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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Inéquations}}\end{center}

\tableofcontents



\subsection{\textcolor{blue}{Comparaison de deux nombres}}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$a<b\Leftrightarrow b-a>0$
\end{bclogo}

\end{minipage}

Pour comparer deux nombres (c'est-à-dire savoir lequel est le plus grand), on étudie le signe de la différence.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Quelques règles sur les inégalités}}

\subsection{\textcolor{blue}{Règle de l’addition et soustraction}}

\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle 1}}
 Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels alors :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant  b \Leftrightarrow  a + c \leqslant  b + c$

\item $a\leqslant b \Leftrightarrow  a - c \leqslant  b - c$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $2x+4\leqslant0\iff 2x+4\textcolor{red}{\mathbf{-4}}\leqslant0\textcolor{red}{\mathbf{-4}}\iff 2x\leqslant-4$

\item $3x-2<-3\iff 3x-2\textcolor{red}{\mathbf{+2}}<-3\textcolor{red}{\mathbf{+2}}\iff 3x<-1$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Règles de la multiplication et division}}

\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle 2}}
        Soient $a$, $b$ deux réels et $c$ un réel \textbf{positif} alors  :
        \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant b \iff  a \times  c \leqslant b \times  c$

\item $a \leqslant b\text{ et }c\neq 0 \iff  \dfrac{a}{c} \leqslant \dfrac{b}{c}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : puisque $a\leqslant b$ : $b-a\geqslant 0$.

Pour comparer les deux nombres, on étudie le signe de leur différence :

Alors $bc-ac=c(b-a)\geqslant 0$ car $b-a\geqslant 0$ et $a\geqslant 0$, donc $\boxed{\textcolor{red}{ac\leqslant bc}}$.

\textbf{\textcolor{red}{De même}} : $\dfrac{b}{c}-\dfrac{a}{c}=\dfrac{b-a}{c}\geqslant 0$. Puisque $b-a\geqslant 0$ et $c\geqslant 0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a}{c}\leqslant \dfrac{b}{c}}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x>7\Leftrightarrow 2x\textcolor{red}{\mathbf{\times 3}}>7\textcolor{red}{\mathbf{\times 3}}\Leftrightarrow 6x>21$

\item $3x\leqslant 4\Leftrightarrow \dfrac{3x}{4}\leqslant \dfrac{4}{3}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x\leqslant \dfrac{4}{3}}}$

\item $x\sqrt{2}\geqslant 3\Leftrightarrow \dfrac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\geqslant \dfrac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle \no 3}}
Soient $a$, $b$ deux réels et $c$ un réel négatif ou nul
alors :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant b \iff a \times c \geqslant  b \times c$ ( Changement de sens de l’inégalité )

\item 
et $a \leqslant b\text{ et }c <  0 \iff \dfrac{a}{c} \geqslant  \dfrac{b}{c}$ ( Changement de sens de l’inégalité )

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

Même démonstration que dans le cas $c\geqslant 0$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $-x>4\iff -x\textcolor{red}{\mathbf{\times(-1)}}<4\textcolor{red}{\mathbf{\times(-1)}}\iff x<-4$

\item $-4x<-3\iff  \dfrac{-4x}{-4} > \dfrac{-3}{-4} \iff x> \dfrac{3}{4}$

\item $-2x\geqslant6\iff \dfrac{-2x}{-2}\leqslant \dfrac{6}{-2} \iff x\leqslant-3$

\end{enumerate}     


\subsection{\textcolor{blue}{Les inéquations du premier degré à une inconnue}}

\subsection{\textcolor{blue}{Méthode de résolution}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x+a\leqslant b\Leftrightarrow x+a-a\leqslant b-a\Leftrightarrow x\leqslant b-a$

\item $x-a\leqslant b\Leftrightarrow x-a+a\leqslant b+a\Leftrightarrow x\leqslant b+a$

\item Si $a>0$ :  $ax\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{ax}{a}\leqslant \dfrac{b}{a}\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{b}{a}$

\item Si $a<0$ :  $ax\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{ax}{a}\geqslant \dfrac{b}{a}\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{b}{a}$

\item Si $a>0$ :  $\dfrac{x}{a}\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{x}{a}\times a\leqslant b\times a\Leftrightarrow x\leqslant ab$

\item Si $a<0$ :  $\dfrac{x}{a}\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{x}{a}\times a\geqslant b\times a\Leftrightarrow x\geqslant ab$
\end{enumerate}


               
\subsection{\textcolor{blue}{Signe de $\mathbf{ax+b}$}}
On considère la fonction affine $f=x\mapsto ax+b$.

Si $a>0$, la fonction est croissante et si $a<0$, a fonction est décroissante.

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}$.

On en déduit le signe de $ax+b$ :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$\textcolor{red}{\mathbf{\textbf{Cas }a>0}}$ :

\bigskip

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
ax+b&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}

$\textcolor{red}{\mathbf{\textbf{Cas }a<0}}$ :

\bigskip

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
ax+b&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{multicols}



\subsection{\textcolor{blue}{Signe d’un produit de facteurs du premier degré}}


\begin{minipage}{13cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété fondamentale}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le produit de deux nombres de même signe est positif.

\item Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\textbf{\textbf{\textcolor{red}{Méthode}}} :\\
Pour étudier le signe d'une produit de binômes : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item on étudie le signe de chacun d'entre eux, 

\item on récapitule tout cela dans un tableau de signes (une ligne par binôme) 

\item puis dans la dernière ligne, on trouve le signe du produit en appliquant la règle en appliquant la règle sur le signe d'un produit.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}}  : étudions le signe de $A(x)=(2x+3)(-5x+7)$.\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x+3=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$ et $2x+3>0\Leftrightarrow 2x>-3\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{2}$

\item $-5x+7=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-7}{-5}=\dfrac{7}{5}$\\
$-5x+7>0\Leftrightarrow -5x>-7\Leftrightarrow x<\dfrac{-7}{-5}=\dfrac{7}{5}$ car l'on a divisé par -5, \textbf{\textcolor{red}{négatif}}.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{2}&&\dfrac{7}{5}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }2x+3&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }-5x+7&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
\text{Signe de }(2x+3)(-6x+7)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : \\
$(2x+3)(-6x+7)$ est strictement négatif sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{3}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{7}{5}~;~+\infty\right[$, nul pour $x=-\dfrac{3}{2}$ ou $x=\dfrac{7}{5}$ et strictement positif sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{7}{4}\right[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}}  : étudions le signe de $A(x) = -x(2x - 3)(x + 6)(4 - 2x)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cherchons les valeurs de $x$ qui annulent chacun des quatre binômes de $A(x)$ :

\item $-x=0\Leftrightarrow x=0$

\item $2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ et $2x-3>0\Leftrightarrow x>\dfrac{3}{2}$

\item $x+6=0\Leftrightarrow x=-6$ et $x+6>0\Leftrightarrow x>-6$

\item  $4-2x=0\Leftrightarrow x=2$ et $4-2x>0\Leftrightarrow -2x>-4\Leftrightarrow x<2$ (en divisant par -2 qui est négatif, d'où le changement de sens de l'inégalité)


\item Dressons maintenant le tableau des signes de $A(x)$ :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-6&&0&&\dfrac{3}{2}&&2&&\pI\\
\hline
-x&&+&\l&+&\z&-&\l&-&\l&-&\\
\hline
2x-3&&-&\l&-&\l&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
x+6&&-&\z&+&\l&+&\l&+&\l&+&\\
\hline
4-2x&&+&\l&+&\l&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
A(x)&&+&\z&-&\z&+&\z&-&\z&+&&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} :

$A(x)>0\Leftrightarrow x\in\left]-\infty~;~-6\right[\cup\left]0~;~\dfrac{3}{2}\right[ \cup]2~;~+\infty[$\\
$A(x)<0\Leftrightarrow x\in[-6~;~0[\cup\left]\dfrac{3}{2}~;~2\right[$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Résolution d'une inéquation-quotient}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple 1}} : Résoudre $\dfrac{-3x+7}{2x+3}\leqslant 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Ensemble de définition}} : on ne peut pas diviser par 0, donc le dénominateur $2x+3$ doit être non nul.\\
Or, $2x+3=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$.\\
On en déduit que l'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$.

\item On cherche alors le signe de chaque facteur :\\
\begin{enumerate}[$\diamond$]
\item $-3x+7=0\Leftrightarrow -3x=-7\Leftrightarrow x=\dfrac{-7}{-3}=\dfrac{7}{3}$.\\
$-3x+7>0\Leftrightarrow -3x>-7\Leftrightarrow x<\dfrac{7}{3}$.

\item $2x+3>0\Leftrightarrow 2x>-3\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{2}$

\end{enumerate}

\item Reste à renseigner un tableau de signes.\\
\danger \textbf{\textcolor{blue}{Attention}}, il y a une valeur interdite, qu'on code avec une double barre en dessous de $-\dfrac{3}{2}$ dans le tableau\\
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{2}&&\dfrac{7}{3}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }-3x+7&&+&\bb&-&\l&-&\\
\hline
\text{Signe de }2x+3&&-&\bb&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }\dfrac{-3x+7}{2x+3}&&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : on voulait que le quotient fût négatif ou nul : l'ensmrlbe des solutions est \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{3}{2}\right[ \cup \left[\dfrac{7}{3}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}


\bigskip
\textbf{ \textcolor{red}{Exemple 2}} : résoudre $\dfrac{7x+5}{x^2-4}\geqslant 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Ensemble de définition}} : $x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2)$ qui s'annule en -2 et 2.\\
Nous avons donc deux valeurs interdites, -2 et 2.\\
$\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2~;~2\right\}$.

\item Signe de $7x+5$\\
$7x+5=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{7}$.\\
$x\mapsto 7x+5$ est croissante puisque le coefficient directeur est $7>0$ donc $7x+5$ prend d'abord des valeurs négatives puis positives. D'où $7x+5<0\Leftrightarrow x<-\dfrac{5}{7}$ et $7x+5>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{5}{7}$.

\item Signe de $x+2$ :\\
$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$ et $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$.

\item Signe de $x-2$ :\\
$x-2=0\Leftrightarrow x=2$ et $x-2>0\Leftrightarrow x>2$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}} :\\
Il y a deux valeurs interdites, -2 et 2.

\begin{center}

\end{center}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&-\dfrac{5}{7}&&2&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }7x+5&&-&\bb&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }x+2&&-&\bb&+&\l&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }x-2&&-&\bb&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }\dfrac{7x+5}{x^2-4}&&-&\bb&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : on veut que le quotient soit positif ou nul.\\
\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-2~;~-\dfrac{5}{7}\right] \cup \left[2~;~+\infty\right[}}$
\end{center}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}