$.
Cherchons la forme canonique de $f(x)$.\\
$f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=-4$ et $c=3$.\\
La forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.\\
On a $\alpha=-\dfrac{-4}{2}=2$ d'où $\beta=f(2)=-1$.

La forme canonique est donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x-2)^2-1}}$.

\item %Quelles sont les coordonnées du sommet ?
Le sommet (minimum a pour coordonnées $(\alpha~;~\beta)$ donc $(2~;~-1)$.

\item %Cette courbe a-t-elle un axe de symétrie ? Si oui, lequel ?
La courbe a pour axe de symétrie la droite d'équation $x=\alpha$, donc la droite d'équation $x=2$.

\item %Montrer que, pour tout $x$ réel, $f(x)=(x-3)(x-1)$.
On a $f(x)=(x-2)^2-1=(x-2)^2-1^2=[(x-2)-1][(x-2)+1]=\boxed{\textcolor{red}{(x-3)(x-1)}}$

\item% En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
Pour trouver le signe de $f(x)$, on renseigne un tableau de signes, en cherchant le signe de chaque facteur.\\
$f(x)$ s'annule en 1 et en 3.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&3&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }x-1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }x-3&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }f(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\end{variations}
\end{center}

\item %Utiliser la forme la mieux adaptée de $f(x)$ pour\\

Résoudre :

\begin{enumerate}
\item %l'équation $f(x)=3$
$f(x)=3\Leftrightarrow x^2-4x+3=3\Leftrightarrow x^2-4x=0\\
\Leftrightarrow x(x-4)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
On en déduit $x=0$ ou $x=4$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{0~;~4\right\}}}$

\item %l'inéquation $f(x)<8$
$f(x)<8\Leftrightarrow (x-2)^2-1<8\Leftrightarrow (x-2)^2-9<0\\
\Leftrightarrow \left[(x-2)-3\right][(x-2)+3]<0\Leftrightarrow (x-5)(x+1)<0$.\\
On renseigne un tableau de signes.\\
$ (x-5)(x+1)$ s'annule pour $x=-1$et $x=5$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&5&&\pI\\
\hline
x-5&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
x+1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
 (x-5)(x+1)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On en déduit que l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-1~;~5[}}$.

\item %Comment vérifier graphiquement les résultats de cette inéquation (par exemple sur la calculatrice) ?
Pour vérifier sur une calculatrice, on trace la courbe représentative de $f$, la droite d'équation $y=8$ et on regarde les abscisses des points de la courbe situés en dessous ce cette droite.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{}
%On s'intéresse à un triangle ABC rectangle en A, d'aire égale à 0,5  cm $^2$.\\
%On appelle [AH] la hauteur de ce triangle, issue de A, $h$ la longueur de cette hauteur en cm et $b$ la longueur BC en cm.

\begin{enumerate}
\item %Exprimer $h$ en fonction de $b$.
L'aire du triangle est $\mathscr{A}=\dfrac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}=\dfrac{bh}{2}$.\\
Comme $\mathscr{A}=0,5$, on a $bh=2\times 0,5=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{h=\dfrac{1}{b}}}$.

\item %Comment varie $h$  en fonction de $b$ ? Justifier.
$b\in]0~;~=\infty[$ ; Sur cet intervalle, la fonction inverse est décroissante, donc $h$ décroît quand $h$ croît.

\item %On sait que $b$ appartient à [4~;~10]. Quelle est la valeur maximale de $h$ ?
Puisque la fonction inverse est décroissante, $4\leqslant b\leqslant 10\Rightarrow \dfrac{1}{10}\leqslant \dfrac{1}{b}\leqslant \dfrac{1}{4}$.\\
La valeur maximale de $h$ est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  