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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{AP : correction de la feuille sur les fonctions, équations}}\end{center}

\subsection{}
On considère les fonctions $f:x\mapsto x^2+x+1$ et $g:x\mapsto\sqrt{x^2+1}$.

%Déterminer les images de 2, -3 et de $2u$ ($u$ étant un réel quelconque).


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(2)=2^2+2+1=\boxed{\textcolor{red}{7}}$

\item $f(-3)=(-3)^2+(-3)+1=9-3+1=\boxed{\textcolor{red}{7}}$

\item $f(2u)=(2u)^2+2u+1=\boxed{\textcolor{red}{4u^2+2u+1}}$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item $g(2)=\sqrt{2^2+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{5}}}$

\item $g(-3)=\sqrt{(-3)^2+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}}}$

\item $f(2u)=\sqrt{(2u)^2+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{4u^2+1}}}$
\end{enumerate}

\end{multicols}


\subsection{}
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f $ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$.
\begin{enumerate}
\item Parmi les points suivants, quels sont ceux qui appartient à $\mathscr{C}$ ?

%\noindent $A(1~;~1,5)$~;~$B(-3~;~-0,2)$~;~$C\left(\sqrt{5}~;~\dfrac{\sqrt{5}+1}{6}\right)$
La courbe représentative  $\mathscr{C}_f$ d'une fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x~;~f(x))$.

\noindent Pour savoir si un point de coordonnées $(x~;~y)$ appartient à $\mathscr{C}_f$, on regarde si $y=f(x)$.\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\left(x_A\right)=f(1)=\dfrac{1+1}{1^2+1}=\dfrac{2}{2}=1\neq y_A$ donc $\boxed{\textcolor{red}{A\notin\mathscr{C}_f}}$.

\item $f\left(x_B\right)=f(-3)=\dfrac{-3+1}{(-3)^2+1}=\dfrac{-2}{10}=-0,2= y_B$ donc $\boxed{\textcolor{red}{B\in\mathscr{C}_f}}$.

\item $f\left(x_C\right)=f(\sqrt{5})=\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}^2+1}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{5+1}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{6}= y_C$ donc $\boxed{\textcolor{red}{C\in\mathscr{C}_f}}$.
\end{enumerate}

\item Les points suivants appartiennent à $\mathscr{C}$ ; Donner l'ordonnée de chacun :\\
%$M(1~;~\cdots)$~;~$N(-5~;~\cdots)$~;~$P\left(\sqrt{2}~;~\cdots\right)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(1)=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M(1~;~1)}}$

\item $f(-5)=\dfrac{-5+1}{(-5)^2+1}=\dfrac{-4}{26}=-\dfrac{2}{13}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{N\left(5~;~-\dfrac{2}{13}\right)}}$.

\item $f(\sqrt{2})=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}^2+1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{2+1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{P\left(\sqrt{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}+1}{3}\right)}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
La température en France se mesure en degrés Celcius ; dans les pays anglo-saxons, elle se mesure en degrés Fahrenheit.

\noindent La formule qui  permet de passer de la température T exprimée en degrés Fahrenheit à la température $t$ en \degre C est une fonction affine de $T$ ; il existe donc deux nombres $a$ et $b$ tels que $t=aT+b$.

\noindent On sait que l'eau gèle à 32 \degre F et bout à 212 \degre F.


\begin{enumerate}
\item %En déduire les valeurs de $a$ et de $b$. 
L'eau gèle à 0 \degre C donc $a\times 32+b=0$.

L'eau bout à 100 \degre C donc $a\times 212+b=100$.

$a$ et $b$ sont donc solutions du système $\boxed{\textcolor{red}{\left\{\begin{array}{l}32a+b=0\\212a+b=100\end{array}\right.}}$

En soustrayant les deux lignes, on obtient $180a=100$ donc $a=\dfrac{100}{180}=\dfrac{5}{9}$.

On obtient alors $b=-32a=-\dfrac{160}{9}$

Les solutions sont $a=\dfrac{9}{20}$ et $b=-\dfrac{160}{9}$.

\noindent %Exprimer alors $t$ en fonction de $T$.
On a alors $t=\dfrac{5}{9}T-\dfrac{160}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5T-160}{9}}}$

\item %Quelle est la température en \degre C quand la température est de 60 \degre F ?
On remplace $T$ par 60 : $t=\dfrac{5\times 60-160}{9}=\dfrac{140}{9}\approx \boxed{\textcolor{red}{15,6}}$ \degre C.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Donner une équation qui a pour solutions les nombres -3~;~-2~;~-1~;~0~;~1 et 2.
Une équation qui a pour solutions les nombres -3~;~-2~;~-1~;~0~;~1 et 2 est par exemple \[\boxed{\textcolor{red}{x(x+3)(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=0}}\]
En effet, en appliquant le théorème du produit nul, on retrouve toutes les solutions exigées.

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet Antilles-Guyane septembre 2001}}
Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,  I,  J),  l'unité est le centimètre.
\begin{enumerate}
\item  Plaçons les points :
$\text{A}(-4~;~5) \qquad \text{B}(2~;~-3) \qquad  \text{C}(-1~;~6)$.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-4.)(3.,7.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0.1](-4.,5.)(2.,-3.)(-1.,6.)
\psline[linecolor=zzttqq](-4.,5.)(2.,-3.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,-3.)(-1.,6.)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.,6.)(-4.,5.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.,5.)
\rput[bl](-3.87987984969,5.17678262574){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,-3.)
\rput[bl](2.10219469943,-2.83641490982){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.,6.)
\rput[bl](-0.874930773853,6.17843231769){\blue{$C$}}
%\rput[bl](-1.37575561983,0.752829819649){\zzttqq{$c$}}
%\rput[bl](0.905779789607,1.64318510138){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](-2.65564133731,5.9280198947){\zzttqq{$b$}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-4.)(3.,7.)
\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(-5,-4)(3,7)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-5.0}{2.0}{(x+19.0000000000)/3.00000000000}

\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item  %Calculer les distances AB, AC et BC (on donnera les valeurs exactes).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{100}=10}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(-3)^2+9^2=\sqrt{9+81}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{90}}}}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}}}$
\end{enumerate}

\item  %Démontrer alors que le triangle ABC est rectangle et préciser en quel sommet.
Le plus grand côté est $AB$.

\noindent On a $AB^2=100$~;~$AC^2+BC^2=10+90=100$.

\noindent On constate que $AB^2=AC^2+BC^2$.

\noindent D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle ABC est rectangle en C.

\item  On considère la fonction affine $f$ r\'telle que $f(x) =  ax + b$ qui vérifie : $f(-4) = 5$  et  $f(-1) = 6$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les coefficients $a$ et $b$.
		$f(-4) = 5\Leftrightarrow -4a+b=5$\\
		$f(-1)=6\Leftrightarrow -a+b=6$\\
		$a$ et $b$ sont alors solutions du système $\left\{\begin{array}{l} -4a+b=5~\left(L_1\right)\\-a+b=6~\left(L_2\right)\end{array}\right.$\\
		On calcule $L_2-L_1$ : on obtient $(-a+b)-(-4a+b)=6-5\Leftrightarrow -a+b+4a-b=1\Leftrightarrow 3a=1\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{3}$.\\
		En remplaçant dans $L_2$, on trouve $b=6+a=6+\dfrac{1}{3}=\dfrac{19}{3}$.
		
		On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{19}{3}}}$
		
		
		\item  %Construire la représentation graphique de $f$.
La représentation graphique de cette fonction affine est une droite. Pour la tracer, on utilise les renseignements sur $f$ : $f(-4) = 5$  et  $f(-1) = 6$
La droite passe donc par les points de cordonnées $A(-4~;~5)$	 et $C(-1~;~6)$ du début de l'exercice


\end{enumerate}
	
\item  %Quelle est l'image par $f$ de $2$ ?
$f(2)=\dfrac{2+19}{3}=\dfrac{21}{3}=\boxed{\textcolor{red}{7}}$.

\item  %On salt que la droite (AC) coupe l'axe des abscisses ers un point E dont l'ordonnée est $0$. Quelle est son abscisse ?
On résout l'équation $f(x)=0$, c'est-à-dire $\dfrac{x+19}{3}=0$.\\
On trouve $x=-19$.\\
Le point E a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{E(-19~;~0)}}$.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  