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\thispagestyle{empty}
 
\def\montitre{CONTRÔLE COMMUN \no 3}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
\noindent NOM et Prénom (en capitales d'imprimerie) :\\

\noindent CLASSE : 2\up{nde} \dots\\

\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {mardi 3 juin 2014}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATH\'EMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\


\large{DUR\'EE DE L'\'EPREUVE : \textbf{2 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte \pageref{fin} pages, numérotées de 1 à \pageref{fin} \\ %\pageref{fin}\\
Le sujet est à rendre avec la copie}}\vspace{1cm}\\


\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée}
\vspace{2cm}\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Exercice 1 :
\item Exercice II :
\item Exercice II I:
\item Exercice IV :
\item Exercice V :
\item Exercice VI :
\end{enumerate}
\end{center}
\newpage
\normalsize

\subsection{}
\noindent Soit ABCD un parallélogramme \\
On complètera la figure ci-dessous. On laissera les traits de construction.

\begin{enumerate}
\item Construire E, image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.

\item Construire F, image de D par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\text{AC}}$.

\item Construire G, symétrique de A par rapport à C.

\item Construire le point M tel que $\overrightarrow{\text{EM}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CG}}$.

\item Démontrer que CGFD est un parallélogramme.

\end{enumerate}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{unit=1.4}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(12,6)
\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-2,-2)(12,7)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-27)(12,7.02)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,linewidth=2pt](0,4)(3,5)(2,2)(-1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(3,5)
\psline[linecolor=zzttqq](3,5)(2,2)
\psline[linecolor=zzttqq](2,2)(-1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,1)(0,4)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0,4)
\uput[l](0,4){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](3,5)
\rput[bl](3.08,5.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](2,2)
\uput[r](2,2){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](-1,1)
\uput[d](-1,1){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6,6)
%\rput[bl](6.08,6.12){\darkgray{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1,-1)
%\rput[bl](1.08,-0.88){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4,0)
%\rput[bl](4.08,0.12){\blue{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](11,5)
%\rput[bl](11.08,5.12){\darkgray{$M$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\subsection{}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé ci-dessous (O~;~I~;~J), placer les points A(2~;~2), B(-2~;~-1) et C(-5~;~3).
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.

\item Calculer les longueurs AB, AC et BC.

\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\end{enumerate}

\item Soit E$\left(8~;~\dfrac{13}{2}\right)$..
A, B et E sont-ils alignés ?


\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

\item Quelle est la nature précise de ce parallélogramme ?

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point K défini par $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB}.$.

\item Placer K sur la figure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-10.5)(6,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(-6,-10)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=3,gridlabels=0,gridwidth=1.2pt,subgridwidth=0.8pt](-6,-10)(6,7)
\uput[dl](0,0){0}\uput[dr](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,2)(-2,-1)(-5,3)
%\psline[linecolor=zzttqq](2,2)(-2,-1)
%\psline[linecolor=zzttqq](-2,-1)(-5,3)
%\psline[linecolor=zzttqq](-5,3)(2,2)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,2)
%\rput[bl](2.14,2.19){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,-1)
%\rput[bl](-1.87,-0.8){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-5,3)
%\rput[bl](-4.86,3.18){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1,6)
%\rput[bl](-0.88,6.2){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3,-8)
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=red](-4.33,-0.67)
%\uput[ul](-4.33,-0.67){K}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Une agence de location de véhicules possède un parc de 200 voitures.
Certaines possèdent différentes options :
120  véhicules ont un GPS.
70  véhicules ont un radar de recul.
40  véhicules ont un radar de recul et un GPS.\\

\noindent Un employé prend un véhicule au hasard. On note
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 	R l'événement : \og{} le véhicule a un radar \fg{}.

\item G l'événement : \og{} le véhicule a un GPS \fg{}.

\item S l'événement : \og{} le véhicule n'a ni radar, ni GPS \fg{}.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}

\item Représenter la situation à l'aide d'un schéma.

\item Calculer la probabilité des événements R et G.

\item Décrire par une phrase les événements R $\cap$  G, \\
R $\cup $ G,, $\overline{\text{R}}$ et $\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}$

%\begin{enumerate}
%\item  \og{} le véhicule a un radar et un GPS \fg{}. 
%
%\item \og{} le véhicule a un radar ou un GPS \fg{}.
%
%\item \og{} le véhicule n’a pas de radar \fg{}.
%
%\item \og{} le véhicule n’a ni radar ni GPS \fg{}.
%\end{enumerate}
%
\item  Calculer en justifiant :  $p(\text{R}\cap \text{G})$, $p(\text{R}\cup \text{G})$, $p\left(\overline{\text{R}}\right)$ et $p\left(\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}\right)$

\end{enumerate}
\end{multicols}

\newpage
\subsection{}
Dans sa penderie, Guillaume a 
\begin{itemize}
\item deux pantalons, un noir et un blanc

\item deux vestes, une noire et une blanche

\item trois chemises, deux blanches (une de forme classique et une ajustée) et une noire.

\end{itemize}


Il prend au hasard un pantalon puis une chemise puis une veste. 

\begin{enumerate}
\item Combien de façons a-t-il de s'habiller? (on pourra s'aider d'un arbre) 

\item Calculer la probabilité des évènements suivants: :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item A: \og{} il est habillé tout en noir \fg{}. 

\item B: \og{} il a une veste et un pantalon de couleurs différentes \fg{}. 

\item C: \og{} il ne porte ni chemise noire, ni veste blanche\fg{} 

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{}
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+3$.
\begin{enumerate}

\item  Comment s'appelle la courbe représentative de $f$ ?\\
Est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.

\item Montrer que $f(x)=(x-2)^2-1$.

\item Quelles sont les coordonnées du sommet ?

\item Cette courbe a-t-elle un axe de symétrie ? Si oui, lequel ?

\item Montrer que, pour tout $x$ réel, $f(x)=(x-3)(x-1)$.

\item En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

\item %Utiliser la forme la mieux adaptée de $f(x)$ pour\\

Résoudre :

\begin{enumerate}
\item l'équation $f(x)=3$

\item l'inéquation $f(x)<8$

\item Comment vérifier graphiquement les résultats de cette inéquation (par exemple sur la calculatrice) ?


\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{}
\parbox{10cm}{On s'intéresse à un triangle ABC rectangle en A, d'aire égale à 0,5  cm $^2$.\\
On appelle [AH] la hauteur de ce triangle, issue de A, $h$ la longueur de cette hauteur en cm et $b$ la longueur BC en cm.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $h$ en fonction de $b$.

\item Comment varie $h$  en fonction de $b$ ? Justifier.

\item On sait que $b$ appartient à [4~;~10]. Quelle est la valeur maximale de $h$ ?
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,5)
\pspolygon(0,0)(7,0)(0,4)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.42,0)(0.42,0.42)(0,0.42)(0,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.51,2.65)(1.88,2.44)(2.09,2.8)(1.72,3.02)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(7,0)
\psline[linecolor=zzttqq](7,0)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
\psline(0,0)(1.72,3.02)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,0)
\rput[bl](7.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$C$}}
%\rput[bl](3.5,-0.32){\zzttqq{$c$}}
%\rput[bl](3.64,2.28){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](-0.32,2){\zzttqq{$b$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.72,3.02)
\rput[bl](1.8,3.14){\darkgray{$H$}}
\rput[bl](1.12,1.36){$h$}
%\rput[bl](0.18,0.16){\qqwuqq{$\alpha$}}
%\rput[bl](1.74,2.58){\qqwuqq{$\beta$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}}





\label{fin}
\end{document}  