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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : Correction du TD \no  14 (factorisations)}}\end{center}

\subsection{}
Factoriser les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]

\item $4x^2 + 4xy + y^2 =(2x)^2+2\times 2x\times y+y^2=a^2+2ab+b^2$ avec $\begin{cases}a=2x\\b=y\end{cases}$  \\
$=(a+b)^2=(2x+y)^2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{4x^2 + 4xy + y^2=(2x+y)^2}}$

\item $16x^2 - 8x + 1 =(4x)^2-2\times 4x\times 1+1^2=a^22ab+b^2$ avec $\begin{cases}a=4x\\b=1\end{cases}\\
=(a-b)^2=(4x-1)^2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{16x^2 - 8x + 1=(4x-1)^2}}$
\item $4x^2 - y^2=(2x)^2-y^2=a^2-b^2$ avec $\begin{cases}\end{cases}\\
=(a+b)(a-b)=(2x+y)(2x-y)$   donc $\boxed{\textcolor{red}{4x^2-y^2=(2x+y)(2x-y)}}$
\item $25-4x^2=5^2-(2x)^2=\boxed{\textcolor{red}{(5+2x)(5-2x)}}$
\item $64x^2-121=(8x)^2-11^2=\boxed{\textcolor{red}{(8x+11)(8x-11)}}$
\item $256x^2+384x+144=16\left(16x^2+24x+9\right)=16\left[(4x)^2+2\times 4x\times 3+3^2\right]=\boxed{\textcolor{red}{16\left(4x+3\right)^2}}$

\item $(x+3)^2-4=(x+3)^-2^2=a^2-b-2$ avec $\begin{cases}a=(x+3)\\b=2\end{cases}\\
=(a+b)(a-b)=\left[(x+3)+2\right]=\left[(x+3)-2\right]=\boxed{\textcolor{red}{(x+5)(x+1)}}$

\item $(3x+8)^2-(5x+2)^2=a^2-b^2$ avec $\begin{cases}a=(3x+8)\\b=(5x+2)\end{cases}\\
=\left[(3x+8)+(5x+2)\right]\left[(3x+8)-(5x+2)\right]=(3x+8+5x+2)(3x+8-5x-2)=\boxed{\textcolor{red}{(8x+10)(-2x+6)}}$.\\
On peut améliorer la factorisation :\\
$(8x+10)(-2x+6)=2(4x+5)\times 2(-x+3)=\boxed{\textcolor{red}{4(4x+5)(-x+3)}}$
\end{enumerate}
\subsection{}
Soit $E(x)=(3x-2)^2-81$.
\begin{enumerate}

\item %Développer, réduire et ordonner $E(x)$.
$E(x)=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2-81=9x^2-12x+9-81=\boxed{\textcolor{red}{9x^2-12x-77}}$

\item %Factoriser $E$.
Pour factoriser $E$, on part de la forme initiale ; on reconnait la différence de deux carrés.\\
$E(x)=(3x-2)^2-81=(3x-2)^2-9^2=a^2-b^2$ avec $\begin{cases}a=(3x-2)\\b=9\end{cases}\\
=(a+b)(a-b)=\left[(3x-2)+9)\right]\left[(3x-2)-9)\right]=\boxed{\textcolor{red}{(3x+7)(3x-11)}}$.\\

\item En choisissant la forme la mieux adaptée, calculer :
\begin{enumerate}

\item Pour calculer $E\left(\dfrac{2}{3}\right)$, on utilise la forme initiale :\\
$E(x)=(3x-2)^2-81$ dnc $E\left(\dfrac{2}{3}\right)=\left(3\times \dfrac{2}{3}-2\right)^2-81=(2-2)^2-81=0-81=\boxed{\textcolor{red}{-81}}$
\item Pour calculer $E\left(\dfrac{11}{3}\right)$, on utilise la forme factorisée :\\
$E(x)=(3x+7)(3x-11)$ donc $E\left(\dfrac{11}{3}\right)=(3\times \dfrac{11}{3}+7)(3\times \dfrac{11}{3}-11)=(11+7)(11-11)=18\times 0=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.

\item Pour calculer $E\left(\sqrt{2}\right)$, on utilise la forme développée :\\
$E(x)=9x^2-12x-77$ donc $E\left(\sqrt{2}\right)=9\times \sqrt{2}^2-12\sqrt{2}-77=9\times 2-12\sqrt{2}-77=18-12\sqrt{2}-77=\boxed{\textcolor{red}{-59-12\sqrt{2}}}$

\item Pour calculer $E\left(-\dfrac{7}{3}\right)$, on utilise la forme factorisée :\\
$(3x+7)(3x-11)$ donc $E\left(-\dfrac{7}{3}\right)=(3\times \left(-\dfrac{7}{3}\right)+7)(3\times \left(-\dfrac{7}{3}\right)-11)=(-7+7)\left(-7+11\right)=0\times (-7+11)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{}
On voudrait factoriser l'expression \\
$A(x)=x^2-5x+6$.
\begin{enumerate}

\item %A-t-elle un facteur commun  ? Est-ce une identité remarquable ?
L'expression n'a aucun facteur commun et n'est pas une identité remarquable.
\item %Factoriser l'expression $x^2-5x+\dfrac{25}{4}$.
$x^2-5x+\dfrac{25}{4}=x^2-2\times x\times \dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\\
=a^2+2ab+b^2$ avec $\begin{cases}a=x\\b=\dfrac{5}{2}\end{cases}\\
=(a+b)^2=\boxed{\textcolor{red}{\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2}}$

\item %En déduire une expression de $x^2-5x$ en fonction de $\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2$ et de $\dfrac{25}{4}$.
On en déduit : $x^2+5x=x^2+5x=\boxed{\textcolor{red}{\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^-\dfrac{25}{4}}}$ 

\item %En déduire une expression de $A(x)=x^2-5x+6$.
On en déduit : $x^2+5x+6=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^-\dfrac{25}{4}+6=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^-\dfrac{25}{4}+\dfrac{24}{4}=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}$

\item %À l'aide des résultats précédents, en déduire une factorisation de $A(x)$.
On reconnaît une différence de deux carrés :\\
$x^2+54x+6=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=a^2-b^2$ avec $\begin{cases}a=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)\\b=\dfrac{1}{2}\end{cases}\\
=(a+b)(a-b)=\left[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right]\left[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right]\\
=(x+3)(x+2)$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{x^2+5x+6=(x+3)(x+2)}}$
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}