\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : correction du devoir sur feuille \no 2}}\end{center}
%\emph{Il s'agit d'un travail rédigé ; penser à mettre en valeurs vos résultats et à faire attention au soin.\\
%Chaque réponse doit être justifiée.}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Traduire sous forme d'appartenance à un intervalle les inégalités suivantes :

\begin{enumerate}
\item $x>7$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]7~;~+\infty[}}$

\item $-1\leqslant x<3$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in[-1~;~3[}}$
\end{enumerate}

\item %Dans chaque cas, donner sous la forme la plus simple possible l'intersection $I\cap J$ et la réunion $I\cup J$ des intervalles $I$ et $J$ :

\begin{enumerate}
\item Soient $I=]-\infty~;~5[$ et $J=[-12~;~7]$.\\
$\textcolor{red}{\boxed{I\cap J=[-12~;~5]}}$ et $\textcolor{red}{\boxed{I\cup J=]-\infty~;~7]}}$

\item Soient $I=]-7~;~5[$ et $J=[2~;~3]$.\\
$J$ est inclus dans $I$ ($J\subset J$) ; \\
$\textcolor{red}{\boxed{I\cap J=J=[2~;~3]}}$ et $\textcolor{red}{\boxed{I\cup J=I=]-7~;~5[}}$

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Pour $x\in\mathbb{R}$, on considère l'expression \[A(x)=4(x+1)^2-9.\]
\begin{enumerate}
\item %Développer $A(x)$.
$A(x)=4\left[x^2+2x+1\right]-9=4x^2+8x+4*9\\
=\textcolor{red}{\boxed{4x^2+8x-5}}$.

\item %Factoriser $A(x)$.
On remarque que $A(x)=\left[2(x+1)\right]^2-3^2$, c'est-à-dire que $A(x)$ s'exprime sous la forme d'une différence de deux carrés ; on peut alors appliquer la troisième identité remarquable.\\
$A(x)=a^2-b^2$ avec $a=2(x+1)$ et $b=3$.\\
$A(x)=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=\left[2(x+1)+3\right][2(+1)-3]\\
=(2x+2+3)(2x+2-3)=(2x+5)(2x-1)$ donc \\
$\textcolor{red}{\boxed{A(x)=(2x+5)(2x-1)}}$.

\item %Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $A(x)=0$.
Dans $\mathbb{R}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
$A(x)=0$ équivaut à $(2x+5)(2x-1)=0$..\\
Nous avons donc deux cas :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x+5=0$ d'où $x=-\dfrac{5}{2}$.

\item $2x-1=0$ d'où $x=\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
L'équation $A(x)=0$ a donc deux solutions : \\
$\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right\}$.

\item On pose $B(x)=\dfrac{A(x)}{1-x}$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble $\mathscr{D}$ des valeurs de $x$ pour lesquelles  $B(x)$ existe (ensemble de définition).
Il faut que le dénominateur soir différent de 0 : l'ensemble de définition de $B$ est donc \\
$\textcolor{red}{\boxed{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}}}$.

\item %Résoudre l'équation $B(x)=0$.                                                                     
Pour $x\neq 1$, $b(x)=\dfrac{A(x)}{1-x}=0$ équivaut à $A(x)=0$.\\
Les solutions de $A(x)=0$ appartiennent à $\mathscr{D}$ donc les solutions de l'équation \\
$B(x)=0$ sont les mêmes que celles de $A(x)=0$.\\
$\textcolor{red}{\boxed{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right\}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=-3x^2+30x+25.\]
\begin{enumerate}
\item %Calculer les images de 5, de $1+\sqrt{2}$ et de $-\dfrac{5}{6}$.
$f(5)=-3\times 5^2+30\times 5+25=-3\times 25+150+25\\
=-75+175=\textcolor{red}{\boxed{100}}$.\\

$f\left(1+\sqrt{2}\right)\\
=-3\left(1+\sqrt{2}\right)^2+30\left(1+\sqrt{2}\right)+25\\
=-3\left(1+2\sqrt{2}+2\right)+30\left(1+\sqrt{2}\right)+25\\
=-3\left(3+2\sqrt{2}+30\left(1+\sqrt{2}\right)\right)+25\\
=-9-6\sqrt{2}+30+30\sqrt{2}+25=\textcolor{red}{\boxed{46+24\sqrt{2}}}$.\\

$f\left(-\dfrac{5}{6}\right)=-3\left(-\dfrac{5}{6}\right)^2+30\times \left(-\dfrac{5}{6}\right)+25\\
=-3\times \dfrac{25}{36}-30\times \dfrac{5}{6}+25=-\dfrac{3\times 25}{3\times 12}-\dfrac{6\times 5\times 5}{6}+25\\
=-\dfrac{25}{12}-25+25=\textcolor{red}{\mathbb{N}-\dfrac{25}{12}}$.

\item %Montrer que, pour tout $x$ : $f(x)=-3(x-5)^2+100$.
Pour tout $x$, $-3(x-5)^2+100\\
=-3\left[x^2-10x+25\right]+100=-3x^2+30x-75+100\\
=-3x^2+30x+25=f(x)$.\\
Par conséquent : $\textcolor{red}{\boxed{f(x)=-3(x-5)^2+100}}$.


\item %Déterminer les antécédents éventuels de 101, de 97 et de -8.
Antécédents de 101 : \\
on résout 'équation $f(x)=101$.\\
$f(x)=101$ équivaut à $-3(x-5)^2+100=104$ donc $-3(x-5)^2=1$.\\
$-3(x-5)^2$ est négatif et 1 est strictement positif, donc il n'y a aucune solution : \textcolor{red}{101 n'a pas d'antécédent.}\\

Antécédents de 97 : \\
on résout l'équation $f(x)=97$.\\
Cette équation s'écrit $-3(x-5)^2+100=97$ donc $-3(x-5)^2=-3$ soit, après simplification  par -3, $(x-5)^2=1$.\\
On en déduit $(x-5)^2-1=0$, donc $(x-5)^2-1^2$ et on factorise en appliquant la troisième identité remarquable.\\
$\left[(x-5)+1\right][(x-5)-1]=0$ donc $(x-4)(x-6)=0$.\\
Les solutions sont 4 et 6, donc les antécédents de 97 sont \textcolor{red}{4 et 6}.\\

Antécédents de -8 : \\
on résout l'équation $f(x)=-8$.\\
Cette équation s'écrit $-3(x-5)^2+100=-8$ donc $-3(x-5)^2=-108$ soit, après simplification  par -3, $(x-5)^2=36$.\\
On en déduit $(x-5)^2-36=0$, donc $(x-5)^2-6^2$ et on factorise en appliquant la troisième identité remarquable.\\
$\left[(x-5)+6\right][(x-5)-6]=0$ donc $(x+1)(x-11)=0$.\\
Les solutions sont -1 et 11, donc les antécédents de 97 sont \textcolor{red}{-1 et 11}.\\

\end{enumerate}

\subsection{}
%Développer et réduire les expressions suivantes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^{2}=\sqrt{5}^2-2\times \sqrt{5}\times \sqrt{2}+\sqrt{2}^2=5-2\sqrt{10}+5\\
=\textcolor{red}{\boxed{7-2\sqrt{10}}}$.

\item $\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}=\left(2\sqrt{2}\right)^2-2\times 3\sqrt{2}\times \sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2\\
=18-6\sqrt{6}+3=\textcolor{red}{\boxed{21-6\sqrt{6}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit le nombre $A=2+3\sqrt{2}$.\\
%Exprimer sous le forme $a+b\sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers les nombres $A^{2}$ et $A^{3}$.
$A^2=\left[2+3\sqrt{2}\right]^2=2^2+2\times 2\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2\\
=4+12\sqrt{2}+18=\textcolor{red}{\boxed{22+12\sqrt{2}}}$.\\

\noindent $A^2=A^2\times A=\left(22+12\sqrt{2}\right)\left(2+3\sqrt{2}\right)\\
=22\times 2+22\times 3\sqrt{2}+12\sqrt{2}\times 2+12\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}\\
=44+66\sqrt{2}+24\sqrt{2}+72=\textcolor{red}{\boxed{116+90\sqrt{2}}}$.


\subsection{}

%$\mathscr{C}_{f}$ est la courbe représentative d'une fonction (voir ci-dessous).\\
\begin{enumerate}

\item %Sur quel intervalle I la fonction est-elle définie ?
$f$ est définie sur $\textcolor{red}{\boxed{I=[-2~;~4,5]}}$.

\item %Quelle est l'image par $f$ de -1 ? de 1 ? de 2 ? de 4,5 ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-1)=2$

\item $f(1)=-1,5$

\item $f(2)=0$

\item $f(4,5)=2$.
\end{enumerate}

\item %Quels sont les antécédents de 1 ? Expliquer votre méthode.\\
Pour trouver les antécédents de 1, on cherche les abscisses de tous les points de la courbe $\mathscr{C}_f$ qui ont pour ordonnée 1.\\
\textcolor{red}{Les antécédents de 1 sont -1,5, environ -0,3 et environ 2,3.}\\

%Quels sont les antécédents de 0 ? Expliquer votre méthode.
\textcolor{red}{De même, les antécédents de 0 sont -1,8,  0 et 2}.

\item %Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$. Expliquer votre méthode.\\
%Quelles sont ces solutions ?
Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les antécédents de 0, donc les réponses trouvées précédemment : -1,8,  0 et 2.

\item %Quelles sont les solutions de l'équation $f(x)=2$ ? Expliquer
Les solutions de l'équation $f(x)=2$ sont les antécédents de 2. $\textcolor{red}{\boxed{\mathscr{S}=\{-1~;~2,5~;~4,5\}}}$.

\item %Combien  l'équation $f(x)=4$ a-t-elle de solutions ? Expliquer votre méthode.
Aucun pour de la courbe n'a une ordonnée égale à 4, donc 4 n'a \textbf{\textcolor{red}{aucun}} antécédent par $f$.

\item %Donner à partir du graphique les abscisses des points dont l'ordonnée vérifie $0\leqslant f(x)\leqslant 1$.
$0\leqslant f(x)\leqslant 1$ a pour solutions \\
$\textcolor{red}{\boxed{\mathscr{S}=[-1,8~;~-1,5]\cup [-0,3~;~0]\cup[2~;~2,3]}}$.

\item %Dresser le tableau de variations de $f$.
Tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
$\begin{variations}
x&-2&&-1&&1&&3,8&&4,5\\
\hline
\m{f(x)}&-1&\c&\h{2}&\d&-1,5&\c&\h{3,4}&\d&2\\
\end{variations}$

\end{center}
\item %Déterminer le minimum de $f$ et préciser pour quelle valeur de $x$ il est atteint.
Le minium de $f$ est -1,5 t il est atteint pour $x=1$.

\end{enumerate}
%\begin{center}
%\psset{unit=01}
%\begin{pspicture}(-3.5,-2.2)(5.2,4.2)
%\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-2)(5.2,4)%grille
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(-3,0)(5.2,0)%axe horizontal
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(0,-2)(0,4)%axe vertical
%%repère
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\uput[r](0,1){1}\uput[d](1,0){1}
%\pscurve[linecolor=red,linewidth=1pt](-2,-1)(-1.8,0)(-1.5,1)(-1,2)(0,0)(1,-1.5)(2,0)(2.5,2)(3,2.8)(3.8,3.4)(4,3)(4.5,2)
%\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,3.8){$y$}
%\psdots(-2,-1)(4.5,2)
%\uput[l](2.2,2){$\mathscr{C}_{f}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Une histoire de format}}
On considère des rectangles de longueur $L$ et de largeur $\ell$ tels que, si l'on plie l'un d'eux, comme l'indique la figure, on obtient deux rectangles superposables et de même proportion que le précédent. Cela signifie que le rapport longueur/largeur est le même.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, dans ces conditions, l'on a : $L^{2}=2\ell^{2}$.
On doit avoir $\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{\ell}{\frac{\ell}{L}}$ d'où $\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{2\ell}{L}$ donc $\textcolor{red}{\boxed{L^2=2\ell^2}}$.

\item %En déduire la valeur du quotient $\dfrac{L}{\ell}$.
On en déduit $\left(\dfrac{L}{\ell}\right)=2$ d'où $\textcolor{red}{\boxed{\dfrac{L}{\ell}=\sqrt{2}}}$ (car ce quotient est positif, puisque c'est un quotient de longueurs).
\end{enumerate}


%\begin{center}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1,-2)(8,6)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(6,0)(6,4)(0,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
%\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(6,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(0,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
%\psline(3,0)(3,4)
%\begin{scriptsize}
%\end{scriptsize}
%\psline{<->}(0,4.5)(6,4.5)
%\uput[u](3,4.5){$L$}
%\psline{<->}(6.5,0)(6.5,4)
%\uput[r](6.5,2){$\ell$}
%\psline{<->}(0,-0.5)(3,-0.5)
%\uput[d](1.5,-0.5){$\dfrac{L}{2}$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Application numérique}}\\
Soit une feuille rectangulaire de 1 m$^{2}$ (format $\text{A}_{0}$), respectant la propriété ci-dessus (voir 1.)
\begin{enumerate}
\item %Quelles sont ses dimensions ?
Puisque l'aire vaut 1, on a $L\ell=1$ et, comme $\dfrac{L}{\ell}=\sqrt{2}$, on a $\ell^2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ donc $\ell=\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\textcolor{red}{\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}}}}$.\\
De même  $\textcolor{red}{\boxed{L=\sqrt{\sqrt{2}}}}$.

\item %En coupant cette feuille en deux, on obtient deux feuilles de format $\text{A}_{1}$,puis en coupant cette dernière feuille  en deux, on obtient deux feuilles de format $\text{A}_{2}$, etc. (voir figure)\\
%Quelles sont les dimensions d'une feuille $\text{A}_{4}$ ? Donner les valeurs exactes puis approchées.\\
%Ces dimensions vous sont-elles familières ?
En nommant $L_4$ et $\ell_4$ les longueur et largeur du format $A_4$, on obtient :\\
$\textcolor{red}{\boxed{L_4=\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4}}}$ et $\textcolor{red}{\boxed{\ell_4=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{2}}}}}$.\\
On obtient $L_4\approx 0,21\text{ m}$ et $\ell_4\approx 0,297\text{ m}$ qui sont les valeurs habituelles (approchées) que l'on retient pour le format $A_4$.
%\begin{center}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,4.5)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(6,0)(6,4)(0,4)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(3,0)(3,2)(0,2)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=red!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,2)(1.5,2)(1.5,4)(0,4)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.5,2)(3,2)(3,4)(1.5,4)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.5,4)(0,4)(0,3)(1.5,3)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(0,2)(1.5,2)(1.5,3)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
%\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(6,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(0,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
%\psline(3,0)(3,4)
%\psline(0,2)(3,2)
%\psline(0,4)(3,4)
%\psline(1.5,4)(1.5,2)
%\psline(0,4)(0,2)
%\psline(0,3)(1.5,3)
%\rput[tl](4.44,2.26){$A_1$}
%\rput[tl](1.56,1.3){$A_2$}
%\rput[tl](2.26,3.18){$A_3$}
%\rput[tl](0.7,2.82){$A_4$}
%\rput[tl](6,3.38){$A_0$}
%\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(3,0)
%\psline[linecolor=zzttqq](3,0)(3,2)
%\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(0,2)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(0,0)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(1.5,2)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(1.5,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(0,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,2)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(3,2)
%\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(3,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](3,4)(1.5,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(1.5,2)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(0,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,3)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(1.5,3)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.5,3)(1.5,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(0,2)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(1.5,2)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(1.5,3)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.5,3)(0,3)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
%\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,0)
%\rput[bl](6.08,0.12){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,4)
%\rput[bl](6.08,4.12){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,4)
%\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,0)
%\rput[bl](3.08,0.12){\darkgray{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,2)
%\rput[bl](0.08,2.12){\darkgray{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,2)
%\rput[bl](3.08,2.12){\darkgray{$H$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,2)
%\rput[bl](1.58,2.12){\darkgray{$I$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$J$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$K$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$L$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,4)
%\rput[bl](1.58,4.12){\darkgray{$N$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,3)
%\rput[bl](1.58,3.12){\darkgray{$O$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,3)
%\rput[bl](0.08,3.12){\darkgray{$P$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
\end{enumerate}



\end{enumerate}
\end{multicols}

%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  