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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} 2 : correction du contrôle (géométrie repérée et intervalles)\\(1 heure)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
{\renewcommand{\arraystretch}{4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Inégalité(s)&Appartenance à un intervalle ou une réunion d'intervalles&Représentation sur une droite graduée (la partie hachurée n'est pas solution)\\
\hline
$x\leqslant -5$&$x\in]-\infty~;~-5]$&\begin{pspicture}(-8,-0.5)(-2,0.5)\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-8,0)(-5,0)\psline(-5,0)(-2,0)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=hlines](-5,-0.3)(-2,-0.3)(-2,0.3)(-5,0.3)
\psline(-5,-0.3)(-5,0.3)
\psline(-5.2,-0.3)(-5,-0.3)
\psline(-5.2,0.3)(-5,.3)
\uput[d](-5,-0.1){-5}
\end{pspicture}
\\
\hline
$x\geqslant \dfrac{1}{3}$&$x\in\left[\dfrac{1}{3}~;+\infty\right[$&\begin{pspicture}(-3,-1)(2,1)
\psline(-3,0)(3,0)
\psline[linewidth=3pt,linecolor=red](0.333,0)(3,0)
\psline(0.3333,-0.2)(0.5,-0.2)
\psline(0.333,0.2)(0.5,0.2)
\psline(0.3333,-0.2)(0.3333,0.2)
\uput[dl](-3,0){$-\infty$}
\uput[d](2.8,0){$+\infty$}
\uput[d](0.333,-0.2){$\dfrac{1}{3}$}
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=hlines](-3,-0.3)(0.333,-0.3)(0.333,0.3)(-3,0.3)
\end{pspicture}\\
\hline
$-2<x\leqslant 1$&$x\in]-2~;~1]$&\begin{pspicture}(-3,-0.5)(2,0.5)\psline(-3,0)(-2,0)\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-2,0)(1,0)\psline(1,0)(2,0)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=hlines](-3,-0.3)(-2,-0.3)(-2,0.3)(-3,0.3)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=hlines](1,-0.3)(2,-0.3)(2,0.3)(1,0.3)
\psline(-2.2,-0.2)(-2,-0.2)
\psline(-2,-0.2)(-2,0.2)
\psline(-2.2,0.2)(-2,0.2)
\psline(0.8,-0.2)(1,-0.2)
\psline(1,-0.2)(1,0.2)
\psline(1,0.2)(0.8,0.2)
\uput[d](-2,-0.1){-2}\uput[d](1,-0.1){1}
\end{pspicture}
\\
\hline
$x\leqslant 3\text{ ou }x\geqslant 7$&$x\in]-\infty~;~3]\cup[7~;~+\infty[$&\begin{pspicture}(-3,-0.5)(2,0.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-3,0)(-2,0)\psline(-2,0)(1,0)\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](1,0)(2,0)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=hlines](-2,-0.3)(1,-0.3)(1,0.3)(-2,0.3)
\psline(-2.2,-0.2)(-2,-0.2)\psline(-2,-0.2)(-2,0.2)\psline(-2,0.2)(-2.2,0.2)
\psline(1,-0.2)(1.2,-0.2)\psline(1,-0.2)(1,0.2)\psline(1,0.2)(1.2,0.2)
\uput[d](-2,-0.1){3}\uput[d](1,-0.1){7}
\end{pspicture}\\
\hline
\end{tabularx}


\bigskip

%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}




\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Dans chaque cas, représenter les intervalles I et J sur une droite graduée. Déterminer ensuite l’intersection de I et de J, puis leur réunion.
\begin{enumerate}[a)]
\item I =]-4~;~0[ et  J=]-2~;~-1]

\begin{pspicture}(-6,-0.5)(2,0.5)
\psline(-6,0)(2,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-4,-0.1)(0,-0.1)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-2,0.1)(-1,0.1)
\uput[d](-4,0){-4}\uput[d](0,0){0}\uput[d](-1,0){-1}\uput[d](-2,0){-2}
\psline(-4.2,-0.2)(-4,-0.2)\psline(-4.,-0.2)(-4,0.2)\psline(-4.,0.2)(-4.2,0.2)
\psline(0,-0.2)(0.2,-0.2)\psline(0,-0.2)(0,0.2)\psline(0,0.2)(0.2,0.2)
\psline(-2.2,-0.2)(-2,-0.2)\psline(-2.,-0.2)(-2,0.2)\psline(-2.,0.2)(-2.2,0.2)
\psline(-1.2,-0.2)(-1,-0.2)\psline(-1.,-0.2)(-1,0.2)\psline(-1,0.2)(-1.2,0.2)
\end{pspicture}

$\boxed{\textcolor{red}{I\cap J=]-2~;~-1]}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I\cup J=]-4~;~0[}}$
\bigskip

\item I = [8~;~12] et J$ =]10~;~+\infty[$

$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=]10~;~12]}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=[8~;~+\infty[}}$

\bigskip

\item $I=]-5~;~-3]$ et $J=[-3~;~+\infty[$\\
\begin{pspicture}(-6,-.5)(7,.5)
\psline(-6,0)(-5,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-5,0)(-3,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-3,0)(7,0)
\uput[d](-4,0){I}\uput[d](0,0){J}
\psline(-5.2,-0.2)(-5,-0.2)\psline(-5,-0.2)(-5,0.2)\psline(-5.2,0.2)(-5,0.2)
\psline(-3.2,-0.2)(-3,-0.2)\psline(-3,-0.2)(-3,0.2)\psline(-3.2,0.2)(-3,0.2)
\psline(-2.8,-0.2)(-3,-0.2)\psline(-2.8,0.2)(-3,0.2)
\uput[d](-5,0){-5}\uput[d](-3,0){-3}\uput[d](7,0){$+\infty$}
\end{pspicture}

$\boxed{\textcolor{red}{I\cap J=\{-3\}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I\cup J=]—5~;~+\infty[}}$ (car -3 appartient aux deux intervalles)
\bigskip

\item $I=]-\infty~;~2]$ et $J=[3~;~+\infty[$

$\boxed{\textcolor{red}{I\cap J=\emptyset}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I\cup J=]-\infty~;~2]\cup[3~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}





\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{(10 points)}}
%https://math93.com/images/pdf/Seconde/ds/ds_2017_2018/DS2_Seconde_2017_2018_geometrie_repere.pdf
Soit (O , I , J ) un repère orthonormé du plan. On considère les points A (3~;~5), B(5~;~0), C (-1~;~-1) et \\
D (-3~;~4).



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Faire une figure , qui sera complétée par la suite.

\item %Calculer les longueurs AB, BC et AC.
Calcul de AB : $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(5-3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{29}}}$.\\

Calcul de BC : $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{(-1-5)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{BC=\sqrt{37}}}$.\\

Calcul de AC : $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(-1-3)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{52}=2\sqrt{13}}}$.\\

\item %Le triangle ABC est-il rectangle ?
Le plus grand côté de ABC est $AC=\sqrt{52}$.\\
$AC^2=52$ ; $AB^2+BC^2=29+37=56\neq 52$ donc \\
$AC^2\neq AB^2+BC^2$.\\
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.


\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD (parallélogramme  ? losange ? rectangle ?) ; justifier.
Soit $M$ le milieu du segment $[AC]$ ; \\
$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{3+(-1)}{2}=1$ et \\
$y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{5+(-1)}{2}=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M(1~;~2)}}$.\\

Soit $M'$ le milieu du segment $[BD]$ ; \\
$x_{M'}=\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{5+(-3)}{2}=1$ et \\
$y_{M'}=\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{0+4}{2}=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M'(1~;~2)}}$.\\

$M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées donc \textbf{\textcolor{red}{ABCD est un parallélogramme}}.\\

Ce n'est pas un losange puisque [AB] et [BC] n'ont pas la même longueur.\\
Ce n'est pas un rectangle (donc, encore moins un carré) puisque ABC n'est pas rectangle.

\item %Calculer les coordonnées du point E tel que BACE soit un parallélogramme.
Calculons les coordonnées du point E tel que BACE soit un parallélogramme.

Soit $P$ le milieu des deux diagonales, donc $P$ est le milieu de [BC].\\
$x_P=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{5+(-1)}{2}=2$ et \\
$y_P=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{0+(-1)}{2}=-\dfrac{1}{2}$. $P\left(2~;~-\dfrac{1}{2}\right)$\\

On doit avoir $x_P=\dfrac{x_A+x_E}{2}=\dfrac{3+x_E}{2}$ donc $3+x_E=2x_P$ d'où $x_E=2x_P-3=2\times 2-3=1$.\\

De même : $y_P=\dfrac{y_A+y_E}{2}=\dfrac{5+y_E}{2}$ donc \\
$y_E=2y_P-5=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)-5=-6$.\\

Les coordonnées de E sont $\boxed{\textcolor{red}{E(1~;~-6)}}$.


\item %Démontrer que les points D, C et E sont alignés.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item ABCD est un parallélogramme donc (DC) est parallèle à (AB).

\item BCAE est un parallélogramme donc (AB) est parallèle à (CE).

\item Les droites (DC) et (CE) sont parallèles à la même droite (AB) donc sont parallèles entre elles ; comme elles ont le point C en commun, elles sont égales et les points D, C et E sont alignés.
\end{enumerate}

\item %Retrouver le résultat de la question 6., l’alignement des points C, D et E, en vérifiant que le point C est le milieu du segment [DE]
$\dfrac{x_D+x_E}{2}=\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1=x_C$.\\
$\dfrac{y_D+y_E}{2}=\dfrac{4+(-6)}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1=y_C$.\\
C est bien le milieu de [DE] donc les points D, C et E sont bien alignés.

\item %Que pensez-vous de l’affirmation de Nils ?
%\og{}Les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 5 ?\fg{}.\\
$OA=\sqrt{\left(x_A-x_O\right)^2+\left(y_A-y_O\right)^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\neq 5$ donc A n'appartient pas au cercle de centre O et de rayon 5.\\
$OB=5$ (évident) donc B appartient  au cercle de centre O et de rayon 5.\\
Il a tort ; \textbf{\textcolor{red}{seul B appartient à ce cercle}}.


\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-7.)(6.,6.)
\pspolygon[linewidth=1.5pt,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.,5.1)(5.,0.)(-1.,-1.)(-3.,4.)
\pspolygon[linewidth=1.5pt,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.,5.1)(5.,0.)(-1.,-1.)
\pspolygon[linewidth=1.5pt,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.,0.)(3.,5)(-1.,-1.)(1.,-6.1)
\psline[linewidth=1.5pt](3.,5)(5.,0.)
\psline[linewidth=1.5pt](5.,0.)(-1.,-1.)
\psline[linewidth=1.5pt](-1.,-1.)(-3.,4.)
\psline[linewidth=1.5pt](-3.,4.)(3.,5)
\psline[linewidth=1.5pt](3.,5)(5.,0.)
\psline[linewidth=1.5pt](5.,0.)(-1.,-1.)
\psline[linewidth=1.5pt](-1.,-1.)(3.,5)
\psline[linewidth=1.5pt](5.,0.)(3.,5)
\psline[linewidth=1.5pt](3.,5)(-1.,-1.)
\psline[linewidth=1.5pt](-1.,-1.)(1.,-6.1)
\psline[linewidth=1.5pt](1.,-6.1)(5.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](3.,5.1)
\rput[bl](3.093736054421767,5.36981224489796){{$A$}}
\psdots[dotstyle=*](5.,0.)
\rput[bl](5.112268480725621,0.27036190476190447){{$B$}}
\psdots[dotstyle=*](-1.,-1.)
\rput[bl](-1.6073197278911588,-0.9779410430839008){{$C$}}
\psdots[dotstyle=*](-3.,4.)
\rput[bl](-2.8821823129251727,4.254307482993198){{$D$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,-6.1)
\rput[bl](1.393919274376415,-6.263308843537417){{$E$}}
\end{scriptsize}
\multips(0,-7)(0,2.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.,0)(6.,0)}
\multips(-4,0)(2.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-7.)(0,6.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=red]{->}(0,0)(-4.,-7.)(6.,6.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(-4.,-7.)(6.,6.)
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  