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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du devoir sur feuille \no 1}}\end{center}

%\emph{Ce travail est à faire sur copie double ; faire attention au soin !}

%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [-3~;~6], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-3.2)(7.5,4.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(7.2,4)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.8pt](-4,-3)(7.2,4)%grille

%\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-4,0)(7,0)%axe horizontal
%\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,4)%axe vertical
%repËre
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[r](0,1){1}\uput[d](1,0){1}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=2pt](-3,1)(-2,-1)(-1,1)(0,2)(1,3)(2,1)(3,0)(4,-2)(4.5,-2.5)(5,-2)(6,2)
\uput[d](7,0){$x$}\uput[l](0,3.8){$y$}
\psdots(-3,1)(6,2)
\uput[ur](1,3){$\mathscr{C}_{f}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](-3,1)(6,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item %Quel est le maximum de $f$ sur [-3~;~6] ? En quelle valeur est-il atteint ?
Le maximum de $f$ sur [-3~;~6] est 3. Il est atteint pour $x=1$.

\item %Quel est le minimum de $f$ sur [-3~;~6] ? En quelle valeur est-il atteint ?
Le minimum de $f$ sur [-3~;~6] est $\boxed{\textcolor{red}{-2,5}}$. Il est atteint pour $\boxed{\textcolor{red}{x=4,5}}$.

\item %Dresser le tableau de variation de $f$ sur [-3~;~6].
Tableau de variation de $f$ sur [-3~;~6] :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-3&&-2&&1&&4,5&&6\\
\hline
\m{f(x)}&\h{1}&\d&-1&\c&\h{3}&\d&-2,5&\c&\h{2}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=1$ (en faisant apparaître les traits de construction nécessaires sur le graphique).
On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses dont les points ont une ordonnée égale à 1. Les solutions d l'équation $f(x)=1$ sont les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe $\mathscr{C}$. On trouve quatre solutions :
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~-1~;~2~;~5,8\}}}$

\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=2$.
On procède de même pour résoudre l'équation $f(x)=2$.

\noindent On trouve $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~1,7~;~6\}}}$.

\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=4$.
Le maximum de la fonction étant 3, l'équation $f(x)=4$ n'a pas de solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la fonction $f$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ est données ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(-7,-5)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-7,-5)(6,7)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-7,0)(6,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-5)(0,7)%axe vertical
\uput[u](1,0){I}
\uput[r](0,1){J}
\uput[ul](0,0){0}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-5)(7,7)

\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red](-6,-2)(-5.6,2)(-4,5)(-3,6)(-2,5)(-1,3)(0,2)(1,0)(2,-3)(3,-4)(3.6,-3)(4,-1)(5,0)
\psdots(-6,-2)(-5.6,2)(-4,5)(-3,6)(-2,5)(-1,3)(0,2)(1,0)(2,-3)(3,-4)(3.6,-3)(4,-1)(5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
L'ensemble de définition de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[-6~;~5]}}$.

\item %Déterminer les images par $f$ des nombres -5~;~\\-3~;~0~;~2 et 4.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-5)=3,4}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-3)=6}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=2}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=-3}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(4)=-1}}$
\end{enumerate}.

\item %Déterminer les antécédents éventuels de -2, de 0, de 6,5 et de 3.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les antécédents de -2 sont approximativement $\boxed{\textcolor{red}{-6}}$~, $\boxed{\textcolor{red}{1,6}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{3,8}}$.

\item Les antécédents de 0 sont approximativement $-\boxed{\textcolor{red}{-5,9}}$, $\boxed{\textcolor{red}{1}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{5}}$.

\item 6,5 n'a \textbf{\textcolor{red}{pas d'antécédent}} car le maximum de $f$ sur [-6~;~5] est 6.

\item Les antécédents de 3 sont approximativement $\boxed{\textcolor{red}{-5,2}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{-1}}$.
\end{enumerate}

\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=4$.
Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=4$ revient à trouver les antécédents de 4.

\noindent On trouve $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-4,6~;~-1,5\right\}}}$.

\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\leqslant -3$ revient à trouver les abscisses des points ayant une ordonnée inférieure ou égale à -3.

\noindent On trouve $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[2~;~3,6]}}$

\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\geqslant -1$.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant -1$ est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-5,9~;~;~1,4]\cup[14~;~5]}}$.

\item %Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x)=k$ admet-elle trois solutions ?
L'équation $f(x)=k$ admet trois solutions si, et seulement si, la droite parallèle à l'axe des abscisses et dont les points ont sur ordonnée $k$ coupe la courbe $\mathscr{C}$ en trois points.
On a : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-2~;~0]}}$.

\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
tableau de variation de la fonction $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-6&&-3&&3&&5\\
\filet
m{f(x)}&-2&\c&\h{6}&\d&-4&\c&\h{0}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

%\columnbreak
\subsection{}
%http://www.yann-angeli.fr/wp-content/uploads/%seconde-7-2010-2011-ctrl-2.pdf
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O~;~I~;~J),
on considère les points A(-1~;~1), B(3~;~3) et C(2~;~4).
\begin{enumerate}
\item %Faire une figure représentant les points A, B et C.
\begin{center}
Figure :
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-1.)(4.,5.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(-1.,1.)(2.,4.)(3.,3.)
\psline(0.,0.)(2.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(-1.,1.)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.,1.)(2.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,4.)(3.,3.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,3.)(0.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,3.)
\rput[bl](3.08,3.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,4.)
\rput[bl](2.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.1,-0.18){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,2.)
\rput[bl](1.08,2.12){\darkgray{$M$}}
%\rput[bl](1.28,1.86){$d$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.,1.)
\rput[bl](-0.92,1.12){\blue{$A$}}
%\rput[bl](-0.28,0.74){\zzttqq{$o$}}
%\rput[bl](0.72,2.28){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](2.26,3.28){\zzttqq{$c$}}
%\rput[bl](1.26,1.74){\zzttqq{$b$}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-1.)(4.,5.)

\psgrid[subgriddiv=1](-2.,-1.)(4.,5.)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}

\item %Déterminer les coordonnées du milieu M de [OC] 
%et du milieu M' de [AB].
Soit M le milieu de [OC].

$x_M=\dfrac{x_0+x_C}{2}=\dfrac{x_C}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1}}$ ; $y_M=\dfrac{y_O+y_C}{2}=\dfrac{y_C}{2}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.

\noindent Donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{M}(1~;~2)}}$.

\noindent Soit M' le milieu de [AB] ; $x_{M'}=\dfrac{x_1+x_B}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1}}$ ert $y_{M'}=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M'(1~;~2)}}$.

\item %Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère OACB ?
M et M' ont les mêmes coordonnées, donc \fbox{\textcolor{red}{M = M'}} ; les diagonales du quadrillent!re OACB ont le même milieu : c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\item %Calculer les distances OA, OC et AC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $OA=\sqrt{\left(x_A-x_O\right)^2+\left(y_A-y_O\right)^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}}}$.

\item $OC=\sqrt{\left(x_C-x_O\right)^2+\left(y_C-y_O\right)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{20}}}$.

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(2-(-1))^2+(4-1)^2}=\sqrt{9+9}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{18}}}$.
\end{enumerate}

\item %Démontrer que le triangle AOC est rectangle en A.
La plus grande longueur est OC

\noindent $OC^2=20$ ; $OA^2+AC^2=2+18=20$ donc $OC^2=OA^2+AC^2$.

\noindent D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle OAC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en A.

\item %Démontrer que OABC est un rectangle, mais pas un carré.
\noindent Le parallélogramme OACB a donc un angle droit en A : c'est donc un \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}.

\noindent $OA\neq OC$ donc ce n'est\textbf{ \textcolor{red}{pas un carré}}.
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 8$ cm et $AC = 6$ cm.
Soit $M$ un point quelconque appartenant au segment $[AC]$.
On construit le rectangle $MNPQ$ tel que les quatre sommets appartiennent au triangle $ABC$ ( voir figure)\\
On pose $AM = x$.
\begin{enumerate}
\item %Dans quel intervalle peut-on choisir $x$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{x\in[0~;~6]}}$.

\item %Calculer $BC$.
On applique le théorème de Pythagore au triangle rectangle ABC : $BC^2=AB^2+AC^2=8^2+6^2=100$ donc $\boxed{\textcolor{red}{BC=\sqrt{100}=10}}$.

\item  %Calculer $AH$ en utilisant l’aire du triangle $ABC$.
L'aire du triangle $ABC$ est $\mathscr{A}(ABC)=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{8\times 6}{2}=\boxed{\textcolor{red}{24}}$.

\noindent La même aire vaut $\mathscr{A}(ABC)=\dfrac{AH\times BC}{2}=5AH$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AH=\dfrac{24}{5}}}$.

\item %Exprimer en fonction de $x$ les côtés du rectangle $MNPQ$ . 
Dans le triangle ABC, les droites $(MQ)$ et $(BC)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a : 

\noindent $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{MQ}{BC}$ dpnc $MQ=\dfrac{AM}{AC}\times BC=\dfrac{x}{6}\times 10=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}x}}$.

\noindent De même, on applique le théorème Thalès au triangle rectangle AHB :

\noindent $\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{MN}{AH}$ donc $MN=\dfrac{CM}{CA}\times AH=\dfrac{6-x}{6}\times \dfrac{24}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4(6-x)}{5}}}$.

\noindent Les côtés du rectangle mesurent donc $\dfrac{5}{3}x$ et $\dfrac{4(6-x)}{5}$.

\item  %Montrer que l’aire de ce rectangle est $8x-\frac43x^2$.
L'aire du rectangle est donc $\mathscr{A}=MN\times MQ=\dfrac{4(6-x)}{5}\times \dfrac{5}{3}x=\dfrac{4x(6-x)}{3}=\dfrac{24x-4x^2}{3}=\boxed{\textcolor{red}{8x-\dfrac{4}{3}x^2}}$.

\item %Calculer l’aire ce rectangle dans les deux cas suivants :\\
Calculons l’aire ce rectangle si $x = 3$.

\noindent $\mathscr{A}=8\times 3-\dfrac{4}{3}\times 3^2=24-12=\boxed{\textcolor{red}{12}}$.

\item %Déterminer $x$ pour que $MNPQ$ soit un carré.
Déterminons $x$ pour que $MNPQ$ soit un carré.

\noindent Il faut que les deux cotés du rectangle soient de même longueur. on doit avoir $\dfrac{4(6-x)}{5}= \dfrac{5}{3}x$.\\
On en déduit, en calculant les produits en croix que :

\noindent $3\times 4(6-x)=5\times 5x$ donc $12(6-x)=25x$ sui donne $72-12x=25x$ donc $72=37x$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{72}{37}}}$.
\end{enumerate}
\begin{pspicture}(-3,0)(6.5,8)
%Triangle ABC
\pspolygon(0,0)(6,0)(0,8)
\uput[dl](0,0){$A$}
\uput[d](6,0){$C$}
\uput[l](0,8){$B$}
%Rectangle MNPQ
\uput[dr](2,0){$M$}
\uput[r](4.56,1.92){$N$}
\uput[l](0,2.667){$Q$}
\uput[r](2.56,4.58667){$P$}
\pspolygon(2,0)(4.56,1.92)(2.56,4.58667)(0,2.667)
\psline{<->}(0,-0.2)(2,-0.2)
\uput[d](1,-0.2){$x$}
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\psdots(3.84,2.88)
\psline(0,0)(3.84,2.88)
\uput[r](3.84,2.88){H}
%Reste à placer les angles droits
\end{pspicture}




\end{multicols}%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  