\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD \no 20 (inéquations-produits)}}\end{center}


\subsection{}

\begin{enumerate}[a)]
\item %Résoudre l'inéquation $3x+5\leqslant 0$
$3x+5\leqslant 0\iff 3x\leqslant -5\iff x\leqslant -\dfrac{5}{3}$

\item %Résoudre l'inéquation $5x-7\leqslant 0$
$5x-7\leqslant 0\iff 5x\leqslant 7\iff x\leqslant \dfrac{7}{5}$

\item %En utilisant les résultats des deux questions précédentes, compléter le tableau de signes suivant :
Complétons le tableau de signes :

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{5}{3}&&\dfrac{7}{5}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }3x+5&&-&\z&+&\l&+\\
\hline
\text{Signe de }5x-7&&-&\l&-&\z&+\\
\hline
\text{Signe de }(3x+5)(5x-7)&&+&\z&-&\z&+\\
\hline
\end{variations}

\item %En déduire les solutions de l'inéquation \\
D'après le tableau : $(3x+5)(5x-7)\geqslant 0\iff \boxed{\textcolor{red}{x\in\left]-\infty~;~-\dfrac{5}{3}\right] \cup \left]\dfrac{7}{3}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}

\subsection{}



\begin{enumerate}[a)]
\item Résoudre : $(-2x + 1)(6x + 5)> 0$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Étude du signe de $(-2x+1)$ :\\
$-2x+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$\\
$-2x+1>0\Leftrightarrow -2x>-1\Leftrightarrow x<\dfrac{1}{2}$ (l'inégalité change de sens car on divise par -2, négatif).

\item Étude du signe de $6x+5$ :\\
$6x+5=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{6}$\\
$5x+5>0\Leftrightarrow 6x>-5\Leftrightarrow x>-\dfrac{6}{5}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{5}{6}&&\dfrac{1}{2}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }-2x+1&&+&\l&+&\z&-\\
\hline
\text{Signe de }6x+5&&-&\z&+&\l&+\\
\hline
\text{Signe de }(-2x+1)(6x+5)&&-&\z&+&\z&-\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : le produit est Strictement positif sur $\left]-\dfrac{5}{6}~;~\dfrac{1}{2}\right[$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\dfrac{5}{6}~;~\dfrac{1}{2}\right[}}\textbf{}$

\end{enumerate}
\item Résoudre : $(2 - 3x)(4x - 1)\leqslant 0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Étude du signe de $2-3x$ :\\
$2-3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$

\item $x : x\mapsto 2-3x$ est une fonction affine décroissante puisque le coefficient directeur -3 est négatif.\\
Elle prend d'abord des valeurs positives puis négatives, donc $2-3x>0\Leftrightarrow x<\dfrac{2}{3}$

\item Étude du signe de $4x - 1$.\\
$4x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$\\
$4x - 1>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{4}$ (en résolvant l'inéquation en regardant le signe de la fonction affine croissante)

\newpage


\item\textbf{ \textcolor{blue}{Tableau de signes }:}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{1}{4}&&\dfrac{2}{3}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }2-3x&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
\text{Signe de }4x-1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }(2-3x)(4x-1)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}}  : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~\dfrac{1}{4}\right] \cup \left[\dfrac{2}{3}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}



\item Résoudre :  $(5x - 3)(2x + 1) > (2x + 1)(x - 4)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(5x - 3)(2x + 1) > (2x + 1)(x - 4)\Leftrightarrow (5x - 3)(2x + 1) -(2x + 1)(x - 4)>0\\
\Leftrightarrow (2x+1)\left[(5x-3)-(x-4)\right]>0\\
\Leftrightarrow (2x+1)(4x+1)>0$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{1}{2}&&-\dfrac{1}{4}&&\pI\\
\hline
2x+1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
4x+1&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
(2x+1)(4x+1)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}}  : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{2}\right[ \cup \left]-\dfrac{1}{4}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}

\item $\dfrac{3x-4}{2x+3}\geqslant 0$ (trouver d'abord l'ensemble de définition)\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La valeur interdite est $x=-\dfrac{3}{2}$ donc l'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$

\item On renseigne un tableau de signes comme pour un produit ; il faut juste faire attention à la valeur interdite :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{2}&&\dfrac{4}{3}&&\pI\\
\hline
3x-4&&-&\bb&-&\z&+&\\
\hline
2x+3&&-&\bb&-&\l&+&\\
\hline
\dfrac{3x-4}{2x+3}&&+&\bb&-&\l&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}}  : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;-\dfrac{3}{2}\right[ \cup \left[\dfrac{4}{3}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}

\item $\dfrac{1-4x}{x-3}\leqslant -3$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La valeur interdite est 3.

\item Pour $x\neq 3$, $\dfrac{1-4x}{x-3}\leqslant-3\Leftrightarrow \dfrac{1-4x}{x-3}+3\leqslant0\Leftrightarrow \dfrac{1-4x+3(x-3)}{x-3}<0\Leftrightarrow \dfrac{-x-8}{x-3}<0$

\item\textbf{ \textcolor{blue}{Tableau de signes }:}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-8&&&3&&&\pI\\
\hline
-x-8&&+&\z&-&&\bb&&-&\\
\hline
x-3&&-&\l&-&&\bb&&+&\\
\hline
\dfrac{-x-8}{x-3}&&-&\z&+&&\bb&&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}}  : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-8\right] \cup ]3~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}