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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle (ensembles de nombres et intervalles)}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill(1 point)}}
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, $b$ non nul. (c'est du cours !)
 

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill(2,5 points)}}
%Sans utiliser de calculatrice, compléter le tableau par $\in$ ou $\notin$:
\begin{minipage}{13cm}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&$\mathbb{N}$&$\mathbb{Z}$&$\mathbb{D}$&$\mathbb{Q}$&$\mathbb{R}$\\
\hline
$3,2$&$\notin$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$\frac{\sqrt{36}}3=\dfrac{6}{3}=2$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
 $-\frac{36}{4}=-9$&$\notin$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$\dfrac{3}{7}$&$\notin$&$\notin$&$\notin$&$\in$&$\in$\\
\hline
 $2\pi$&$\notin$&$\notin$&$\notin$&$\notin$&$\notin$\\
\hline
\end{tabularx}

\end{minipage}







\subsection{\textcolor{blue}{Inégalités \hfill(3 points)}}
Pour chacun des exercices ci-dessous, traduisez par une ou deux inégalités la proposition indiquée.

\begin{enumerate}[a)]
\item $x\in\left[3~;~7\right]$ équivaut à   $\boxed{\textcolor{red}{3\leqslant x\leqslant 7}}$

\bigskip

\item $x\in\left]-5~;~+\infty\right[$  équivaut à   $\boxed{\textcolor{red}{-5<x}}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $+\infty$ n'est pas un nombre réel, donc l'écriture $<+\infty$ n'a aucun sens, le symbole $<$ servant à comparer deux réels et de toute façon, tous les nombres seraient inférieurs à $+\infty$, donc cela n'apporterait rien !

\bigskip

\item $x\in\left]-1~;~9\right]$  équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{-1<x\leqslant 9}}$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Trouver un intervalle\hfill (4 points)}}
Pour chacun des exercices ci-dessous, écrivez l'appartenance à un intervalle $I$, correspondant à l'inégalité ou les inégalités proposée(s).
\begin{enumerate}[a)]
\item $x>2$  équivaut à  : $\boxed{\textcolor{red}{x\in ]2~;~+\infty[}}$ .

\bigskip

\item $-1<x\leqslant 7$  équivaut à  $\boxed{\textcolor{red}{x\in ]-1~;~7]}}$ .

\bigskip

\item $x\leqslant 1$  équivaut à  $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-\infty~;~1]}}$ 

\bigskip

\item $-1<x<12$  équivaut à  $\boxed{\textcolor{red}{x\in ]-1~;~12[}}$ 
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Réunion et intersection d'intervalles \hfill(3 points)}}
     
\noindent Donner sous forme d'un seul intervalle $I\cap J$ et $I\cup J$.

\begin{enumerate}[a)]
\item $I=\left]-\infty~;~-1\right[$ et $\displaystyle J=\left]-\infty~;~-\frac{2}{3}\right]$.\\
$-\dfrac{2}{3}>-1$ donc $I\subset J$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=I=]-\infty~;~-1[}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=J=\left]-\infty~;~-\frac{2}{3}\right]}}$.

\bigskip

\item $I=\left[1~;~+\infty\right[$ et $\displaystyle J=\left]5~;~7\right]$.\\
$J\subset I$ donc $\boxed{\textcolor{red}{I \cap J =J=]5~;~7]}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=I=\left[1~;~+\infty\right[}}$

\bigskip



\item $I=]-\infty~;~3[$ et $J=[3~;~5]$.\\
3 n'appartient pas à I, donc :\\
$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=\emptyset}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=]-\infty~;~5]}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill(3 points)}}
%Calculer :
On rappelle que la v'la-sur absolue d'un nombre $x$, notée $\left\vert x \right\vert$ est la distance de $x$ à 0, donc c'est un nombre positif.

\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\vert 7-5 \right\vert=\left\vert 2 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.

\bigskip

\item $\left\vert 2-9 \right\vert=\left\vert -7 \right\vert=7$.

\bigskip

\item $\left\vert 3,1415-\pi \right\vert=-(3,1415-\pi)=\boxed{\textcolor{red}{\pi-\numprint{3,1415}}}$ car $\pi>3,1415$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill(3,5 points)}}
Quelles sont toutes les valeurs de $x$ telles que :
\begin{enumerate}


\item $\left\vert x-9 \right\vert=1$ l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{8~;~10\}}}$ car $x$ doit être à une unité de 9.

\item $\left\vert x+2 \right\vert=5$ s'écrit $\left\vert x-(-2) \right\vert=5$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-7~;~3\}}}$ (car $x$ doit être à 5 unités de -2, à gauche ou à droite.)

\item $\left\vert x-2 \right\vert\leqslant 3$ a pour solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-1~;~5]}}$ car la distance de $x$ à 2 doit être inférieure ou égale à 3.

\item $\left\vert x-5 \right\vert\geqslant 2$ a pour solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~3] \cup [7~;~+\infty[}}$ car la distance de $x$ à 5 doit être supérieure ou égale à 2.
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  