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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction duTD \no 5 (milieux, distances)}}\end{center}
Dans toute la feuille, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$.


\subsection{}
On considère les points $A(2~;~-3)$ et $B(7~;~1)$.\\
%Calculer la longueur $AB$.
$AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(7-2)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{41}}}$

\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Rappeler ce qu'est la médiatrice $d$ d'un segment $[AB]$ pour deux points distincts $A$ et $B$.
La médiatrice $d$ d'un segment $[AB]$ est la droite qui coupe le segment $[AB]$ en son milieu.

\item %Si $M$ appartient à $d$, que peut-on dire des distances $MA$ et $MB$ ?
Si $M$ appartient à $d$, on a $MA=MB$.

\item Soient trois points $A$, $B$ et $M$ distincts tels que $MA=MB$.\\
%À quelle droite appartient $M$ ?
Alors $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.

\item Soient $A(1~;~1)$, $B(6~;~4)$ et $M(8~;~-5)$.\\
%Calculer $MA$ et $MB$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $MA=\sqrt{\left(x_A-x_M\right)^2+\left(y_A-y_M\right)^2}=\sqrt{(8-1)^2+(-5-1)^2}=\sqrt{7^2+(-6)^2}=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{MA=\sqrt{85}}}$

\item $MB=\sqrt{\left(x_B-x_M\right)^2+\left(y_B-y_M\right)^2}=\sqrt{(8-6)^2+(-5-4)^2}=\sqrt{2^2+(-9)^2}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{MB=\sqrt{85}}}$

\end{enumerate}
%Quet-on en déduire ?
$MA=MB$ donc $M$ appartient à la déviatrice de $[AB]$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les points $A(2;- 1)$, $B(4~;~2)$ et $C(1~;~4)$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Faire une figure.
\begin{center}
\psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-2)(5,5)
\uput[d](2,-1){A}
\uput[u](4,2){B}
\uput[u](1,4){C}
\uput[l](1.5,1.5){D}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue!30](2,-1)(4,2)(1,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,-1)(4,2)(1,4)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(5,5)
\psline(1.5,1.5)(4,2)
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(x_B-y_B\right)^2}=\sqrt{(4-2)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(x_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(1-4)^2+(4-2)^2}=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(x_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(1-2)^2+(4-(-1))^2}=\sqrt{(-1)^2+5^2}=\sqrt{1+25}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$


\end{enumerate}

\item %En déduire la nature du triangle $ABC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC^2=\sqrt{26}^2=26$

\item $AB^1+BC^2=\sqrt{13}^2+\sqrt{13}^2=13+13=26$

\item $AC^2=AB^2+BC^2$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.\\
De plus, $AB=BC=\sqrt{13}$ donc le triangle $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{isocèle rectangle}}
\end{enumerate}

\item %Déterminer les coordonnées du point $D$, milieu du segment $[AC]$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_D=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2}$

\item $y_D=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-1+4}{2}=\dfrac{3}{2}$
\end{enumerate}
$D$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)}}$.

\item %Démontrer que le triangle ABD est rectangle en $D$.
$D$ est le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle $ABC$ donc $D$ est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets).\\
On en déduit que $DB=DC=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $BC^2=\sqrt{13}^2=13$

\item $DB^2+DC^2=\left(\dfrac{\sqrt{26}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{26}}{2}\right)^2=\dfrac{26}{4}+\dfrac{26}{4}=\dfrac{52}{4}=13$.

\item On a alors = $BC^2=DB^2+DCù2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $DBC$ est rectangle en D.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les points $A(1~;~3)$, $B(7~;~2)$, $C(4 ~;~-2)$ et $D(-2 ~;~-1)$.
\begin{center}
\psset{unit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(8,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,3)(7,2)(4,-2)(-2,-1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20](1,3)(7,2)(4,-2)(-2,-1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(8,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(8,4)
\uput[u](1,3){A}
\uput[u](7,2){B}
\uput[d](4,-2){C}
\uput[d](-2,-1){D}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item  %Calculer les coordonnées des milieux des segments $[AC]$ et $[BD]$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $M$ le mieux de $[AC]$ : $M\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}~;~\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{1+4}{2}~;~\dfrac{3+(-2)}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$.

\item Soit $M'$ le mieux de $[BD]$ : $M'\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}~;~\dfrac{y_B+y_D}{2}\right)$ donc $M'\left(\dfrac{7+(-2)}{2}~;~\dfrac{2+(-1)}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{M'\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$.
\end{enumerate}

\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
$M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées donc $M=M'$.\\
Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu : c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\end{enumerate}
\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère les points $A( -1~;~0)$, $B(9~;~-2)$, et $C (3~;~4)$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Faire une figure.
Figure :
\begin{center}
\psset{unit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-7)(10,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1,0)(9,-2)(3,4)(4,-1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=orange!20](-1,0)(9,-2)(3,4)
\pscircle(4,-1){5.099}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-7)(10,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-7)(10,5)
\uput[u](-1,0){A}
\uput[dr](9,-2){B}
\uput[u](3,4){C}
\uput[l](4,-1){$M$}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(9-(-1))^2+(-2-0)^2}\\
=\sqrt{10^2+(-2)^2}=\sqrt{100+4}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{104}}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(3-9)^2+(4-(-2))^2}\\
=\sqrt{(-6)^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{72}}}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(3-(-1))^2+(4-0)^2}\\
=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{32}}}$

\item $AB^2=104$ ; $AC^2+BC^2=72+32=104$.\\
$AB^2=AC^2+BC^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en C.


\end{enumerate}

\item On considère le cercle $\mathscr{C}$ de diamètre, $[AB]$.\\
%Déterminer les coordonnées du centre du cercle $\mathscr{C}$ et son rayon.
Notons $M$ le milieu de $[AB]$ :\\
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ donc $M(4~;~-1)$.\\
Le rayon du cercle est $r=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{104}}{2}=\dfrac{\sqrt{4\times 26}}{2}=\dfrac{2\sqrt{26}}{2}\\
=\sqrt{26}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{r=\sqrt{26}}}$.

\item %Le point $C$ appartient-t-il au cercle ? Justifier la réponse.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Première méthode : $MC=\sqrt{\left(x_C-x_M\right)^2+\left(y_M-y_C\right)^2}=\sqrt{(4-3)^2+(-1-4)^2}=\sqrt{1^2+(-5)^2}=\sqrt{1+26}=\sqrt{26}=r$ donc $M$ appartient à ce cercle.

\item $ABC$ est un triangle rectangle, donc son cercle circonscrit (cercle passant par les trois sommets) a pour centre le milieu de l'hypoténuse, donc le cercle de centre $M$ et de rayon $r=\sqrt{26}$ ; $C$ appartient donc à ce cercle.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  