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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur les vecteurs (1 heure)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On considère  ABC le triangle représenté ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item Construire sur la figure le point D, image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.

\item Construire le point E, image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.
\end{enumerate}\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture*}(-4.5,-3)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(8,7)
\psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=x,dotscale=3,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-3)(8,7)
\begin{scriptsize}
\psdots[linecolor=blue](1,2)
\rput[bl](1.08,2.13){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5,1)
\rput[bl](5.07,1.13){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](2,5)
\rput[bl](2.08,5.12){\blue{$C$}}
\uput[dl](0,0){O}
%\psdots[linecolor=red](6,4)
%\rput[bl](6.08,4.14){\darkgray{$D$}}
%\psdots[linecolor=red](-2,6)
%\rput[bl](-1.91,6.12){\darkgray{$E$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Sur la figure ci-dessous, on a représenté un triangle ABC. Construire  les points M, N, P, Q définis par :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

\item $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

\item $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$.

\item $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$.
\end{enumerate}
Justifier chaque construction.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1.1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-5.5)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-5)(5,4)
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1.1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-5)(5,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,1)(3,0)(1.86,2.98)
\uput[dl](0,0){O}

\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(3,0)
\psline[linecolor=zzttqq](3,0)(1.86,2.98)
\psline[linecolor=zzttqq](1.86,2.98)(1,1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](1.08,1.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.86,2.98)
\rput[bl](1.94,3.1){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.86,2.98)
%\rput[bl](1.94,3.1){\darkgray{$M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.86,1.98)
%\rput[bl](3.94,2.1){\darkgray{$N$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.14,-2.98)
%\rput[bl](4.22,-2.86){\darkgray{$P$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.14,-1.98)
%\rput[bl](2.22,-1.86){\darkgray{$Q$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A(-2~;~3), B(5~;~7) et  C(7~;~8).

\noindent Ces trois points sont-ils alignés ? Justifier.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(4~;~1) et B$\left(-\dfrac{3}{2}~;~6\right)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs OA, OB et AB.

\item En déduire la nature du triangle OAB.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
ABC est un triangle quelconque .

\begin{enumerate}
\item Construire un point D tel que $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$, puis le point J tel que A soit le milieu de [BJ]. 

\item 
\begin{enumerate}
\item Pourquoi a-t-on $\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{AJ}$? 

\item En déduire la nature du quadrilatère DCJA. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%\subsection{}
% ABCD est un parallélogramme de centre O. Par B, on a tracé la parallèle à (AC) et par A la parallèle à (BD).\\
% M et N sont les intersections de ces droites avec la droite (CD).\\
% \noindent Trouver sur la figure tous les vecteurs égaux respectivement à $\overrightarrow{OA}$ ; $\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AC}$. 
%\begin{center}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-3,-1)(9,4)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.02,0.46)(3.48,0.14)(4.88,2.72)(1.42,3.04)
%\psline[linecolor=zzttqq](0.02,0.46)(3.48,0.14)
%\psline[linecolor=zzttqq](3.48,0.14)(4.88,2.72)
%\psline[linecolor=zzttqq](4.88,2.72)(1.42,3.04)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.42,3.04)(0.02,0.46)
%\psline(0.02,0.46)(4.88,2.72)
%\psline(3.48,0.14)(1.42,3.04)
%\psplot{-3}{9}{(-7.18--2.26*x)/4.86}
%\psplot{-3}{9}{(-1.01--2.9*x)/-2.06}
%\psplot{-3}{9}{(--10.97-0.32*x)/3.46}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.02,0.46)
%\rput[bl](0.1,0.58){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.48,0.14)
%\rput[bl](3.56,0.26){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.88,2.72)
%\rput[bl](4.96,2.84){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.42,3.04)
%\rput[bl](1.5,3.16){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.45,1.59)
%\rput[bl](2.52,1.72){\darkgray{$O$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.04,3.36)
%\rput[bl](-1.96,3.48){\darkgray{$M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](8.34,2.4)
%\rput[bl](8.42,2.52){\darkgray{$N$}}
%\psdots(1.05, -0.99)
%\uput[u](1.05, -0.99){P}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\subsection{}
%Soit $VER$ un triangle (voir figure).\\
%
%\begin{enumerate}
%\item Construire T et J, images respectives  du point V par les translations de vecteurs $\overrightarrow{ER}$ et $\overrightarrow{RE}$.
%
%\item Montrer que $\overrightarrow{JV}=\overrightarrow{JT}$.
%
%\item Que peut-on en déduire ?
%
%\end{enumerate}
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-2,0)(5,5)
%%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,0)(5,5)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,,linecolor=blue](1.22,3.38)
%\rput[bl](1.3,3.5){\blue{$V$}}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,,linecolor=blue](0.4,0.56)
%\rput[bl](0.48,0.68){\blue{$E$}}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](2.98,1.36)
%\rput[bl](3.06,1.48){\blue{$R$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.36,2.58)
%%\rput[bl](-1.28,2.7){\darkgray{$D$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.8,4.18)
%%\rput[bl](3.88,4.3){\darkgray{$E$}}
%\pspolygon(1.22,3.38)(0.4,0.56)(2.98,1.36)
%
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%
%\end{center}

%\subsection{}
%Sur la figure ci-dessous, on a représenté deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.\\
%Sur cette figure, représenter le vecteur $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ , puis le vecteur $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
%\begin{pspicture*}(-4,-1)(6,6)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-1)(6,6)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psline{->}(2,0)(5,1)
%\psline{->}(2,0)(0,4)
%%\psline{->}(0,4)(0,4)
%%\psline{->}(5,1)(0,4)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](2,0)
%\rput[bl](2.08,0.12){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](5,1)
%\rput[bl](5.08,1.12){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](0,4)
%\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$C$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,5)
%%\rput[bl](3.08,5.12){\darkgray{$D$}}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3,3)
%%\rput[bl](-2.92,3.12){\darkgray{$E$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient [AC] et [BD] deux diamètres d'un cercle $\mathscr{C}$ .

\begin{enumerate}

\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.

\item Démontrer que $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $ABC$ un triangle et $M$ le point tel que \[\overrightarrow {BM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC}.\]
\begin{enumerate}

\item Montrer à l'aide de la relation de Chasles que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ .

	\item En déduire que $\overrightarrow {AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}$
	\item Soit $N$ le point tel que $\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$.
	
	En déduire que les points $A$, $M$ et $N$ sont alignés.\\
\end{enumerate}



%\subsection{}
%Tracer un triangle équilat eral ABC de côté 4 cm.
%
% Construire le point D vérifiant $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$.
%





\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  
