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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}


\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{2nde} : devoir sur feuille}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Le parallélogramme $ABCD$ ci-dessous est-il un losange ?\\
%(On a $AB=4\sqrt{5}$, $AO=8$ et $OB=4$)
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(15,8)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(8.94,0)(14.31,7.16)(5.37,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(8.94,0)
\psline[linecolor=zzttqq](8.94,0)(14.31,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](14.31,7.16)(5.37,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](5.37,7.16)(0,0)
\psline(5.37,7.16)(8.94,0)
\psline(0,0)(14.31,7.16)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.94,0)
\uput[d](8.94,0){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.16,3.58)
\rput[bl](7.28,3.78){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.16,-3.58)
\rput[bl](14.44,7.33){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.37,7.16)
\rput[bl](5.49,7.33){\blue{$D$}}
\uput[d](4,0){$4\sqrt{5}$}
\uput[u](4.28,2.34){8}\uput[u](7.96,1.98){4}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
$AO^{2}=8^{2}=64$ ; $AB^{2}=(4\sqrt{5})^{2}=4^{2}\times \sqrt{5}^{2}=16\times 5=80$ ; $OB^{2}=4^{2}=16$.\\
$AO^{2}+OB^{2}=64+16=80=AB^{2}$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AOB est rectangle en O.\\
$ABCD$ est un parallélogramme qui a des diagonales perpendiculaires : c'est donc un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.


\subsection{}
$ABC$ est rectangle en $A$ ; $AB=3$ ; $AC=4$ ; $H$ est le pied de la hauteur du triangle $ABC$ issue de $A$.
%\begin{center}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4.5)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(3,0)(0,4)
%\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=yellow!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.58,1.19)(1.84,0.85)(2.17,1.1)(1.92,1.44)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(3,0)
%\psline[linecolor=zzttqq](3,0)(0,4)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
%\psline(0,0)(1.92,1.44)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
%\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
%\rput[bl](3.08,0.12){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,4)
%\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.92,1.44)
%\rput[bl](2,1.56){\darkgray{$H$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer la longueur $BC$.
$ABC$ est un triangle rectangle. D'après le théorème de Pythagore, $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$ donc $BC=\sqrt{25}=5$.

\item %Calculer la longueur $AH$. (indication : utiliser l'aire du triangle $ABC$)
L'aire du triangle rectangle $ABC$ est \\
$\mathscr{A}(ABC)=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{4\times 3}{2}=6$.\\
On a aussi : $\mathscr{A}(ABC)=\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{5AH}{2}$.\\
On en déduit : $\dfrac{5AH}{2}=6$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AH=\dfrac{12}{5}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Les côtés d'un triangle $IJK$ ont pour longueurs :\\
%$IJ=3+2\sqrt{5}$ ; $JK=\sqrt{78}$ et $IK=3\sqrt{5}-2$.\\
%Que peut-on dire de ce triangle ?
$IJ^{2}=\left(3+2\sqrt{5}\right)^{2}=3^{2}+12\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^{2}\\
=9+12\sqrt{5}+20=29+12\sqrt{5}$.\\
$JK^{2}=\sqrt{78}^{2}=78$.\\
$IK^{2}=\left(3\sqrt{5}-2\right)^{2}=\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2\times 3\sqrt{5}\times 2+2^{2}\\
=45-6\sqrt{5}+4=49-12\sqrt{5}$.\\
On a : $IJ^{2}+IK^{2}=29+12\sqrt{5}+49-12\sqrt{5}=78=IK^{2}$.\\
D'après le théorème de Pythagorte, le triangle $IJK$ est rectangle en J.

\subsection{\textcolor{blue}{Rectangle d'o}r}
\begin{enumerate}
\item Figure :
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(5,0)(5,5)(0,5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(0,5)(8.09,5)(8.09,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(5,0)
\psline[linecolor=zzttqq](5,0)(5,5)
\psline[linecolor=zzttqq](5,5)(0,5)
\psline[linecolor=zzttqq](0,5)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(0,5)
\psline[linecolor=zzttqq](0,5)(8.09,5)
\psline[linecolor=zzttqq](8.09,5)(8.09,0)
\psline[linecolor=zzttqq](8.09,0)(0,0)
\psline(2.5,5)(5,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,0)
\rput[bl](5.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.08,5.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,5)
\rput[bl](0.08,5.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.5,5)
\rput[bl](2.58,5.12){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](8.09,5)
\rput[bl](8.18,5.12){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](8.09,0)
\rput[bl](8.18,0.12){\darkgray{$F$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item voir figure

\item Le côté du carré ABCD est $a$ ; $CI=\dfrac{a}{2}$ ; en appliquant le théorème de Pythagore, on a \\
$IB^{2}=IC^{2}+CB^{2}=\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}+a^{2}=\dfrac{5a^{2}}{4}$ d'où $IB=a\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ après simplification.\\
On en déduit $IE=a\dfrac{\sqrt{5}}2{}$\\\\
La longueur du rectangle vaut alors $DE=DI+IB=\dfrac{a}{2}+a\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.\\
Le nombre $\varphi$ vaut alors : $\varphi=\dfrac{DE}{DA}=\dfrac{\dfrac{a}{2}+a\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{a}=\dfrac{a\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}{a}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}}$


\item% Montrer que $\varphi^{2}=\varphi+1$. 
$\varphi^{2}=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=\dfrac{(1+\sqrt{5})^{2}}{2^{2}}=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{2(3+\sqrt{5})}2\times 2{=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$.\\
$1+\varphi=1+\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{2+1+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.\\
On en déduit que $\varphi^{2}=1+\varphi$.

\item %En déduire que $\dfrac{1}{\varphi}=\varphi -1$.
$\varphi^{2}=1+\varphi$ donne $\varphi^{2}-\varphi=1$ d'où $\varphi(\varphi-1)=1$ et donc $\varphi-1=\dfrac{1}{\varphi}$ en divisant par $\varphi$.

\item %Chercher à quoi a servi ce nombre d'or ailleurs qu'en mathématiques.
$\varphi$ a servi essentiellement en architecture et peinture (voir par exemple \href{http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or}{ici}).
\end{enumerate}

\subsection{}
ABC est un triangle isocèle en A. Le cercle $\mathscr{C}$, de diamètre [AB], coupe [BC] en D et [AC] en E. La perpendiculaire è (AB) passant par C coupe la droite (BE) en F.\\
%\textbf{Objectif} : Démontrer que A, D et F sont alignés, et que (AF) est la médiatrice de [BC]. 

\begin{enumerate}
\item Figure.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-3)(9,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.62,2.76)(4,-1.88)(8.14,-1.46)
\psline(4,-1.88)(8.14,-1.46)
\psplot{2}{9}{(-24.43--4.14*x)/-0.42}
\psline[linecolor=zzttqq](5.62,2.76)(4,-1.88)
\psline[linecolor=zzttqq](4,-1.88)(8.14,-1.46)
\psline[linecolor=zzttqq](8.14,-1.46)(5.62,2.76)
\pscircle(4.81,0.44){2.46}
\psplot{2}{9}{(--6.41-1.62*x)/4.64}
\psplot{2}{9}{(-13.81--1.93*x)/3.24}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4,-1.88)
\rput[bl](4.08,-1.76){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.14,-1.46)
\rput[bl](8.22,-1.34){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](5.62,2.76)
\rput[bl](5.7,2.88){\xdxdff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.81,0.44)
\rput[bl](4.9,0.56){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4,-1.88)
\rput[bl](4.08,-1.76){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6.07,-1.67)
\rput[bl](6.14,-1.56){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.24,0.05)
\rput[bl](7.32,0.18){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.62,2.76)
%\rput[bl](5.7,2.88){\darkgray{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.97,-0.7)
\rput[bl](6.06,-0.58){\darkgray{$F$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item  %Quelle est la nature des triangles AEB et ADB ? 
E et D appartiennent au cercle de diamètre [AB], donc AEB et ADB sont deux triangles rectangles, respectivement en E et D.

\item  %Pourquoi peut-on affirmer que F est l’orthocentre du triangle ABC ?
Comme AED est rectangle en E, (DE) est une hauteur du triangle ABC ; par construction, la droite passant par C et perpendiculaire à [AB] est aussi une hauetr de ABC. F est donc l'intersection de deux hauteurs du triangle ABC, donc F est l'orthocentre de ABC.

\item %Pourquoi peut-on affirmer que (AD) est la médiatrice de [BC]?
Comme ABD est rectangle en D, (AD) est la troisième hauteur du triangle ABC. Comme ABC est isocèle en A, c'est aussi la médiatrice de ABC issue de A.
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que (AF) et (BC) sont perpendiculaires. 
Comme (AD) est une hauteur du triangle ABC, (AD) et (BC) sont perpendiculaires.

\item %En déduire que A, D, et F sont alignés, puis que (AF) est médiatrice de [BC].
F est l'orthocentre du triangle ABC, donc F appartient à la troisième hauteur (AD) du triangle ABC ; les trois points A, F et D sont donc alignés.\\
Les droites (AD) et (AF) sont confondues, donc (AF) est la médiatrice de (AB).
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  