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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}.}\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Vecteurs (deuxième partie)}}\end{center}
\tableofcontents



\subsection{\textcolor{blue}{Multiplication d'un vecteur par un réel}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Rappel}}
La norme  (\og{}longueur\fg{}) d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ se note $\vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\vert\vert \overrightarrow{AB} \vert\vert=AB$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et soir $k$ un réel non nul.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $k\overrightarrow{u}$ ont la même direction.

\item Si $k>0$, $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens. Si $k<0$, les deux vecteurs sont de sens contraire.

\item La norme de $k\overrightarrow{u}$ est $\left\vert k \right\vert$ fois celle de $\overrightarrow{u}$.\\
$\vert\vert k\overrightarrow{u} \vert\vert=\left\vert k \right\vert\times \vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert$.
\end{enumerate}

\bigskip
Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ et pour tout réel $k$ : $0\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ et $k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

\end{bclogo}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : 
%\begin{center}
%\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-3.,-1.)(10.,4.)
%\psline{->}(0.,0.)(6.,0.)
%\psline{->}(0.,1.)(9.,1.)
%\psline{->}(0.,2.)(-3.,2.)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
%\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.,0.)
%\rput[bl](6.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,1.)
%\rput[bl](0.08,1.12){\xdxdff{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,2.)
%\rput[bl](0.08,2.12){\xdxdff{$E$}}
%\rput[bl](3.,0.08){$\overrightarrow{u}$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.,1.)
%\rput[bl](9.08,1.12){\darkgray{$D$}}
%\rput[bl](4.5,1.08){$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.,2.)
%\rput[bl](-2.92,2.12){\darkgray{$F$}}
%\rput[bl](-1.5,2.1){$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(10,4)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,4){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90](6,4){B}
\psline{->}(0,4)(6,4)
\uput[u](3,4){$\overrightarrow{u}$}
\pstGeonode[PosAngle=-90](2,2){E}
\pstTranslation[DistCoef=1.5]{A}{B}{E}
\uput[d](5,2){$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$}
\psline{->}(2,2)(11,2)

\pstGeonode[PosAngle=-90](1,0){F}
\pstTranslation[DistCoef=-0.5,PosAngle=-90]{A}{B}{F}
\uput[d](-0.5,0){$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$}
\psline{->}(1,0)(-2,0)

\end{pspicture}

\end{center}


\newpage



\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} si $M$ est le milieu d'un segment $[AB]$, alors $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
\begin{center}
\psset{xunit=,yunit=,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,1)
\psline{->}(0,0)(6,0)
\psdots(0,0)(3,0)(6,0)
\uput[d](0,0){A}\uput[d](3,0){M}\uput[d](6,0){B}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Pour tous réels $k$ et $k'$, pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $k\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$.

\item $k\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$.

\item $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ si, et seulement si, $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\subsection{\textcolor{blue}{Colinéarité de deux vecteurs}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ non nul tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} :  deux vecteurs colinéaires ont la même direction.


\subsubsection{\textcolor{red}{Caractérisation par les coordonnées}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.\\
On appelle \textbf{\textcolor{red}{déterminant}} de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, le nombre $\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=x'y-x'y$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : les coordonnées de $k\overrightarrow{u}$ sont $k\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}.$


\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=0$.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}14\\35\end{pmatrix}$.\\
$\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=2\times 35-5\times 14=0$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires.\\
Il est d'ailleurs évident que $\overrightarrow{v}=7\overrightarrow{u}$ (coordonnées proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité égal à 7).



\subsection{\textcolor{blue}{Parallélisme et alignement}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Droites parallèles}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ distincts.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}
\textbf{\textcolor{blue}{Justification :}} les deux droites sont parallèles signifie qu'elles ont la même direction, donc les deux vecteurs ont la même direction donc donc sont colinéaires.

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} soient $A(2~;~3)$, $B(10~;~5)$, $C(4~;~6)$ et $D(8~;~7)$.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$.\\
Il est clair que $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires : les deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

\subsubsection{\textcolor{red}{Points alignés}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecrteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires (ou $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$).
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : soient $A(2~;~3)$, $B(10~;~5)$ et $E(30~;~10)$.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}$ (exemple précédent).\\
$\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}$.\\
$\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AE}\right)=8\times 7-2\times 28=0$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires.\\
Les trois points $A$, $B$ et $E$ sont donc alignés.

\subsection{\textcolor{blue}{Aire d'un parallélogramme}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $ABCD$ un parallélogramme.\\
Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\\
L'aire du parallélogramme $ABCD$ est $\left\vert \text{dét}\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}\right) \right\vert$.
\end{bclogo}


\label{fin}
\end{document}