\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Roman{section}}} \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{section}}\textcolor{blue}{.}\textcolor{blue}{\arabic{subsection}}} %\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{section}}\textcolor{red}{.}\textcolor{red}{\arabic{subsection}\textcolor{red}{-}\Alph{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} %\tableofcontents \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Information chiffrée et statistique descriptive}}\end{center} \section{\textcolor{red}{Proportion et pourcentage}} \subsection{\textcolor{blue}{Proportions}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $A$ un ensemble non vide ayant $n_A$ éléments et $B$ une partie de $A$ ayant $n_B$ éléments.\\ La proportion des éléments de $B$ dans $A$ est le nombre réel $\dfrac{n_B}{n_A}$.\\ \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} . Dans une classe de 35 élèves, 12 suivent un cours d’allemand, 23 suivent un cours d’espagnol et 7 suivent un cours de latin.\\ La proportion d’élèves de la classe suivant un cours d’allemand est $\dfrac{12}{35}$ , la proportion d’élèves de la classe suivant un cours d’espagnol est $\dfrac{23}{35}$ et la proportion d’élèves suivant un cours de latin est $\dfrac{7}{35}=\dfrac{1}{5}$.\\ \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Autre exemple }}: dans la classe de seconde 6, il y a 34 élèves dont 15 garçons et 19 filles.\\ La proportion de garçons est donc $\dfrac{15}{34}$ et celle des filles $\dfrac{19}{34}$. \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} Une proportion est un réel compris entre 0 et 1 car, avec les notations de la définition1,on a $0\leqslant n_B\leqslant n_A$ et donc,en divisant par $n_A >0$, $0\leqslant \dfrac{n_B}{n_A}\leqslant 1$. \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : si $x$ est un nombre, la notation $x\:\%$ signifie $\dfrac{x}{100}$.\\ Pour transformer un nombre en \:\%, on l'écrit comme une fraction avec 100 comme dénominateur.\\ \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : $0,23=\dfrac{23}{100}=23\:\%$. \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercice}} Dans une population, on estime que 5\:\% des individus possèdent un caractère génétique C.\\ Sachant que cette population compte \numprint{2500} individus, combien de personnes possèdent le caractère C ?\\ \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Solution}}\\ Notons $n_C$ le nombre de personnes ayant le caractère $C$ dans la population, alors, $\dfrac{n_C}{\numprint{2500}}=5\:\%=\dfrac{5}{100}$, donc $n_C=\dfrac{5}{100}\times \numprint{2500}=125.$ Il y a donc 125 personnes qui possèdent le caractère C dans cette population. \subsection{\textcolor{blue}{Pourcentage de pourcentage}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} On considère un ensemble non vide $A$. On suppose que $B$ est une partie non vide de $A$ et que $C$ est un partie de $B$.\\ Si la proportion des éléments de $B$ dans $A$ est $p_1$ et la proportion des éléments de $C$ dans $B$ est $p_2$, alors la proportion des éléments de $C$ dans $A$ est $p_1\times p_2$. \end{bclogo} \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :\\ Notons $n_A$, $n_B$ et $n_C$ les nombres d’éléments respectifs de $A$, $B$ et $C$.\\ Alors, par définition , $p_1=\dfrac{n_B} {n_A}$ et $p_2=\dfrac{n_C}{n_B}$.\\ On a donc $\dfrac{n_C}{n_A}= \dfrac{n_C}{n_B}\times \dfrac{n_B}{n_A}=p_2\times p_1=p_1\times p_2$.\\ \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : Sur une année, un musée français a obtenu les chiffres suivants concernant sa fréquentation : 26\:\% des visiteurs du musée ne sont pas français et 32\:\% des visiteurs étrangers ne sont pas des européens.\\ Ici, $A$ est l’ensemble des visiteurs du musée dans l’année, $B$ est l’ensemble des visiteurs étrangers et $C$ est l’ensemble des visiteurs qui ne sont pas européens.\\ On en déduit donc que $\dfrac{26}{100}\times \dfrac{32}{100} =\dfrac{ 53}{625} = 8,32\:\%$ des visiteurs du musée ne sont pas européens. \section{\textcolor{red}{Coefficients multiplicateurs, variations successives, variation réciproque}} \subsection{\textcolor{blue}{Coefficient multiplicateur et taux d'évolution}} \textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : Si une quantité passe d'une valeur initiale à une valeur finale : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item on appelle variation absolue la quantité $\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}$ \item on appelle variation relative ou taux dévolution la quantité $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$ \end{enumerate} \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : En 2020, le SMIC (salaire minimum interprofessionnel de croissance) était de \numprint{1539,42} \euro.\\ En 2021, il est de \numprint{1554,58} \euro.\\ Le taux dévolution est donc $\dfrac{1554,58-1539,42}=\dfrac{15,16}{1539,42}\approx 0,0098=\dfrac{0,98}{100}=0,98\:\%$.\\`Le taux d'évolution (augmentation) du SMIC a été d'environ 0,98\:\% entre 2020 et 2021. \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Appliquer un taux d'évolution $t$ à un nombre revient à le multiplier par $C=1+t$, appelé coefficient multiplicateur. \end{bclogo} \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{red}{Justification}} : soir $x$ un nombre. \\ Le montant de l'évolution est $xt$, donc ce nombre devient $x+xt=\boxed{\textcolor{red}{x(1+t)}}$.\\ \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} ; si $t$ est positif, on a affaire à une augmentation ; si $t$ est négatif, il s'agit d'une diminution. \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : \begin{enumerate}[a) ] \item Un objet coûte 30 \euro{} ; son prix augmente de 3\:\%. Le coefficient multiplicateur est $C=1+\dfrac{3}{100}=1,03$. Le prix devient $30\times 1,03=\boxed{\textcolor{red}{30,90~\text{\euro}}}$. \item La population d'une ville diminue de 1\:\%. Elle est donc multipliée par $C=1-\dfrac{1}{100}=0,99$. \item Un prix passe de 12 \euro{} à 12,36 \euro{}. Quel est le taux d'augmentation ?\\ Si $C$ est le coefficient multiplicateur, on a $12\times C=12,36$, donc $C=\dfrac{12,36}{12}=1,03$.\\ Si $t$ est le taux d'évolution, $C=1+t$ donc $t=0,03=\dfrac{3}{100}$. \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on peut aussi calculer $t$ en calculant $t=\dfrac{\text{Valeur finale}-\text{Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{12,36-12}{12}=\dfrac{0,36}{12}\\ 0,03=\dfrac{3}{100}=3\:\%$, mais on remarque que $\dfrac{12,36-12}{12}\\ =\dfrac{12,36}{12}-\dfrac{12}{12}=C-1$ donc, en fait, c'est le \textbf{\textcolor{red}{même calcul}} ! \item Une année, la population d'une ville est de \numprint{22000} habitants. L'année suivante, elle n'est plus que de \numprint{20900} habitants.\\ Le coefficient multiplicateur est $C=\dfrac{\numprint{20900}}{\numprint{22000}}=0,95$.\\ Si $t$ est le taux, $C=1+t$ d'où $t=C-1=-0,05=-\dfrac{5}{100}=$. Le taux est de $\boxed{\textcolor{red}{-5\:\%}}$. \textbf{\textcolor{red}{La population a baissé de 5\:\%}}. \item Un billet de spectacle est vendu 31,65 \euro{}. Le taux de T.V.A. est de 5,5\:\%. Quel est le prix hors-taxes ?\\ Le coefficient multiplicateur est $C=1+t=1+5,5\:\%=\boxed{\textcolor{red}{1,055}}$.\\ Notons $x$ le prix H.T. (hors-taxes). $x\times C=31,65$. Le prix H.T est $\dfrac{31,65}{1,055}=30~\text{\euro}$. \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Taux d'évolutions successives}} \textbf{\textcolor{red}{Exemple} : } En 2005, un objet avait un prix de 120 \euro. Son prix a augmenté en un an de 3~\%. L'année suivante, son prix augmenté de 2~\%.\\ Quel est alors son prix ?\\ \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Solution}} :\\ Le premier coefficient multiplicateur est $C_1=1+3\:\%=1+\dfrac{3}{100}=1,03$. En 2006, son prix vaut : $120\times C_1=\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)=120\times 1,03=123,6$~\euro. Le deuxième coefficient directeur est $C_2=1+2\:\%=1+\dfrac{2}{100}=1,02$. En 2007, son prix vaut : $123,60\times C_2=120\times 1,03\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=120\times 1,03\times 1,02=126,072\approx \boxed{\textcolor{red}{126,7~\text{\euro}}}$. Cela revient à calculer $120\times C$ en posant $\boxed{\textcolor{red}{C=C_1\times C_2}}$ \noindent On voit que cela revient à multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux.\\ Le nombre $C=C_1\times C_2$ est appelé \textbf{\textcolor{red}{coefficient multiplicateur global}}. \newpage \subsection{\textcolor{blue}{Taux d'évolution réciproque}} \textbf{\textcolor{red}{Exemple}}\\ Un objet coûte 20 \euro. Son prix subit une hausse de 2 ~ \%. \begin{enumerate} \item Quel est son nouveau prix ? \item Quel est le montant de la baisse qu'il doit alors subir pour retrouver sa valeur initiale ? \end{enumerate} \textbf{\textcolor{blue}{Réponses :}}\\ \begin{enumerate} \item Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de t=2~\% est $C=1+2~\%=1,02$.\\ Le nouveau prix est : $20\times 1,02=20,4$. \item Soit $t'$ le taux de baisse ; le coefficient multiplicateur est alors : $C'=1+t$.\\ On doit donc avoir : $20\times C\times C'=20$ d'où, après simplification par 20 :\\ $CC'=1$ et donc : $C'=\dfrac{1}{C}$.\\ Par conséquent : $1+t'=\dfrac{1}{1+t}$.\\ On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{t'=\dfrac{1}{1+t}-1}}=\dfrac{1}{1,02}-1\approx -0,01960$.\\ $t'\approx -\dfrac{1,96}{100}=-1,96~\%$.\\ On dit que le\textbf{ \textcolor{red}{taux d'évolution réciproque}} de $2~\%$ est de $-1,96~\%$. \end{enumerate} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et propriété}} Soit $t$ le taux d'évolution subi par un nombre. On appelle taux d'évolution réciproque le taux $t'$ qu'il faut alors appliquer pour retrouver le nombre de départ. \[\text{On a }: t'=\dfrac{1}{1+t}-1\] \end{bclogo} \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\ Soit $x$ un nombre, qui subit un taux dévolution égal à $t$.\\ Le coefficient multiplicateur est $1+t$, donc la nouvelle valeur est $x(1+t)$.\\ On cherche alors le montant du taux d'évolution $t'$ qui permet de retrouver la valeur $x$ initiale.\\ Le coefficient multiplicateur associé est $1+t'$.\\ On doit donc avoir : $[x(1+t)]\times (1+t')=x$.\\ En simplifiant par $x$, on obtient : $(1+t)(1+t')=1$.\\ On en déduit : $1+t'=\dfrac{1}{1+t}$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{t'=\dfrac{1}{1+t}-1}}$.\\ $t'$ est le \textbf{\textcolor{red}{taux d'évolution réciproque}} du taux $t$\\ \textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }} \begin{enumerate} \item Pour un taux $t=3~\%$, on obtient $t'=\dfrac{1}{1+0,03}-1\approx -0,029\approx -2,9~\%$.\\ Le taux dévolution réciproque de 2~\% est de -2,9~\%. \item Pour un taux $t=-10~\%$, on obtient $t'=\dfrac{1}{1-0,1}-1\approx 0,111\approx 11,1~\%$.\\ Le taux dévolution réciproque d'une baisse de 10~\% est d'environ 11,1~\%. \end{enumerate} \section{\textcolor{red}{Statistiques}} \subsection{\textcolor{blue}{Vocabulaire statistique}} Une étude statistique commence par un recueil de données. On utilise le vocabulaire suivant pour décrire cette étude : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item\textbf{\textcolor{blue}{Série statistique}} : Ensemble des valeurs collectées. \item\textbf{\textcolor{blue}{Population}} : Ensemble sur lequel porte l'étude statistique. \item\textbf{\textcolor{blue}{Individus}} : Éléments qui composent la population. \item\textbf{\textcolor{blue}{échantillon}} : Partie de la population. \item\textbf{\textcolor{blue}{Caractère étudié}} : Propriété que l'on observe sur les individus. Les différentes valeurs obtenues sont appelées \textbf{valeurs du caractère} ou \textbf{modalités}, souvent notées $x_1$, $x_2,\ldots x_p$. On distingue deux types de caractères. \begin{enumerate}[\label=$\diamond$] \item Un caractère peut être \textbf{\textcolor{red}{qualitatif}} (situation de famille, sexe, couleur des yeux, type d'habitation\dots). \item Un caractère peut être \textbf{\textcolor{red}{quantitatif}}. Il est dit \textbf{\textcolor{red}{discret}} lorsqu'il ne prend que des valeurs isolées (nombre d'enfants, notes dans une classe...). \noindent Il est dit \textbf{\textcolor{red}{continu}} lorsqu'il peut prendre théoriquement toutes les valeurs d'un intervalle (taille, temps d'écoute...) ; dans ce cas, les valeurs sont regroupées en intervalles appelés des \textbf{classes}. \end{enumerate} \item\textbf{\textcolor{blue}{Effectif}} : Pour une valeur du caractère (modalité ou classe), on appelle effectif le nombre d'individus de la population ayant cette valeur. On note souvent $n_1$, $n_2,\ldots n_p$ les effectifs respectifs des modalités $x_1$, $x_2,\ldots x_p$. \item\textbf{\textcolor{blue}{Effectif total}} : Nombre total d'individus de la population (ou de l'échantillon). Il est égal à $n_1+n_2+\ldots +n_p$, souvent noté $N$. \item\textbf{\textcolor{blue}{Fréquence}} : Pour une valeur du caractère (modalité ou classe), on appelle fréquence le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total. On note souvent $f_1$, $f_2,\ldots,\ f_p$ les fréquences respectives des modalités $x_1$, $x_2,\ldots x_p$, donc : \[ f_1=\frac{n_1}{N},\ f_2=\frac{n_2}{N},\ldots,\ f_p=\frac{n_p}{N}\, .\] On en déduit que $0\leq f_1\leq 1$, $0\leq f_2\leq 1,\ldots,$ $0\leq f_p\leq 1$, et $f_1+f_2+\ldots f_p=1$. \item\textbf{\textcolor{blue}{Valeurs extrêmes}} : Valeurs minimales et maximales d'un caractère quantitatif. \item\textbf{\textcolor{blue}{Effectif cumulé}} : Pour une valeur $x$ d'une série statistique quantitative, l'effectif cumulé croissant (respectivement décroissant) de $x$ est la somme des effectifs des valeurs inférieures (respectivement supérieures) ou égales à $x$. \item\textbf{\textcolor{blue}{Fréquence cumulée}} : Pour une valeur $x$ d'une série statistique quantitative, la fréquence cumulée croissante (respectivement décroissante) de $x$ est la somme des fréquences des valeurs inférieures (respectivement supérieures) ou égales à $x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textcolor{red}{\textbf{\textcolor{red}{Exemple avec des notes :}}}} \\ Dans le tableau suivant sont regroupées les notes obtenues par les élèves d'une seconde lors du contrôle \no 1 (éventuellement arrondies pour simplifier l'étude) : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabular}{|*{17}{>{\centering}m{.4cm}|}} \hline 4 & 5 & 6 & 6 & 6 & 8 & 8 & 9 & 10 & 11 & 11 & 11 & 12 & 12 & 12 & 12 & 13\tabularnewline \hline 13 & 14 & 14 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 & 17 & 17 & 17 & 17 & 19 & 19 & 19\tabularnewline \hline \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} Dans cet exemple : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item La série statistique est l'ensemble des notes collectées. \item La population est l'ensemble des élèves de seconde . \item Les individus sont chacun des élèves de seconde Turner. \item Le caractère étudié est le résultat obtenu au contrôle \no 1. \item Les modalités sont les valeurs chiffrées des notes obtenues au contrôle \no 1. \item L'effectif total est le nombre d'élèves de la classe, à savoir 34. \item Les valeurs extrêmes sont 4 et 19. \end{enumerate} \smallskip \textbf{\textcolor{red}{Exemple avec des notes :}}\label{exemple notes} Pour une meilleure lisibilité et pour simplifier l'étude, on peut commencer par compter le nombre d'individus ayant obtenu chaque note : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|*{13}{>{\centering}m{.6cm}|}} \hline \textbf{Note} & 4 & 5 & 6 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 16 & 17 & 19\tabularnewline \hline \textbf{Effectif} & 1 & 1 & 3 & 2 & 1 & 1 & 3 & 4 & 2 & 2 & 7 & 4 & 3\tabularnewline \hline \textbf{Fréquence à \boldmath $10^{-2}$ près} & 0,03 & 0,03 & 0,09 & 0,06 & 0,03 & 0,03 & 0,09 & 0,12 & 0,06 & 0,06 & 0,21 & 0,12 & 0,09\tabularnewline \hline \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} Dans le tableau précédent, la somme des fréquences est supérieure à 1 à cause des arrondis. \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Exemple} : série continue}\label{sériecontinue} On a interrogé en 2008 un échantillon de 4812 Français concernant la durée hebdomadaire d'écoute de la télévision (en heures) : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|*{5}{>{\centering}m{1.2cm}|}} \hline \textbf{Durée} & $ [0~;~10[$ & $ [10~;~15[$ & $ [15~;~20[$ & $ 20~;~30[$ & $ 30~;~50]$\tabularnewline \hline \textbf{Effectif} & 972 & 924 & 826 & 1069 & 1021\tabularnewline \hline \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} Le caractère étudié, à savoir la durée d'écoute, est quantitatif continu : il peut prendre théoriquement toutes les valeurs de l'intervalle $[0~;~50]$. Les données sont regroupées en classes $[0~;~10]$, $ [10~;~15[$, $ [15~;~20[$, $ [20~;~30[$ et $[30~;~50]$. \subsection{\textcolor{blue}{Représentations graphiques}} \subsubsection*{\textcolor{blue}{Séries à caractère quantitatif discret}} \subsubsubsection{\textcolor{red}{Diagramme en bâtons}} Dans un \textbf{diagramme en bâtons}, on représente une série statistique discrète par des segments dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif de la valeur qu'ils représentent.\\ \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} On continue à travailler avec les données de l'exemple sur les notes. Voici le diagramme en bâtons de cette série : \begin{center} \begin{pspicture}(-.75,-.75)(15.75,6) \psset{unit=.75} \psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=.2pt,subgriddiv=0](-1,-1)(21,8) \psline(-1,0)(21,0) \psline(0,-1)(0,8) \psdots[dotstyle=x](1,0)(0,1) \rput(1.2,-.3){$I$} \rput(-.3,1.2){$J$} \rput(-.3,-.3){$O$} \psset{linewidth=2pt,linecolor=red} \psline(4,0)(4,1) \psline(5,0)(5,1) \psline(6,0)(6,3) \psline(8,0)(8,2) \psline(9,0)(9,1) \psline(10,0)(10,1) \psline(11,0)(11,3) \psline(12,0)(12,4) \psline(13,0)(13,2) \psline(14,0)(14,2) \psline(16,0)(16,7) \psline(17,0)(17,4) \psline(19,0)(19,3) \rput(5,-.3){5} \rput(10,-.3){10} \rput(15,-.3){15} \rput(20,-.3){20} \rput(-.3,5.1){5} \rput(20.5,.3){Note} \rput(.8,7.75){Effectif} \end{pspicture} \end{center} \subsubsubsection{\textcolor{red}{Diagramme circulaire}} \textbf{Exemple }: \noindent Dans une compétition d'athlétisme, quatre pays s'affontent : la France, l'Allemagne, la Suède et la Norvège. \noindent On note le pourcentage de médailles obtenues par chacun des pays : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Pays&France&Allemagne&Suède&Norvège\\ \hline Pourcentage de médailles&25\:\%&10\:\%&40\:\%&25\:\%\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Représenter le diagramme circulaire associé à cette série statistique : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Pays&Total&France&Allemagne&Suède&Norvège\\ \hline Pourcentage de médailles&100\:\%&25\:\%&10\:\%&40\:\%&25\:\%\\ \hline Angle en \degre&360&90&36&144&90\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \noindent Pour cela, nous avons besoin des angles ; nous les calculons par proportionnalité, sachant que 100\:\% correspondent à 360\degre. \begin{center} \newrgbcolor{dcrutc}{0.862745098039 0.078431372549 0.235294117647} \psset{xunit=2.5cm,yunit=2.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-3.5,-1.5)(3.5,1.5) %\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5) \pscircle[linecolor=dcrutc](0.,0.){2.5} \parametricplot{0.0}{1.5707963267948966}{1.*1.*cos(t)+0.*1.*sin(t)+0.|0.*1.*cos(t)+1.*1.*sin(t)+0.} \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.) \rput[bl](0.023038909529,0.0326021731864){\blue{$O$}} %\rput[bl](-0.501199414991,0.739184262757){\dcrutc{$c$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,0.) \rput[bl](1.02023137465,0.0326021731864){\blue{$A$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,1.) \rput[bl](0.023038909529,1.03549288096){\blue{$B$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.587785252292,0.809016994375) \rput[bl](-0.563880084227,0.841752630598){\blue{$C$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,-1.) \rput[bl](0.023038909529,-0.964590291933){\blue{$D$}} %\rput[bl](0.741017484415,0.744882505415){$d$} \end{scriptsize} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.5}{0}{90} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0,0){2.5}{90}{126}\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.5}{126}{270}\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=red!40](0,0){2.5}{270}{360} \uput[u](0.71, 1.04){France} \uput[ul](-0.33, 1.12){Allemagne}\uput[l](-1.21, -0.41){Suède}\uput[d](0.83, -1.01){Norvège} \end{pspicture*} \end{center} \subsubsubsection{\textcolor{red}{Nuage de points}} Dans un \textbf{nuage de points}, on représente une série statistique discrète par des points dont les abscisses sont les valeurs du caractère, et les ordonnées sont les effectifs correspondants, parfois reliés par des segments. \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} On travaille toujours avec les données de l'exemple sur les notes. Voici le nuage de points de cette série : \begin{center} \begin{pspicture}(-.75,-.75)(15.75,6) \psset{unit=.75} \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(21,8) \psline(-1,0)(21,0) \psline(0,-1)(0,8) \psdots[dotstyle=x](1,0)(0,1) \rput(1.2,-.3){$I$} \rput(-.3,1.2){$J$} \rput(-.3,-.3){$O$} \psdots[linewidth=2pt,linecolor=red,dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](4.02,1)(5.02,1)(6.02,3)(8.02,2)(9.02,1)(10.02,1)(11.02,3)(12.02,4)(13.02,2)(14.02,2)(16.02,7)(17.02,4)(19.02,3) \rput(5,-.3){5} \rput(10,-.3){10} \rput(15,-.3){15} \rput(20,-.3){20} \rput(-.3,5.1){5} \rput(20.5,.3){Note} \rput(.8,7.75){Effectif} \end{pspicture} \end{center} \subsection*{\textcolor{blue}{Séries à caractère quantitatif continu}} \subsubsubsection{\textcolor{red}{Histogramme }} Dans un \textbf{histogramme}, on représente une série statistique continue par des rectangles dont la largeur correspond à l'amplitude de chaque classe et dont l'aire est proportionnelle à l'effectif de la classe. \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} On travaille avec les données de l'exemple sur la durée d'écoute de la télévision. Voici l'histogramme de cette série : %\begin{center} %\begin{pspicture}(-.75,-.75)(15.75,7.5) %\psset{unit=.75} %\psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=.2pt,subgriddiv=0](-1,-1)(21,10) %\psline(-1,0)(21,0) %\psset{linewidth=1pt,linecolor=red} %\psline(0,0)(0,4.86)(4,4.86) %\psline(4,0)(4,9.24)(6,9.24)(6,0) %\psline(6,8.26)(8,8.26)(8,0) %\psline(8,5.345)(12,5.345)(12,0) %\psline(12,2.5525)(20,2.5525)(20,0) %\rput(0,-.3){0} %\rput(4,-.3){10} %\rput(6,-.3){15} %\rput(8,-.3){20} %\rput(12,-.3){30} %\rput(20,-.3){50} %\rput(20.75,.3){Durée} %\rput(17.5,8.5){Unité d'aire :} %\rput(19.5,8.5){50} %\pspolygon(19,8)(20,8)(20,9)(19,9) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{xunit=0.3cm , yunit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-2,-2)(55.1,10.1) \def\xmin{0} \def\xmax{55} \def\ymin{0} \def\ymax{10} \psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(55.1,10.1) \def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}} \def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}} \newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0} \newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745} \newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196} \psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=black,linestyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=red!40](0,0)(10,4.24) \psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=black,linestyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=yellow](10,0)(15,9.24) \psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=black,linestyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](15,0)(20,8.26) \psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=black,linestyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=green!40](20,0)(30,5.345) \psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=black,linestyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=gray!40](30,0)(50,2.5525) \psaxes[labels=x,labelsep=1pt,Dx=2,Dy=1,Ox=\xmin]{-}(\xmin,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \end{pspicture*} \end{center} \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} Lorsque les classes ont toutes la même amplitude, la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe qu'il représente. On dit alors que l'histogramme est à \textbf{pas constant}. \subsubsubsection{\textcolor{red}{Polygone d'effectifs ou de fréquences cumulés}} \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Le \textbf{polygone des effectifs cumulés croissants} (respectivement \textbf{décroissants}) d'une série statistique continue est la ligne brisée qui joint les points du plan dont les abscisses sont les bornes de chaque classe et dont les ordonnées sont les effectifs cumulés croissants (respectivement décroissants) de ces valeurs. \item Le \textbf{polygone des fréquences cumulées croissantes} (respectivement \textbf{décroissantes}) d'une série statistique continue est la ligne brisée qui joint les points du plan dont les abscisses sont les bornes de chaque classe et dont les ordonnées sont les fréquences cumulées croissantes (respectivement décroissantes) de ces valeurs. \end{enumerate} Ces représentations donnent l'allure de la répartition des valeurs de la série. \textbf{Exemple} La situation est toujours celle de l'exemple \ref{sériecontinue}. Le tableau des effectifs cumulés croissants est le suivant : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|*{6}{>{\centering}m{.8cm}|}} \hline \textbf{Durée <} & 0 & 10 & 15 & 20 & 30 & 50\tabularnewline \hline \textbf{Effectif} & 0 & 972 & 1896 & 2722 & 3791 & 4812\tabularnewline \hline \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} D'où le polygone des effectifs cumulés croissants : \begin{center} \begin{pspicture}(-.75,-.8)(15.75,5.6) \psset{xunit=.75,yunit=.001} \multips(0,0)(0,800){9}{\psline[linewidth=.2pt](-1,-800)(21,-800)} \multips(0,0)(1,0){23}{\psline[linewidth=.2pt](-1,-800)(-1,5600)} \psline(-1,0)(21,0) \psline(0,-800)(0,5600) \rput(-.3,-200){$O$} \psline[linewidth=1pt,linecolor=red,dotstyle=x,showpoints=true](0,0)(4,972)(6,1896)(8,2722)(12,3791)(20,4812) \rput(4,-230){10} \rput(8,-230){20} \rput(12,-230){30} \rput(16,-230){40} \rput(20,-230){50} \rput(-.4,840){\small 800} \rput(-.5,1640){\small 1600} \rput(-.5,2440){\small 2400} \rput(-.5,3240){\small 3200} \rput(-.5,4040){\small 4000} \rput(-.5,4840){\small 4800} \rput(20.4,230){Durée} \rput(2.9,5400){Effectifs cumulés croissants} \end{pspicture} \end{center} Traitons à présent le cas des fréquences cumulées décroissantes : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|*{12}{>{\centering}m{.8cm}|}} \hline \textbf{Durée\boldmath\ $\geq$} & 0 & 10 & 15 & 20 & 30 & 50\tabularnewline \hline \textbf{Effectif} & 4812 & 3840 & 2916 & 2090 & 1021 & 0\tabularnewline \hline \textbf{Fréquence} & 1 & 0,8 & 0,61 & 0,43 & 0,21 & 0\tabularnewline \hline \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} D'où le polygone des fréquences cumulées décroissantes : \begin{center} \begin{pspicture}(-.75,-.6)(15.75,6.6) \psset{xunit=.75,yunit=6} \multips(0,0)(0,.1){13}{\psline[linewidth=.2pt](-1,-.1)(21,-.1)} \multips(0,0)(1,0){23}{\psline[linewidth=.2pt](-1,-.1)(-1,1.1)} \psline(-1,0)(21,0) \psline(0,-.1)(0,1.1) \psdots[dotstyle=x](1,0)(0,1) \rput(1.1,-.04){$I$} \rput(-.27,1.03){$J$} \rput(-.3,-.04){$O$} \psline[linewidth=1pt,linecolor=red,dotstyle=x,showpoints=true](0,1)(4,.8)(6,.61)(8,.43)(12,.21)(20,0) \rput(4,-.04){10} \rput(8,-.04){20} \rput(12,-.04){30} \rput(16,-.04){40} \rput(20,-.04){50} \rput(-.4,.2){0,2} \rput(-.4,.4){0,4} \rput(-.4,.6){0,6} \rput(-.4,.8){0,8} \rput(20.4,.04){Durée} \rput(3.7,1.06){Fréquence cumulée décroissante} \end{pspicture} \end{center} \section{\textcolor{red}{Paramètres statistiques}} \subsection{\textcolor{blue}{Paramètres de position}} \subsubsubsection{\textcolor{red}{Mode}} \textbf{\textcolor{red}{Définition}} :\\ Un \textbf{mode} d'une série statistique est une valeur de la série dont l'effectif est strictement supérieur à celui des autres valeurs. \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} Dans une série statistique, il peut y avoir plusieurs modes. \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} Dans l'exemple sur les notes, le mode est 16. \subsubsubsection{\textcolor{red}{Moyenne}} On considère une série statistique donnée par le tableau suivant : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|*{6}{>{\centering}m{.5cm}|}} \hline \textbf{Valeur} & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $\ldots$ & $x_{p-1}$ & $x_p$\tabularnewline \hline \textbf{Effectif} & $n_1$ & $n_2$ & $n_3$ & $\ldots$ & $n_{p-1}$ & $n_p$\tabularnewline \hline \textbf{Fréquence} & $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $\ldots$ & $f_{p-1}$ & $f_p$\tabularnewline \hline \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} La \textbf{moyenne} de cette série statistique est le réel noté $\overline{x}$ défini par \[ \overline{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\ldots+n_px_p}{n_1+n_2+\ldots n_p}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\ldots+n_px_p}{N} \] en notant $N=n_1+n_2+\ldots+n_p$ l'effectif total de la série. \end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} On peut également calculer la moyenne à l'aide des fréquences : \[ \overline{x}=x1f_1+x_2f_2+\ldots+x_pf_p. \] \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} Avec les données de l'exemple \ref{exemple notes}, la moyenne de la classe est : \[ \overline{x}=\dfrac{1\times 4+1\times 5+3\times 6+2\times 8+1\times 9+1\times 10+3\times 11+4\times 12+2\times 13+2\times 14+7\times 16+4\times 17+3\times 19}{34}=\dfrac{434}{34}\] Une valeur approchée de $\overline{x}$ à $10^{-2}$ près est 12,76. \subsubsubsection{\textcolor{red}{Médiane}} \begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} La \textbf{médiane} $M$ d'une série statistique est un réel qui partage cette série en deux parties telles que : \begin{enumerate} \item[$\bullet$] Au moins 50 \% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane ; \item[$\bullet$] Au moins 50 \% des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane. \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} En pratique, on adopte la démarche suivante pour déterminer la médiane $M$ d'une série statistiques d'effectif total $N$ : \begin{enumerate}[label=$\bullet$] \item[$\bullet$] On range d'abord les $N$ valeurs du caractère par ordre croissant. \item[$\bullet$] Si $N$ est pair, $M$ est la moyenne des deux valeurs \og centrales\fg\ de la série. \item[$\bullet$] Si $N$ est impair, $M$ est la valeur centrale de la série. \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} Dans l'exemple \ref{exemple notes}, l'effectif total est 34, c'est-à -dire pair. La médiane est donc la moyenne des deux valeurs centrales de la série, à savoir les 17\ieme\ et 18\ieme\ valeurs. Donc $M=\dfrac{13+13}{2}=13$, ce qui signifie qu'au moins la moitié des notes est inférieure ou égale à 12 (en réalité 18 notes), et qu'au moins la moitié des notes est supérieure ou égale à 12 (en réalité 18 notes également). \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} En France, en 2005, dans le secteur privé et semi-public (SNCF\hspace{-.01cm}, Poste, Caisse d'épargne...), le salaire net mensuel médian est de 1528 \euro, alors que le salaire net mensuel moyen est de 1903,5 \euro. \smallskip \hfill {\small\textit{Source} : \href{http://www.insee.fr/fr/ffc/docs_ffc/ref/salfra07af.pdf}{}. \subsection{\textcolor{blue}{Paramètres de dispersion}} \subsubsubsection{\textcolor{red}{Étendue}} \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} L'\textbf{étendue} d'une série statistique est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur. \end{bclogo} \bigskip \textbf{Exemple} Dans l'exemple sur les notes, l'étendue est égale à $19-4=15$. \newpage \subsubsection*{\textcolor{blue}{Quartiles}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} On considère une série statistique. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Le premier \textbf{quartile} $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 \% des données soient inférieures ou égales à $Q_1$. \item Le troisième \textbf{quartile} $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75 \% des données soient inférieures ou égales à $Q_3$. \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} On considère toujours les données de l'exemple \ref{exemple notes}. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $34\times \dfrac{25}{100}=8,5$ donc le premier quartile $Q_1$ de la série est la 9\ieme valeur, d'où $Q_1=10$, ce qui signifie qu'au moins un quart des notes sont inférieures ou égales à 10 (en réalité 9 notes, soit environ 26 \%). \item $34\times\dfrac{75}{100}=25,5$ donc le troisième quartile $Q_3$ de la série est la 26\ieme\ valeur, d'où $Q_3=16$, ce qui signifie qu'au moins trois quarts des notes sont inférieures ou égales à 16 (en réalité 27 notes, soit environ 79 \%). \end{enumerate} \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} Le fait que le partage théorique en 25 \%, 50 \% et 75 \% de la série statistique à l'aide des indicateurs $Q_1$, $M$ et $Q_3$ ne soit pas tout à fait exact provient du fait que la série comporte des valeurs identiques. Ce phénomène a tendance à s'amoindrir lors d'une étude sur une population plus importante avec un caractère dont les modalités sont plus disparates. \subsubsubsection{\textcolor{red}{Écart interquartile}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} On considère une série statistique de premier quartile $Q_1$ et de troisième quartile $Q_3$. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item On appelle \textbf{intervalle interquartile} l'intervalle $[Q_1~;~Q_3]$. \item On appelle \textbf{écart interquartile} la différence $Q_3-Q_1$. \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} Dans l'exemple \ref{exemple notes}, l'intervalle interquartile est $[10~;~16]$ et l'écart interquartile est $Q_3-Q_1=16-10=6$. %\newpage %\section{\textcolor{red}{Fluctuation d'échantillonnage}} % %\subsection{\textcolor{blue}{Intervalle de fluctuation}} % % %Lorsqu'on étudie un caractère d'une population, la connaissance de la population entière n'est pas toujours envisageable. \\ %On doit alors se contenter de la connaissance d'une partie, convenablement choisie, de cette population qu'on appelle alors échantillon. % %\bigskip % %\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} %On appelle échantillon de taille $n$ un sous-ensemble de la population, c'est-à-dire la liste de $n$ résultats obtenus par répétition de $n$ expériences indépendantes. %\end{bclogo} % %\bigskip % %\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}} %\begin{itemize} %\item On lance 100 fois un dé et on note la liste des 100 résultats. % %\item On prélève 100 ampoules d'une chaîne de fabrication et on note si elles sont conformes ou pas. % %\item On interroge 100 personnes et on note leur boisson au petit-déjeuner. % %\item Une urne contient des boules vertes, rouges et bleues.\\ %On tire au hasard une boule de l'urne, on note sa couleur puis on la remet, et on répète ceci 4 fois de suite. \\ %On obtient alors un échantillon de taille 4, par exemple V-R-B- V. %\end{itemize} % %\bigskip % %\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} Si on réalise plusieurs fois de suite une même expérience, on n'obtiendra pas à chaque fois la même liste de résultats.\\ %Imaginons que chaque élève de la classe lance trente fois une pièce de monnaie, regarde les résultats Pile ou Fac et calcule la fréquence d'apparition du résultats \og{}Pile\fg.\\ %Les résultats risquent d'être différents d'un élève à l'autre.\\ %C'est ce qu'on appelle fluctuation d'échantillonnage. %Pour dix échantillons, on pourrait par exemple obtenir : %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline %Échantillon&1&21314&5&6&7&8&9&10\\ %\hline %Fréquence&0.47 &0.63 &0.47 &0.53 &0.60 &0.57 &0.37 &0.53 \\ %\hline %\end{tabularx} %\end{center} % %\bigskip %Diagramme : %\begin{center} %\psset{xunit=1.0cm,yunit=5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} %\begin{pspicture*}(-1,-0.2)(11,1) %\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-0.2)(11,1) %\begin{scriptsize} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0.47)(2,0.63)(3,0.47)(4,0.53)(5,0.60)(6,0.57)(7,0.57)(8,0.37)(9,0.53)(10,0.47) %\psline(1,0.47)(2,0.63) %\psline(2,0.63)(3,0.47) %\psline(3,0.47)(4,0.53) %\psline(4,0.53)(5,0.60) %\psline(5,0.60)(6,0.57) %\psline(6,0.57)(7,0.57) %\psline(7,0.57)(8,0.37) %\psline(8,0.37)(9,0.53) %\psline(9,0.53)(10,0.47) %\end{scriptsize} %\end{pspicture*} %\end{center} %\bigskip % %\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} %On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire (dont le résultat survient au hasard) qui n'a que deux issues possibles.\\ %(Jakob Bernoulli, mathématicien suisse, 1654-1705) %\end{bclogo} % %\bigskip % %\textbf{\textcolor{red}{Intervalle de fluctuation}} % %On étudie un échantillon d'épreuves de Bernoulli et on s'intéresse à l'une des deux issues (par exemple, obtenir Pile dans un tirage de Pile ou Face).\\ %On note $p$ la probabilité que cette issue se réalise. % % %\bigskip % %\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} %Si on analyse un grand nombre d'échantillons de taille $n$ $(n\geqslant 25)$ et que l'on observe à chaque fois la fréquence d'apparition $f$ de l'issue choisie, si la probabilité $p$ est comprise entre 0,2 et 0,8, au moins 95\:\% des fréquences se situent dans un intervalle $I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$. %\end{bclogo} % %\bigskip % %Cela signifie qu'il est rare (5\:\%) des cas de trouver un échantillon dans lequel la fréquence n'est pas dans l'intervalle de fluctuation. On peut alors considérer que cet échantillon n'est pas \og{}normal\fg{} avec un risque de se tromper assez faible (5\:\% des cas). % % %\bigskip % %\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : on lance 100 fois 100 dés et on note pour chaque série de 100 lancers la fréquence d'apparition de Pile.\\ %$f=0,5$, $\sqrt{100}=10$ donc l'intervalle de fluctuation est $\left[0,4~;~0,6\right]$ %\begin{center} %\psset{xunit=0.15,yunit=7} %\begin{pspicture}(-15,-0.1)(105,1.1) %\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(100,1) % %\psdots(1 ,0.58)(2 ,0.54)(3 ,0.38)(4 ,0.49)(5 ,0.49)(6 ,0.52)(7 ,0.49)(8 ,0.5)(9 ,0.43)(10 ,0.54)(11 ,0.53)(12 ,0.5)(13 ,0.53)(14 ,0.52)(15 ,0.5)(16 ,0.54)(17 ,0.41)(18 ,0.56)(19 ,0.59)(20 ,0.5)(21 ,0.59)(22 ,0.55)(23 ,0.54)(24 ,0.48)(25 ,0.54)(26 ,0.46)(27 ,0.58)(28 ,0.52)(29 ,0.58)(30 ,0.41)(31 ,0.52)(32 ,0.57)(33 ,0.65)(34 ,0.52)(35 ,0.51)(36 ,0.53)(37 ,0.52)(38 ,0.47)(39 ,0.53)(40 ,0.46)(41 ,0.54)(42 ,0.56)(43 ,0.42)(44 ,0.5)(45 ,0.56)(46 ,0.54)(47 ,0.55)(48 ,0.52)(49 ,0.5)(50 ,0.51)(51 ,0.55)(52 ,0.52)(53 ,0.42)(54 ,0.47)(55 ,0.43)(56 ,0.57)(57 ,0.48)(58 ,0.48)(59 ,0.54)(60 ,0.56)(61 ,0.55)(62 ,0.53)(63 ,0.54)(64 ,0.48)(65 ,0.51)(66 ,0.54)(67 ,0.44)(68 ,0.48)(69 ,0.52)(70 ,0.53)(71 ,0.45)(72 ,0.57)(73 ,0.5)(74 ,0.53)(75 ,0.58)(76 ,0.49)(77 ,0.56)(78 ,0.63)(79 ,0.47)(80 ,0.52)(81 ,0.46)(82 ,0.47)(83 ,0.47)(84 ,0.53)(85 ,0.49)(86 ,0.52)(87 ,0.48)(88 ,0.56)(89 ,0.51)(90 ,0.6)(91 ,0.46)(92 ,0.52)(93 ,0.66)(94 ,0.49)(95 ,0.49)(96 ,0.51)(97 ,0.56)(98 ,0.49)(99 ,0.52)(100 ,0.49) %\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,0.4)(100,0.4) %\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,0.6)(100,0.6) %\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,0.5)(100,0.5) %\uput[u](0,1){Fréquence} %\end{pspicture} %\end{center} % %\subsection{\textcolor{blue}{Estimation d'une proportion}} %On cherche une estimation d'une proportion dans une population statistiquement inconnue, à partir d'un échantillon (c'est le principe des sondages).\\ % %\bigskip %\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : On s'intéresse à la proportion $P$ d'un caractère dans une population. \\ %Cette proportion $P$ est supposée inconnue mais on sait que dans un échantillon de taille 100, la fréquence mesurée du caractère est $f= 0.58$. \\ % %Question: Quelle est une estimation de $P$ ?\\ % %\textbf{\textcolor{red}{Réponse: }}\\ % %On peut penser que $P$ est du même ordre de grandeur que $f$ ;\\ %Comme $0,2\leqslant p\leqslant 0,8$ et $n = 100\geqslant 25$ donc dans 95\:\% des cas au moins, $f\in\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{100}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right]$ donc il vient : %$p-\dfrac{1}{\sqrt{100}}\leqslant 0,58\leqslant p+\dfrac{1}{\sqrt{100}}$\\ %$p-\dfrac{1}{\sqrt{100}}\leqslant 0,58$ donne $p\leqslant 0,58+\dfrac{1}{\sqrt{100}}=0,68$\\ %$0,58\leqslant p+\dfrac{1}{\sqrt{100}}$ donne $0,58-\dfrac{1}{\sqrt{100}}\leqslant p$ donc $0,48\leqslant p$.\\ %Ainsi $\boxed{\textcolor{red}{p\in[0,48~;~0,58]}}$. % %\bigskip % %\textbf{\textcolor{red}{Cas général :}}\\ %Si $0,2\leqslant p\leqslant 0,8$ et $n\geqslant 25$, alors, dans 95\:\% des cas, $p\in\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.\\ %Cet intervalle est appelé \textbf{intervalle de confiance} au seuil de 95\:\%. % % %\bigskip % %\textbf{\textcolor{red}{Résumé}}\\ % %\bigskip % %\begin{tabular}{|p{8cm}|p{8cm}|} % \hline %Intervalle de fluctuation au seuilvde 95\:\%&Intervalle de confiance au seuil de 95\:\%\\ %\hline %\textbf{On connaît} : la proportion $p$ des individus ayant un caractère donné au sein d'une population&\textbf{On connaît} : la proportion $f$ des individus ayant un caractère donné au sein d'un échantillon de taille $n$ de la population.\\ %\hline %\textbf{On cherche} : à savoir si un échantillon de taille $n$ dans lequel la fréquence $f$ de ce caractère est , est normal.&\textbf{On cherche} : à estimer la proportion $p$ des individus ayant ce caractère donné au sein de la population totale.\\ %\hline %Probablement si $f\in\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$&Probablement que $p\in\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$\\ %\hline % %\end{tabular} % % %\bigskip %\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} %Le parti d’un candidat commande un sondage réalisé à partir de \numprint{1600} personnes à l’issue duquel il est donné gagnant avec 52\:\% des voix.\\ %A-t-il des raisons d’être confiant ?\\ % %\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Réponse :}}\\ %Soit $p$ la proportion de gens votant pour lui ; il est élu si $p\geqslant 0,5$.\\ %D'près l'intervalle de confiance, $p\in\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1600}}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1600}}}\right]=[0,495~;~0,545]$ au seuil de 95\%, donc il n'est pas sûr d'être élu. \label{fin} \end{document}