\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}




\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : TD \no  18 sur les vecteurs (colinéarité)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}	-12\\8\end{pmatrix}$.\\
Sont-ils colinéaires ?

\item Même question avec $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{7}-1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\\sqrt{7}+1\end{pmatrix}$ (calculer le déterminant des deux vecteurs).

\subsection{}
On considère, dans un repère, les points \\
$A(- 2~;~3)$, $B(2~;~1)$ et $C(4~;~0)$\\.

\begin{enumerate}[a)]

\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

\item Calculer le déterminant de ces deux vecteurs.

\item Les points A, B et C sont-ils alignés ?
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\subsection{}
$ABC$ est un triangle quelconque. $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$.
\begin{center}
\psset{unit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\pstGeonode[CurveType=polygon,PosAngle={90,-90,-90},PointSymbol=none](1,5){A}(0,0){B}(6,1){C}
\pstMiddleAB[PosAngle=-180,PointSymbol=x,dotscale=3]{A}{B}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=0,PointSymbol=x,dotscale=3]{A}{C}{J}
\pstLineAB{I}{J}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]

\item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{IA}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{BA}$

\item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AJ}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$

\item 
\begin{enumerate}
\item Compléter : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{I\cdots}+\overrightarrow{\cdots J}$

\item En déduire une relation entre le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ et le vecteur $\overrightarrow{BC}$.

\item À quelle propriété vue au collège cela vous fait-il penser ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $[AB]$ un segment. On veut construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$.\\
Montrer que cette égalité se transforme en \[\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}.\\\]
Construire alors le point $D$.

\subsection{\textcolor{blue}{Trois méthodes pour montrer le même résultat}}
Soit ABCD un rectangle. Soit  E le point du segment [AB] tel que $\text{AE}=\dfrac{2}{3}\text{AB}$ et le point F du segment [BC] tel que $\text{BF} =\dfrac{1}{3}\text{BC}$.\\
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
%\psline(0,0)(7,0)
%\psline(7,0)(7,3)
%\psline(7,3)(0,3)
%\psline(0,3)(0,0)
%\psplot{-1}{8}{(-0--3*x)/7}
%\psplot{-1}{8}{(-4.67--1*x)/2.33}
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$A$}}
%\rput[bl](7.08,0.12){\blue{$B$}}
%\rput[bl](7.08,3.12){\blue{$C$}}
%\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}
%\rput[bl](4.74,0.12){\darkgray{$E$}}
%\rput[bl](7.08,1.12){\darkgray{$F$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,4)
\pstGeonode[CurveType=polygon,PosAngle={-90,-90,90,90},PointSymbol=none](0,0){A}(7,0){B}(7,3){C}(0,3){D}
\pstHomO[HomCoef=.667,PosAngle=-90,PointSymbol=none]{A}{B}[E]
\pstHomO[HomCoef=.333,PosAngle=0,PointSymbol=none]{B}{C}[F]
\pstLineAB{A}{C}
\pstLineAB{E}{F}
\end{pspicture}

\end{center}

\noindent  \textbf{\textcolor{red}{Méthode 1 : solution analytique}}
\begin{enumerate}
\item  Dans le repère $(A~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}})$, quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D, E, F?  

\item  Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AC}}$ et $\overrightarrow{\text{EF}}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ? 
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Méthode 2 : solution vectorielle}}\\
Démontrer (à l'aide de la relation de Chasles) que $\overrightarrow{\text{EF}}= \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{AC}}$. (indication : faire intervenir le point B)

\noindent  Que peut-on en déduire pour les droites (EF) et (AC) ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Méthode 3 : utilisant les configurations}}\\
En utilisant la réciproque du théorème de Thalès, démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.

\subsection{}%https://www.annales2maths.com/2nd-exercices-corriges-vecteurs-colinearite/
On considère trois points $A$ , $B$  et $C$ non alignés d’un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}[1)]
\item Construire les points  $E$ et $F$ tels que :
\[\overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\text{ et } \overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\]

\item  On munit le plan d’un nouveau repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)$.
 
 \begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points  $A$, $B$, $C$, $E$ et $D$ dans ce repère.

\item Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}