\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD \no 12 (valeur absolue)}}\end{center}






\subsection{}
Rappel : $\left\vert x \right\vert=\begin{cases}x\text{ si }x\geqslant 0\\-x\text{ si }x\leqslant 0\end{cases}$\\

Déterminer la valeur du nombre proposé (en expliquant).

\begin{enumerate}[1)]
\item $\vert \pi - 2\vert =\boxed{\textcolor{red}{ \pi-2}}$ car $\pi-2>0$

\item $\vert -23\vert = \boxed{\textcolor{red}{23}}$ car $23<0$

\item  $\vert \sqrt{6} - 5\vert = -\left(\sqrt{6}-5\right)=\boxed{\textcolor{red}{5-\sqrt{6}}} $ car $\sqrt{6}-5<0$

\item  $\vert \pi - 5\vert = -\left(\pi-5\right)=\boxed{\textcolor{red}{5-\pi}}$  car $\pi-5<0$

\item $\vert \sqrt{3} - 3\vert = -\left(\sqrt{3}-3\right)=\boxed{\textcolor{red}{3-\sqrt{3}}} $  car $\sqrt{3}-3<0$

\item $\left\vert \sqrt{3}-\sqrt{2} \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$ car $\sqrt{3}-\sqrt{2}>0$

\item $\left\vert \sqrt{5}-\sqrt{7} \right\vert -\left(\sqrt{5}-\sqrt{7}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}}$ car $\sqrt{5}-\sqrt{7}<0$

\end{enumerate}

\subsection{}
%On rappelle que $\left\vert x \right\vert$ est la distance de $x$ à 0.\\
\noindent Résoudre les équations suivantes :\\

\begin{enumerate}[1)]
\item $\left\vert x \right\vert=7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-7~;~7\}}}$ car la distance de $x$ à 0 doit être égale à 7.

\item $\left\vert x \right\vert=\sqrt{2}$.\\
La distance de $x$ à 0 doit être égale à $\sqrt{2}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{2}~;~\sqrt{2}\right\}}}$

\item $\left\vert x \right\vert=-3$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$ car la valeur absolue d'un nombre ne peut pas être négative.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Soient $a$ et $x$ deux réels : $\left\vert x-a \right\vert$ est la distance entre $a$ et $x$.\\
%Exemple : $\left\vert x-2 \right\vert$ est donc la distance entre 2 et $x$.\\
%$\left\vert x-2 \right\vert=3$ équivaut à dire que la distance entre $x$ et 2 est 3.\\
%\textbf{\textcolor{red}{Graphiquement}} : \\
%\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-3,-1)(6,1)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,yAxis=false]{->}(0,0)(-3,-1)(6,1)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(2,.2)(5,.2)
%\uput[u](3.5,.2){3}
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{<->}(-1,.2)(2,.2)
%\uput[u](.5,.2){3}
%\end{pspicture}
%\noindent On voit que deux nombres sont à une distance égale à 3 de 2 : -1 et 5.\\
%L'équation a deux solutions : -1 et 5.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

\begin{enumerate}[1)]
\item  $\vert x -2\vert =5$ ;\\
La distance de $x$ à 2 doit être égale à 5.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~7\}}}$

\item  $\vert x -12\vert =7$\\
La distance de $x$ à 12 doit être égale à 7.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{5~;~10\}}}$

\item  $\vert x +2\vert =7$ (remarque : $x+2=x-(-2)$)\\
La distance de $x$ à -2 doit être égaler à 7.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-9~;~5\}}}$

\item $\vert x -13\vert =14$ \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~27\}}}$

\item  $\vert x -1\vert =14$ 
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-13~;~15\}}}$

\item  $\vert x -6\vert =-3$ \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$ car la valeur absolue d'un nombre ne peut pas être négative.
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre :

\begin{enumerate}[1)]
\item $\left\vert x-3 \right\vert \leqslant 1$
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(6,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,yAxis=false]{->}(0,0)(-3,-1)(6,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(-2,.2)(1,.2)
\uput[u](2.5,.2){3}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{<->}(1,.2)(4,.2)
\uput[u](-.5,.2){3}
\end{pspicture}
\end{center}
La distance de $x$ à 3  doit être inférieure ou égale à 1, donc on ne peut pas s'éloigner de plus de trois unités de 1.\\\\
Tous les nombres compris entre -2 et 4 conviennent
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-2~;~4]}}$

\item $\left\vert x-2 \right\vert\geqslant 3$\\
La distance de x à 2 doit être supérieure ou égale à 3. Il faut s'éloigner de plus de 3 unités de 2.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(6,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,yAxis=false]{->}(0,0)(-3,-1)(6,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(-1,.2)(2,.2)
\uput[u](3.5,.2){3}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{<->}(2,.2)(5,.2)
\uput[u](-.5,.2){3}
\psframe[fillstyle=vlines](-1,-.1)(5,.1)
\end{pspicture}
\end{center}

$x$ doit être à plus de 3 unités de 2 donc ne doit pas être dans la partie hachurée.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-1] \cup [5~;~+\infty[}}$

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  