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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur les probabilités}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{}
Soit $\Omega$ l'univers associé à une expérience aléatoire. A et B sont deux évènements de $\Omega$ tels que $p(\text{A})=0,4$, $p(\text{B})=0,6$ et $p(\text{A}\cap \text{B})=0,2$.

\begin{enumerate}
\item Rappeler ce que signifie la notation $\overline{\text{A}}$

\item Calculer $p\left(\overline{A}\right)$ et $p\left(\text{A}\cup \text{B}\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l’anglais et 15 l’espagnol. 8 étudient les deux langues. 

On choisit un élève au hasard.

On note A l’événement: \og{}l’élève étudie l’anglais\fg{} et E l’événement: \og{}l’élève étudie l’espagnol\fg{}.
\begin{enumerate}
\item Exprimer par une phrase l’événement $\text{A} \cap \text{E}$.

\item Exprimer par une phrase l’événement $\text{A} \cup\text{E}$.

\item Combien d’élèves n’apprennent ni l’anglais ni l’espagnol ?

\item Quel est l’événement contraire de A ?

\item Calculer $p\text{(}A)$, $p(\text{E})$, $p(\text{A}\cap \text{E})$

\end{enumerate}

\subsection{}
On joue avec un dé bien équilibré dodécaédrique (à 12 faces numérotées de 1 à 12) qu’on lance une seule fois et on s’intéresse au nombre inscrit sur la face supérieure.

\begin{enumerate}
\item Quel est l’univers associé à cette expérience ?

\item Pourquoi est-on en situation d’équiprobabilité ?

\item Citer un événement élémentaire, un événement impossible et un événement à trois issues.

\item Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 3 ?
\end{enumerate}
\subsection{}
Pour organiser le passage à l’oral de leur épreuve de langue, les élèves tirent au hasard trois cartons, un dans chacune des trois urnes.

La première urne contient les lettres \og{}A\fg{}, \og{}B\fg{} et \og{}C\fg{}.

La seconde urne contient les nombres \og{}25\fg{} et \og{}27\fg{}.

La dernière urne contient les mots \og{}Matin\fg{} et \og{}Après-midi\fg{}.

Obtenir le tirage (A~;~25~;~Matin) signifie que l’élève passera son oral le 25 juin au matin avec le sujet A.

\begin{enumerate}
\item Décrire la situation à l’aide d’un arbre.

\item Combien y a-t-il de tirages possibles ?

\item Après le tirage on choisit un élève au hasard.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe le matin 

\item Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe le 27 juin 

\item Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit interrogé sur le sujet C ?

\item Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe l’après-midi avec le sujet B ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Une entreprise possède trois usines de fabrication d’alarmes: la première située à Bordeaux, la deuxième à Grenoble et la troisième à Lille. 

Un contrôleur qualité s’intéresse au nombre d’alarmes (défectueuses ou non) produites en mai 2010 dans chacune des trois usines.

Il a relevé les données suivantes :
\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Défectueuses&En bon état&Total\\
\hline
Usine de Bordeaux&160&&3360\\
\hline
Usine de Grenoble&&&1266\\
\hline
Usine de Lille&154&&\\
\hline
Total&380&7900&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\normalsize

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessus.

\item On prend une alarme au hasard dans la production de mai 2010.

On considère les évènements suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item B \og{}l’alarme provient de l’usine de Bordeaux\fg{} ;

\item G \og{}l’alarme provient de l’usine de Grenoble \fg{} ;

\item L \og{}l’alarme provient de l’usine de Lille\fg{} ;

\item D \og{}l’alarme est défectueuse\fg{}
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de B, arrondie au millième.

\item Calculer la probabilité de D.

\item Définir par une phrase l’évènement $\text{B}\cap \text{D}$,  puis calculer $p\left(\text{B}\cap \text{D}\right)$ sous forme de fraction irréductible.

\item Calculer $p\left(\text{B}\cup \text{D}\right)$.
\end{enumerate}


\item Quelle usine semble la plus efficace en terme de qualité de production? Argumenter..

\end{enumerate}

\end{multicols}


%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\setcounter{subsection}{0}
%
%\begin{center}
%\subsection*{\textcolor{red}{Correction}}
%\end{center}
%
%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%\item  $\Omega =\{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 \}$.
%
%\item On est en situation d’équiprobabilité car le dé est bien équilibré ;  chaque issue est donc équiprobable. 
%
%\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item Un événement élémentaire : \og{} Obtenir 11 \fg{} 
%
%\item Un événement impossible : \og{} Obtenir 20 \fg{} 
%
%\item Un événement à trois issues : \og{} Obtenir un nombre supérieur ou égal à 10. 
%\end{enumerate}
%
%\item  \og{} Obtenir un multiple de 3 \fg{} = \{3 ; 6 ; 9 ; 12\}, donc $p\left( \og{} \text{Obtenir un multiple de 3} \fg{}\right) =\dfrac{ 4}{ 12} =\dfrac{ 1}{ 3}$.
%\end{enumerate}
%
%
%
%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%\item $\overline{\text{A}}$ est l'événement contraire de A.
%
%\item $p\left(\overline{\text{A}} \right) = 1 - p \left(A \right) = 1 - 0,4 = 0,6$
%
%$p \left(A\text{ }\cup \text{B} \right) = p \left(A \right) + p \left(B \right) - p \left(A \cap B \right) = 0,4+ 0,6 - 0,2 = 0,8$ .
%\end{enumerate}
%
%
%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%
%\item Arbre :
%\begin{center}
%\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=5mm}
%\pstree[treemode=R]{\Tdot}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$Matin$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$Après-midi$}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$Matin$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$Après-midi$}\tbput{ $$}
%}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$Matin$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$Après-midi$}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$Matin$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$Après-midi$}\tbput{ $$}
%}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$Matin$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$Après-midi$}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$Matin$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$Après-midi$}\tbput{ $$}
%}}}
%\end{center}
%\item Il y a 12 tirages possibles. 
%
%\item 
%
%
%
%\begin{enumerate}
%\item $p \left( \text{\og{} l’élève choisi passe le matin \fg{}} \right) = \frac{1}{ 2}$ 
%
%\item $ p \left( \text{\og{} l’élève choisi passe le 27 juin \fg{}} \right) = \dfrac{1}{2}$
%
%\item  $p \left(\text{ \og{} l’élève choisi soit interrogé sur le sujet C \fg{}} \right) = \dfrac{1}{3}$
%
%\item  $p \left( \text{\og{} l’élève choisi passe l’après-midi avec le sujet B \fg{}} \right) = \dfrac{1}{6}$
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%
%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%\item \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%&Défectueuses &En bon état &Total\\
%\hline
% Usine de Bordeaux& 160& \numprint{3200}&\numprint{ 3360}\\
%\hline
% Usine de Grenoble& 66&\numprint{ 1200}&\numprint{ 1266}\\
%\hline
% Usine de Lille& 154&\numprint{ 3500}&\numprint{ 3654}\\
%\hline
%Total&380&\numprint{7900}&\numprint{8280}\\
%\hline
%\end{tabularx}
%
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item $p \left( B \right) = \dfrac{3360}{ 8280}\approx 0,406$
%
%\item  $p \left( D \right) = 380 8280\approx 0,046$
%
%\item $\text{B} \cap \text{ }D$ est l'événement \og{}L'alarme est défectueuse et provient de Bordeaux\fg{}.
%
%$p \left( \text{B} \cap \text{D} \right) =\dfrac{160}{\numprint{8280}} =\dfrac{4}{207}$.
%
%\item $p \left( \text{B} \cup \text{D} \right) = p \left( \text{B} \right) + p \left( \text{D} \right) - p \left( \text{B} \cap \text{D} \right) =\dfrac{3360}{ 8280}+\dfrac{ 380 }{\numprint{8280}} -\dfrac{ 160}{ 8280}\approx 0,43 $.
%\end{enumerate}
%
%\item Dans chaque usine, on calcule la probabilité qu’une alarme soit défectueuse parmi les alarmes produites dans l’usine, ainsi : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item pour Bordeaux : $\dfrac{160}{\numprint{ 3360}}\approx 4,8\:\% $
%
%\item pour Grenoble : $\dfrac{66}{\numprint{ 1266}}\approx 5,2\:\%$
%
%\item pour Lille : $\dfrac{154}{\numprint{ 3654}}\approx 4,2\:\% $.
%\end{enumerate}
%
%L’usine la plus efficace en terme de production semble donc être celle de Lille.
%
%\end{enumerate}

\label{fin}
 \end{document}  