\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}




\subsection{}
%Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item Soit l'équation : $(x - 1) (2 + x) + (x + 5) (1 - x)=0.$.\\
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$.\\
On remarque que $1-x=-(x-1)$ donc l'équation équivaut à :\\
$(x - 1) (2 + x) + (x + 5) \times (-1)\times (x-1x)=0.
\Leftrightarrow \textcolor{red}{(x-1)}(2+x)-(x+5)\textcolor{red}{(x-1)}=0
\Leftrightarrow \textcolor{red}{(x-1)}\left[(2+x)-(x+5)\right]=0\\
\Leftrightarrow (x-1)\times (2+x-x-5)=0\Leftrightarrow -3(x-1)=0\Leftrightarrow x-1=0$.\\
On en déduit $x=1$ donc l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1\}}}$.

\medskip

\item Soit l'équation $(x+3)^2=x+3$.\\
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$.\\
 $(x+3)^2=x+3\Leftrightarrow \textcolor{red}{(x+3)}^2-\textcolor{red}{(x+3)}=0\Leftrightarrow \textcolor{red}{(x+3)}(x+3-1)=0\Leftrightarrow (x+3)(x+2)=0$\\
Un produit de facteurs dans $\mathbb{R}$ est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
On en déduit $x=-3$ ou $x=-2$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3-2\}}}$.

\medskip

\item  Soit l'équation $\dfrac{x^2+x+1}{2x-3}=\dfrac{1}{2}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Ensemble de définition :}} Il faut que $2x-3\neq 0$.\\
Or $2x-3=9\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ donc l'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$.\\
Pour $x\in\mathscr{D}$,  $\dfrac{x^2+x+1}{2x-3}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left(x^2+x+1\right)=1\times (2x-3)\text{ (égalité des produits en croix)}\\
2x^2+2x+2=2x-3\Leftrightarrow 2x^2=-5$.\\
$2x^2\geqslant 0$ pour tout $x$ et $-5<0$ donc c'est impossible ou $x^2=-\dfrac{5}{2}<0$ et le carré d'un réel ne peut pas être négatif.\\
IL n'y a aucune solution à cette équation : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\medskip

\item Soit l'équation $\dfrac{2}{3x-1}-\dfrac{3x}{3x+1}=\dfrac{4}{9x^2-1}-1$.\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Ensemble de définition :}} il faut que les dénominateurs ne s'annulent pas. :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$

\item $3x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}$

\item $9x^2-1=0\Leftrightarrow (3x)^2-1^2=0\Leftrightarrow (3x+1)(3x-1)=0\Leftrightarrow x\in\left\{-\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right\}$.
\end{enumerate}
L'ensemble de définition est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right\}}}$.\\

\noindent Alors, pour $x\in\mathscr{D}$ :\\
$\dfrac{2}{3x-1}-\dfrac{3x}{3x+1}=\dfrac{4}{9x^2-1}-1\Leftrightarrow \dfrac{2}{3x-1}-\dfrac{3x}{3x+1}-\dfrac{4}{9x^2-1}+1=0\\
\Leftrightarrow \dfrac{2}{3x-1}-\dfrac{3x}{3x+1}-\dfrac{4}{(3x+1)(3x-1)}+1=0\\
\Leftrightarrow \dfrac{2(3x+1)-3x(3x-1)-4+(3x+1)(3x-1)}{(3x+1)(3x-1)}=0$\\
$\Leftrightarrow \dfrac{6x+2-9x^2+3x-4+9x^2-1}{(3x+1)(3x-1)}=0\Leftrightarrow \dfrac{9x-3}{(3x+1)(3x-1)}=0\Leftrightarrow 9x-3=9\Leftrightarrow 3(3x-1)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\notin\mathscr{D}$.\\
La solution qu'on trouve est \textbf{\textcolor{red}{une valeur interdite}}, donc l'équation n'a pas de solution. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}
\item Soit l'inéquation $x<\dfrac{1}{x}$.\\
L'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}^*}}$.\\
Pour $x\in\mathscr{D}$, $x<\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}<0\Leftrightarrow \dfrac{x^2-1}{x}<0\Leftrightarrow \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}<0$.\\
On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&0&&1&&\pI\\
\hline
x+1&&-&\z&+&\bb&+&\l&+&\\
\hline
x+1&&-&\l&-&\bb&-&\z&+&\\
\hline
x&&-&\l&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}&&-&\z&+&\bb&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-1[\cup]0~;~1[}}$.
\medskip

\item  Soit l'inéquation $\dfrac{1}{x-2}<\dfrac{2}{x+3}$.\\
L'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-3~;~2\right\}}}$.\\
Alors, pour $x\in\mathscr{D}$ :\\
$\dfrac{1}{x-2}<\dfrac{2}{x+3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{x+3}<0\Leftrightarrow \dfrac{(x+3)-2(x-2)}{(x-2)(x+3)}<0\Leftrightarrow \dfrac{x+3-2x+4}{(x-2)(x+3)}<0\Leftrightarrow \dfrac{-x+7}{(x-2)(x+3)}<0$.\\

\bigskip
On renseigne un tableau de signes :\\
$-x+7=0\Leftrightarrow x=7$.\\

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&2&&7&&\pI\\
\hline
-x+7&&+&\bb&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline
x-2&&-&\bb&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
x+3&&-&\bb&+&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\dfrac{-x+7}{(x-2)(x+3)}&&+&\bb&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On voulait que l'expression fût négative.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-3~;~3[\cup ]7+\infty[}}$.
\end{enumerate}

%\subsection{}
%Un père dispose de \numprint{1600} \euro{} pour ses trois enfants. Il veut que l'aîné ait \numprint{200} \euro{} de plus que le second et que le second ait 100 \euro{} de plus que le dernier. \\
%Quelle somme doit il donner à chacun ?
%
%\subsection{}
%Un jardin a une forme rectangulaire. Il a vingt mètres de moins dans la largeur que dans la longueur. La longueur totale de la clôture qui l'entoure est 250 m.\\
%Quelle est l'aire de ce jardin ?

%\subsection{}
%Déterminer trois entiers consécutifs dont la somme est \numprint{1128}.

%\subsection{}
%Un cycliste effectue un aller-retour entre deux viles A et B.  l'aller, sa vitesse constante est de 30 km.h$^{-1}$ et au retour, sa vitesse constante est de 20 km.h$^{-1}$.\\
%Quelle est sa vitesse moyenne sur l'aller-retour ?\\
%(indication : appeler $d$ la distance entre les deux villes)

\subsection{}
Une casserole cylindrique a un diamètre de 18 cm. Sa contenance est être 2 et 3 litres.\\
%En déduire un encadrement de sa hauteur.
Le rayon $r$ vaut 9 cm.\\
Soit $h$ la hauteur en cm.\\
1 L = \numprint{1000} cm$3$.\\
Le volume d'un cylindre est $V=\pi r^2h$.\\
On doit donc avoir : $\numprint{2000}\leqslant \pi\times 9^2h\leqslant \numprint{3000}$, d'où :\\
\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\numprint{2000}}{81\pi}\leqslant h\leqslant \dfrac{3000}{81\pi}}}$.

\end{center}

\subsection{}
Le tableau suivant résume les résultats obtenus par la classe de seconde C d'un lycée lors d'un devoir de mathématiques.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
   Notes & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 17 & 18 \\
   \hline
   Effectifs & 1 & 2 & 1 & 3 & 3 & 5 & 6 & 4 & 2 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
\hline
Effectifs cumulés croisants&1&3&4&7&10&15&21&25&27&28&30&32&33\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
   \item %Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe? Déterminer l'étendue de la série de notes. 
On complète le tableau avec la ligne des effectifs cumulés croissants.\\
L'effectif total est de 33, donc il y a \textcolor{red}{33} élèves dans cette classe.\\
L'étendue est la différence entre les valeurs extrêmes, soit $18-3=\boxed{\textcolor{red}{15}}$.

\item %Quel est le pourcentage d'élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8 ? 
On voit dans le tableau qu'il y a 10 élèves ayant une note inférieure ou égale à 8, donc une fréquence de $\dfrac{10}{33}$, c'est-à-dire un pourcentage d'environ \fbox{\textcolor{red}{30,3\:\%}}.

 \item %Déterminer la moyenne, la médiane et les quartiles de la série de notes en utilisant la calculatrice. 
À la calculatrice, on trouve que la moyenne $\overline{x}$ vaut 10, la médiane $M$ vaut 10, le premier quartile $Q_1$ vaut 8 et le troisième quartile $Q_3$ vaut 11,5 (alors que d'après la définition du cours, le troisième quartile est une valeur de la série et vaut 11).

   \item %Sans utiliser la calculatrice, expliquer comment on peut retrouver la médiane. 
L'effectif total est 33 ; $33=2\times 16+1$ (nombre impair) ; la médiane est alors la 17\ieme{} valeur de la série, donc $\boxed{\textcolor{red}{M=10}}$.

\item %Ce devoir était le quatrième du trimestre. Tous les devoirs ont le même coefficient et jusqu'alors Bastien avait 9 de moyenne ; après ce devoir, il a 9,5 de moyenne. Quelle note a-t-il obtenu à ce devoir? 
Soit $x$ la note de Bastien obtenue à ce devoir.\\
Il avait auparavant 9 de moyenne avec trois notes, donc la somme de ses trois premières notes était de $3\times 9=27$.\\
Sa nouvelle moyenne est $\dfrac{27+x}{4}=9,5$ donc $27+x=38$ d'im $\boxed{\textcolor{red}{x=11}}$.
Bastien a eu 11 lors du quatrième contrôle.

   \item Dans le lycée, les trois autres classes de seconde ont effectué le même devoir. Les moyennes par classe obtenues sont les suivantes : \\
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
      \hline
      Classes & Seconde A & Seconde B & Seconde C & Seconde D \\
      \hline
      Moyennes de chaque classe & 8 & 11 & \textcolor{red}{10}& 8,5 \\
      \hline
      Effectifs de chaque classe & 34 & $n$ &\textcolor{red}{33} & 32 \\
      \hline
   \end{tabular}
   \end{center} 
   \vspace*{0.5cm} 
   %Sachant que la moyenne du lycée est de 9,28, calculer le nombre d'élèves $n$ de la seconde B. 
On commence par compléter avec les valeurs trouvées précédemment pour la seconde C.\\
La moyenne du lycée vaut alors : \\
$\dfrac{(8\times 34)+(11\times n)+(33\times 10)+(32\times 8,5)}{34+n+33+32}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{874+11n}{101+n}}}$.\\

\noindent Cette moyenne vaut 9,28 donc $\dfrac{874+11n}{101+n}=9,28$.\\
On en déduit $874+11n=9,28(101+n)=937,28+9,28n$ d'où\\
$1,72n=63,28$ qui donne $n=\dfrac{63,28}{1,72}\approx 36,8$.
Un nombre d'élèves est un nombre entier, donc $n=37$ et la moyenne n'était pas exactement de 9,28, sis 9,28 à 0,01 près.\\
Pour $n=37$, on trouve une moyenne égale à $\dfrac{\numprint{1281}}{138}=\dfrac{427}{46}\approx 9,2826$.\\
Il y a 37 élèves dans cette classe.

   \item On effectue un regroupement en classes des notes des élèves de seconde C. Compléter le tableau suivant:
   \vspace{0.2cm}
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
      Notes & [~0~;~5~[ & [~5~;~8~[ & [~8~;~10~[ & [~10~;~12~[ & [~12~;~15~[ & [~15~;~20~] \\
      \hline
      Effectifs & 1&6 &8 &10 &5 &3 \\
      \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
   \item %Calculer la moyenne des notes à partir du tableau précédent. Que remarque t-on ? (on utilisera les milieux de chaque intervalle) 
La moyenne vaut alors :\\
$\dfrac{(2,5\times 1)+(6,5\times 6)+(9\times 8)+(11\times 10)+(13,5\times 5)+(17,5\times 3)}{33}=\dfrac{343,5}{33}\approx 10,4$.\\
On obtient une moyenne légèrement supérieure à la moyenne réelle.
\end{enumerate}	


\subsection{}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%ABCD est un carré de côté 8 cm.\\
%$M$ est un point quelconque du côté [AB].\\
%$P$ est le point du segment [AD] tel que A$MNP$ soit un carré.
%$Q$ est le point du côté [CD] tel que $M\text{B}Q$ est un triangle isocèle en $Q$.\\
%On veut connaître les positions du point $M$ pour lesquelles l'aire du carré A$MNP$ est supérieure ou égale à l'aire du triangle $M\text{B}Q$.
%\begin{center}
%\newrgbcolor{tttttt}{0.2 0.2 0.2}
%\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,9)
%\psline(0,8)(8,8)
%\psline(8,0)(8,8)
%\psline(0,0)(0,8)
%\psline(0,0)(8,0)
%\psline(2.7,0)(2.7,2.7)
%\psline(0,2.7)(2.7,2.7)
%\psline(0,0)(0,2.7)
%\psline(0,0)(2.7,0)
%\psline(5.35,8)(2.7,0)
%\psline(5.35,8)(8,0)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*](0,0)
%\uput[dl](0,0){$A$}
%\psdots[dotstyle=*](8,0)
%\rput[bl](7.96,-0.58){$B$}
%\psdots[dotstyle=*](8,8)
%\rput[bl](8.11,8.18){$C$}
%\psdots[dotstyle=*](0,8)
%\rput[bl](0.13,8.18){$D$}
%\psdots[dotstyle=*](2.7,0)
%\rput[bl](2.61,-0.58){$M$}
%\psdots[dotstyle=*](0,2.7)
%\rput[bl](0.13,2.9){$P$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=tttttt](2.7,2.7)
%\rput[bl](2.83,2.9){\tttttt{$N$}}
%\psdots[dotstyle=*](5.35,8)
%\rput[bl](5.47,8.18){$Q$}
%\psline{<->}(0,-0.5)(2.61,-0.5)
%\uput[d](1.4,-0.5){$x$}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
\begin{enumerate}
\item %On pose $\text{A}M = x$.\\
%À quel intervalle appartient ce nombre $x$ ? Justifier.
$\text{A}M=x$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x\in[0~;~8]}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Exprimer l'aire de $\text{A}MNP$ en fonction de $x$.
L'aire de carré A$MNP$ est 

\noindent $\mathscr{A}(\text{A}MNP)=\boxed{\textcolor{red}{x^2}}$.

\item %Exprimer l'aire de $M\text{B}Q$ en fonction de $x$.
L'aire de $M\text{B}Q$ est 

\noindent $\mathscr{A}(M\text{B}Q)=\dfrac{(8-x)\times 8}{2}=\boxed{\textcolor{red}{4(8-x)}}$.

\item %Montrer que le problème posé revient à résoudre l'inéquation $x^2 \geqslant  4(8- x)$.
L'aire du carré est supérieure à celle du triangle si, et seulement si, \[\boxed{\textcolor{red}{x^2\geqslant 4(8-x).}}\]
\end{enumerate}

\item On se propose de résoudre graphiquement cette inéquation, à l'aide de la courbe $\mathscr{C}$ ci-contre qui représente la fonction carré \\
$f:x\mapsto x^2$.
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[g(x)=4(8-x).\] %Quelle est la nature de la fonction $g$ ?
$g$ est une fonction affine, dont le représentation graphique est une droite.

\item %Représenter sur le graphique ci-joint la fonction $g$.
Pour représenter la droite représentative de $g$, il suffit de trouver deux points ou un point et d'utiliser le coefficient directeur qui est  -4.\\
Il est facile de voir que l'ordonnée à l'origine est 32, donc la droite passe par le point de coordonnées $(0~;~32)$ et $g(8)=0$ donc la droite passe par le point de coordonnées $(8~;~0)$.

\item %En déduire (par lecture graphique) l'ensemble des solutions de l'inéquation, en expliquant la méthode utilisée.
Les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points pour lesquels  $\mathscr{C}$ est au-dessus de la droite, donc pour $x\in[4~;~8]$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x$,  \[x^2- 4(8-x) = (x- 4)(x + 8).\]\\
%\emph{On pourra développer chacune de ces deux expressions.}
Pour tout $x$, $x^2-4(8-x)\\
=x^2-32+4x=x^2+4x-32$.\\
$(x-4)(x+8)=x^2+8x-4x-32=x^2+4x-32$;\\
C'est la même forme développée, donc, pour tout $x$, $\boxed{\textcolor{red}{x^2- 4(8-x) = (x- 4)(x + 8)}}$.

\item %En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2\geqslant  4(8- x)$ (résolution algébrique).
$x^2\geqslant 4(8-x)\Leftrightarrow x^2-4(8-x)\Leftrightarrow (x-4)(x+8)\geqslant 0$ d'après la question  précédente.\\
Pour résoudre cette inéquation, on renseigne alors jun tableau de signes.\\
$x-4$ s'annule et change de signe pour \\
$x=4$ ; $x+8$ est toujours positif sur l'intervalle $[0~;~8]$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&4&&8\\
\hline
x-4&&-&\z&+&\\
\hline
x+8&&+&\l&+&\\
\hline
(x-4)(x+8)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[4~;~8]}}$ (on retrouve ce que l'on avait trouvé graphiquement).

\item %Quelles sont alors les positions du point $M$ telles que l'aire du carré soit supérieure à l'aire du triangle ?
L'aire du carré est supérieure à l'aire du triangle lorsque $M$ décrit la deuxième moitié de l'intervalle [AB] (en partant de A)?

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(9,70)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(9,70)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(8,70)%grille
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.0}{8.0}{x^2}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{0.0}{8.0}{4*(8-x)}
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](6,36){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  