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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Valeur absolue d'un nombre}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Valeur absolue d'un nombre}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $x$ un nombre réel. On appelle valeur absolue de $x$, le nombre noté $\left\vert x \right\vert$, défini par $\left\vert x \right\vert=\begin{cases}x\text{ si }x\geqslant 0\\-x\text{ si }x\leqslant 0\end{cases}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
$\left\vert 3 \right\vert=3$~;~$\left\vert -7 \right\vert=-(-7)=7$~;~$\left\vert 0 \right\vert=0$

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Interprétation graphique}} : sur la droite gradués (droite des réels), $\left\vert x \right\vert$ est la distance de $x$ à 0.

\bigskip

\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.5,0)
\uput[u](1.5,0){$x$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(0,0.2)(1.5,0.2)
\uput[u](0.75,0.2){$\left\vert x \right\vert$}
\end{pspicture}

\psset{unit=1}
\medskip
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-0.4,0)
\uput[d](-0.4,0){$x$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(0,0.2)(-0.4,0.2)
\uput[u](-0.2,0.2){$\left\vert x \right\vert$}
\end{pspicture}

En effet, une distance est toujours un nombre positif.

\subsection{\textcolor{blue}{Distance entre deux nombres}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et propriété}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $a$, $x$ et $r$ des nombres avec $r\geqslant 0$.\\
On appelle distance entre $a$ et $x$ le nombre $\left\vert x-a \right\vert$.\\
\psset{unit=1}
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1.2,0)(1.7,0)
\uput[d](1.2,0){$a$}\uput[d](1.7,0){$x$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(1.2,0.2)(1.7,0.2)
\uput[u](1.45,0.2){$\left\vert x-a\right\vert$}

\psline{->}(-2,-1)(2,-1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1.2,-1)(0.5,-1)
\uput[d](1.2,-1){$a$}\uput[d](0.5,-1){$x$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(1.2,-0.8)(0.5,-0.8)
\uput[u](0.85,-0.8){$\left\vert x-a\right\vert$}

\end{pspicture}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\left\vert x-a \right\vert=\left\vert a-x \right\vert$.
\item $x\in[a-r~;~a+r]$ si, et seulement si, $\left\vert x-a \right\vert\leqslant r$.

\bigskip
\psset{unit=1}
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(2.5,1)
\psline{->}(-1.5,0)(2.5,0)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,0)(1,0)
%\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1.8,0)
\uput[d](1.8,0){$a$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1.5,0)(2.1,0)
\uput[d](1.5,0){$a-r$}\uput[d](2.1,0){$a+r$}
\psline[linecolor=red]{<->}(1.5,0.2)(1.8,0.2)\psline[linecolor=red]{<->}(1.8,0.2)(2.1,0.2)
\uput[u](1.65,0.2){r}\uput[u](1.95,0.2){r}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textcolor{red}{\textbf{Exemples}} : 
\begin{enumerate}
\item Quel est l'intervalle auquel appartient $x$ sachant que $\left\vert x-1 \right\vert\leqslant 10^{-3}$ ?

\item Traduire à l'aide d'une valeur absolue la condition $y\in[7~;~7,8]$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Réponses}} :
\begin{enumerate}
\item $\left\vert x-1 \right\vert\leqslant 10^{-3}$  équivaut à $1-10^{-3}\leqslant x\leqslant 1+10^{-3}$ donc $0,999\leqslant x\leqslant 1,001$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x\in[0,999~;~1,001]}}$.

\item $y\in[7~;~7,8]$ équivaut à $y\in[7,4-0,4~;~7,4+0,4]$ puisque $7,4$ est le milieu de cet intervalle.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{ \left\vert y-7,4 \right\vert\leqslant 0,4 }}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  