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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{2nde} : devoir sur feuille}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Le parallélogramme $ABCD$ ci-dessous est-il un losange ?\\
(On a $AB=4\sqrt{5}$, $AO=8$ et $OB=4$)
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(15,8)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(8.94,0)(14.31,7.16)(5.37,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(8.94,0)
\psline[linecolor=zzttqq](8.94,0)(14.31,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](14.31,7.16)(5.37,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](5.37,7.16)(0,0)
\psline(5.37,7.16)(8.94,0)
\psline(0,0)(14.31,7.16)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.94,0)
\uput[d](8.94,0){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.16,3.58)
\rput[bl](7.28,3.78){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.16,-3.58)
\rput[bl](14.44,7.33){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.37,7.16)
\rput[bl](5.49,7.33){\blue{$D$}}
\uput[d](4,0){$4\sqrt{5}$}
\uput[u](4.28,2.34){8}\uput[u](7.96,1.98){4}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{}
$ABC$ est rectangle en $A$ ; $AB=3$ ; $AC=4$ ; $H$ est le pied de la hauteur du triangle $ABC$ issue de $A$.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4.5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(3,0)(0,4)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=yellow!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.58,1.19)(1.84,0.85)(2.17,1.1)(1.92,1.44)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(3,0)
\psline[linecolor=zzttqq](3,0)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
\psline(0,0)(1.92,1.44)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.92,1.44)
\rput[bl](2,1.56){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur $BC$.

\item Calculer la longueur $AH$. (indication : utiliser l'aire du triangle $ABC$)
\end{enumerate}

\subsection{}
Les côtés d'un triangle $IJK$ ont pour longueurs :\\
$IJ=3+2\sqrt{5}$ ; $JK=\sqrt{78}$ et $IK=3\sqrt{5}-2$.\\
Que peut-on dire de ce triangle ?

\subsection{\textcolor{blue}{Rectangle d'o}r}
$ABCD$ est un carré de côté $a$ ; $I$ est le milieu de $[CD]$.

\begin{enumerate}
\item Tracer le cercle de centre $I$ et de rayon $IB$ ; il coupe la droite $(DC)$ en $E$. Placer $E$.

\item Construire alors la point $F$ tel que $ADEF$ soit un rectangle.

\item Calculer le nombre $\varphi$, quotient de la longueur par la largeur du rectangle $ADEF$ ; montrer que $\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. ($\varphi$ est une lettre grecque, qui se lit \og{} phi\fg{})\\
Ce nombre a été appelé nombre d'or par les Grecs.

\item Montrer que $\varphi^{2}=\varphi+1$. 

\item En déduire que $\dfrac{1}{\varphi}=\varphi -1$.

\item Chercher à quoi a servi ce nombre d'or ailleurs qu'en mathématiques.
\end{enumerate}

\subsection{}
ABC est un triangle isocèle en A. Le cercle $\mathscr{C}$, de diamètre [AB], coupe [BC] en D et [AC] en E. La perpendiculaire è (AB) passant par C coupe la droite (BE) en F.\\
\textbf{Objectif} : Démontrer que A, D et F sont alignés, et que (AF) est la médiatrice de [BC]. 

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.

\item 
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature des triangles AEB et ADB ? 

\item  Pourquoi peut-on affirmer que F est l’orthocentre du triangle ABC ?

\item Pourquoi peut-on affirmer que (AD) est la médiatrice de [BC]?
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item Montrer que (AF) et (BC) sont perpendiculaires. 

\item En déduire que A, D, et F sont alignés, puis que (AF) est médiatrice de [BC].

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  